高中数学高考也谈递推数列的通项问题教案人教版

1、也谈递推数列的通项问题【摘 要】用初等方法讨论了常见递推数列的通项问题。【关键词】递推数列；通项公式；初等方法递推数列的通项问题高中数学的重要内容，也是高考的热点问题，又是高中数学教学的难点。本文意在用初等方法分类讨论，归纳总结中学范围内常见的递推数列的通项问题。一、方法探究定义1。 如果一个数列给出了初始条件和递推公式，就称这个数列为递推数列。定义2。 如果一个递推数列的递推公式是线性的，就称这个数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列。定义3。 如果数列an满足如下两个条件：（）ai（i=1,2,3,k）的值已知; ()an+k=,pj,q为常数。就称该数列为一个k阶线性递推数列。特别地

2、，当q=0时，称数列an为一个k阶齐次线性递推数列。定义4。 若数列an满足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(nN,b0,f(n)和g(n)是n的函数)，则称之为一阶线性递推数列的推广形式。命题1 若数列an满足a1=b, an+1=qan+d(bd0),则 1)q=1时，an=b+(n-1)d；2)d=0时, an=bqn-1 ；3)d0且q1时, an=bqn+(d-b)qn-1-d/(q-1)。证明 这是一阶线性递推数列，1)和2)是显然的，只证3)。由已知an+1=qan+d（n1）,得an=qan-1+d(n2),从而an+1-an=q(an-an-1),由此知an+1-a

3、n是等比数列，所以an+1-an=（a2-a1）qn-1=(qb+d-b)qn-1,再把an+1=qan+d代入上式，得an=bqn+(d-b)qn-1-d/(q-1).命题2 若数列an满足a1=b, an+1=f(n)an+g(n)(nN), b0,f(n)和g(n)都是n的函数，则1）f(n) 1时，an=b+;2)g(n)0时，an=b;3) an+1=fi(n)an+gi(n)(i=1,2)时，an=g1(n)-g2(n)/f2(n)-f1(n).证明 这是一阶线性递推数列的推广形式。当f(n)1时, an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1), a3-a2=g(2),an-

4、an-1=g(n-1),进而得an-a1=,即an=b+。当g(n)0时,有=f(n),于是=f(1), =f(2), , =f(n-1),左右两边分别相乘得：=，因此an=b。当an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)时，解方程组得：an=g1(n)-g2(n)/f2(n)-f1(n)。命题3 若数列an满足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1(n2)，且pq0,则当1) p+q=1时，;2) p+q1且p2+4q0时，an=，其中、是方程的根（、C），;3）p+q1且p2+4q=0时，an=(n-1)(p/2)n-2c-(n-2)(p/2)n-

5、1b(nN）.证明 这是二阶齐次线性递推数列。当p+q=1时，an+1=(1-q)an+qan-1(n2),即an+1-an=-q(an-an-1),数列an+1-an是等比数列，因此an+1-an=（a2-a1）(-q)n-1=(c-b) (-q)n-1，由命题2的1)的。当p+q1时，引进实数将an+1=pan+qan-1改写成：，若数列an+1+an为等比数列，则=q/(p+),即，此方程在复数集C中总有二根，记f()=an+1+an= ,当p2+4q0时，于是有方程组解得:an=。当p2+4q=0时，1=2=-，即 an+1=an+=an+, , ，于是猜想：an= (nN），下面用数

6、学归纳法证之：当n=1时，显然成立。假设当n=k(kN+）时命题成立，即ak=, 那么n=k+1时，ak+1=ak+=.这说明n=k+1时命题也成立。从而an= (nN）。 命题1、2、3是高中数学中常见的递推数列，对于以其它形式出现的递推数列，我们可以采用化归法进行转化，进而求解，这里不再赘述。 二、应用举例 【例1】 在数列an中，已知a1=1/3,且前n项的算术平均数等于第n项的2n-1倍（nN），求an的通项公式。分析 本题的特点是数列an的递推公式是间接给出的，需要利用已知条件进行推导，然后再根据递推公式求通项公式。解 由已知得，即sn=n(2n-1)an,由an=sn-sn-1(n

7、2),知an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,整理得(n2)，此时数列an满足命题2的2),因此，n=1时也成立，所以an=（nN）【例2】已知数列an的前n项和为sn,满足2sn2=2ansn-an(n2)且a1=2,试求an的表达式。分析 这类题一般思路是利用an=sn-sn-1(n2)进行转化，但要注意选择目标定向。解 由2sn2=2ansn-an及an=sn-sn-1(n2)得sn-1-sn=2snsn-1(n2)即 (n2)，数列满足命题1的1），所以=(n2)，从而， an=sn-sn-1=- (n2)，因此, 【例3】 已知数列an中a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an(nN）.求an的通项公式。 分析 这道题如果采用“计算-归纳-猜想-证明”的思维模式比较麻烦，若从递推关系式的结构入手比较容易。解 由已知p=1,q=-1,p+q1, an满足命题3的2），方程2+1=1的根1，2= ，代入=3(2+)(1+)n-1及an=得： an=6cos(nN） 点评 解数学题的关键