求变力做功的几种方法

1、求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可 用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScos计算，从而使问题变得简单。7El:B :例1、如图1,定滑轮至滑块的高度为h,已 知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由 A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳 与水平方向夹角分别为a和8。求滑块由 A点运 动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：设绳对

2、物体的拉力为 T,显然人对绳 的拉力F等于ToT在对物体做功的过程中大小虽 然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变 力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式 W=FScos直接计算。由图可知，在绳与水平 面的夹角由a变到8的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：S =爲一爲=sm os sin j3乜111找二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之 间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元 段，每一小元段可认为恒力

3、做功，总功即为各个小元段做功的代数和。力F的大小保持不变，个力F做的总功应为：A 0焦耳 BC 10焦耳 D20 n焦耳20焦耳例2、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上， 但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故 W=E S，则转一周中各个小 元段做功的代数和为 W=F< 2n R=10X 2n J=20n J，故B 正确。三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均 值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动

4、，其阻力为车重的倍。其 牵引力的大小与车前进的距离变化关系为 F=1Ox+fo, fo是车所受的阻力。当车 前进100米时，牵引力做的功是多少分析：由于车的牵引力和位移的关系为 F=103x+f0，是线性关系，故前进100 米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 F所做的功。由题意可知fo=X 105X 10N= 5X 104N,所以前进100米过程中的平均牵引力5xl0*+l 0x100 + 5x10*）歹=2N= 1X 105N,石 S= 1X 105x 100J= 1 X 107J。四、图象法如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画 出Fx图象，图象下方与坐标

5、轴所围的“面积”即表示功。15*A0.501X 1 弧）例如：对于例3除可用平均力法计算外也可 用图象法。由F=103x+f0可知，当x变化时，F也 随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用 图象求解。牵引力表达式为F=103x+X 105，其函 数表达图象 如图3。根据F-X图象所围的面积表示牵引力所 做 的功，故牵引力所做的功等于梯形 OABD勺“面 积”。所以五、能量转化法求变力做功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量 的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关 系等可从能量改变的角度求功。1、用动能定理求变力做功动能定理的内容

6、是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式 是W外=AEk,V外h可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中， 只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算， 研 究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做 的功。例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径 为，BC是水平轨道，长3mBC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道 AB段所受的阻力对物体做的功。分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力 共三个力做功，VW=mgR fBC=u

7、m爭C，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功 不能直接求。根据动能定理可知：W外卜=0，所以 mgR-umgC -WAb=0即 VW=mgR-umgO =1X 10x 15 x 1X 10x 3=6(J)2、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒 定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。ffl 5D例5、如图5所示，质量m为2千克的物体， 从光滑斜面的顶端A点以vo=5米/秒的初速度滑 下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的 速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求 弹簧的弹力对物体所做的功。分析：由于斜面光滑故

8、机械能守恒，但弹 簧D点为弹的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值 与弹性势能的增加量相等。取 B所在水平面为零参考面，弹簧原长处 性势能的零参考点，则状态 A:Ea= mgh+md/Z对状态B:Eb= W单簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=(mgh+mV/2 ) = 125 (J)。所做的功 且其它力 就可用功能原理求解变力3、用功能原理求变力做功 功能原理的内容是：系统所受的外力和内力(不包括重力和弹力)的代数和等于系统的机械能的增量， 如果这些力中只有一个变力做功， 所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时， 所做的功。v=6米/秒，求该链条全部,

9、链条保持匀速上升，故作 根据功能原理，上提过程例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用 力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度 被提起时拉力F所做的功。分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大 用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时， 动能没有变化，重心升高了 L/2=1米，故机械能动变化量为： E=mg L/2=2X 10X 1=20 (J) 根据功能原理力F所做的功为：W=20J4、用公式W=Pt求变力做功例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100

10、/3 秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。假设汽车在前进中所受 阻力不变，求阻力为多大。分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减 小到与阻力相等时速度达到最大值。 汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引 力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv 求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv=fvm,所以汽车的牵引力做的功为W 汽车=Pt=fV nt根据动能定理有：W汽车一fs=mvm/2，即 fv nt fs= mv m2/2f=6000N。代入数值解得：有利于培养学生的创造性变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，

11、从不同的角度、用不同的方 法阐述了求解变力做功的问题.在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有 利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力， 思维，开阔学生解题的思路.课后训练题hr A J1、如图所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙 半球内表面以10m/s的速度开始下滑，到达B点时的速度 变为2m/s，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的 功是多少2、一条长链的长度为a,置于足够高的光滑桌面上， 图所示.链的下垂部分长度为b,并由静止开始从桌上 滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在 这一过程中重力所做的功为多少绳子3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为M的物

12、体， 每单位长的质量为P,试求人将物体从地面吊起高度为L的 过程中所做的最小功.'X4、质量为5X 105kg的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0. 06倍，机车经过5mi n速度达到最大值 108km/h，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功.5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入 木块所受的阻力跟打入的深度成正比. 如果钉子第一次被打入木块的深度为 2C m,求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4 cm深处.6将一根水平放置在地面上的长为 6m、质量为200 kg的粗细均匀的金属棒竖 立起来，至少要做多少功(设所施加的力始

13、终垂直于棒)课后训练题解答1、分析 物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力N和摩擦力f三个力的作 用，因而有2 osB=mv /R，2 /R) + mgcos0.式中卩为动摩擦因素，V为物体在某点的速度.分析上式可知，在物体由A到C运动的过程中，0 由大到变小，cos0 变大，因而N变大，f也变大.由小到变大，cos0 变小，因而N变fN，N mgc即 N=m(v在物体由C到B运动的过程中，0 小，f也变小.由以上可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力f是变力，是变力做功问 题.解根据动能定理有W 外=AE在物体由A运动到B的过程中，弹力N不做功；重力在物体由A运动到C的 过程中对物体所做的正

14、功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等， 其代数和为零.因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中 对物体所做的功，就等于物体动能的变化量.则有W外=W f=AE即Wf=( 1/2)mv b2( 1/2)mv A = (1/2)X 2X22( 1/2)X 2X 102)= 96J.式中负号表示摩擦力对物体做负功.可见，如果所研究的物体同时受几个力的作 用，而这几个力中只有一个力是变力， 其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物 体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的.2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不 断增大，即这部分所受

15、的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运 动，是变力做功问题.解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为m，桌面高度为h，下垂部分质 量为m。则有mo/m=b/a，m o=(b/a)m，开始下滑时链条的初动能E k 1 = 0,2 初势能Ep i= mog(b / 2)= mg(b / 2 a), 机械能E 戶Eki+Epi=(b 2/2a)mg.设链条全部离开桌面的瞬时速度为V,此时链条的势能Ep2=(a / 2)mg, 动能E k2=( 1/2)mv 2,2 机械能 E 2=( 1/2)mv (a/ 2)mg, 根据机械能守恒定律有E i=E 2，即 (b 2/2 a)mg=( 1/

16、2)mv 2(a/ 2)mg,解得 v=l寸呂W 口宀.因此，在这一过程中重力所做的功为2 2 2Wg =AE k =( 1/2)mv 0=(mg/ 2a) (a b ).3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表 示为T = Mg +p xg,式中X为竖直方向绳的余长.当物体上升时，绳的余长X减小，T减小，因而T 为变力，故本题属变力做功问题.解 设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为L时，绳的重心上 升L/ 2,则系统机械能的增量为AE = AE 1+AE 2=AE p 1+AE k 1 +AE p2+AE k2,式中A E1、Ae 2分别为物体和绳的机

17、械能增量.由功能原理知，人的拉力所做的功为W=AE = AE P1+ AEk 1+AEp2+AE k2,当AEk 1=AE k 2= 0时，即缓慢提升物体时W最小，即Wmin = AE P 1+AE P 2= MgL +(L/ 2)p Lg=M+( 1/2)p LgL.可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化 容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便.4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引 力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等.在 这段时间内机车所受阻力可认为是恒力， 牵引力是变力，因此，机车做功不

18、能直 接用W=Fscosa来求解，但可用公式W=Pt来计算.解 根据题意，机车所受阻力f=kmg,当机车速度达到最大值时，机车 功率为PFv max fv max kmgv max53=0. 06X5X 10 X 10X( 108X 10 /3600)=9X 106W.根据P=Wt，该时间内阻力做功为Wf = P/t = 9X 106/ 300= 3X 104J.根据动能定理W外=AE k得牵引力做功Wf = AE k+Wf2=(1 / 2)mv max +W f524=(1/2)X 5X 10 X 30 + 3X 10 =2. 25X 108J.5、分析 铁钉进入木块所受的阻力f跟铁钉进入木块的深度x之间的关系为f =kx，由此可知，阻力是一个变力铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对 它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题.解 (1)依据题意做出f-x关系图线如图 4所示.第一次打击时铁钉克服阻力所做的功W 值.设第二次打击时铁钉被打入的深度为x 的功W2等于图4中梯形ABDC的面积的值.因f = kx，由图可得1等于图4中三角形AOC的面积的0，第二次打击时铁钉克服阻力所做= 2 k，月Q=( 2+x 0)k，则 W 1=( 1/2). °C =( 1/2)X 2kX 2= 2k,W 2=(= (kx 02 + 4kx 0)/