初高中数学衔接知识点专题精简版

1、It 、a的平方根，记作x Va（a。）,3立方根的概念：叫做a的立方根,记为x.3W4.分式二 n)U m2252)( a4 4a20 ,求 x31一 mn1016)1 27n)初高中数学衔接知识点专题 （一数与式的运算【要点回顾1,绝对值1绝对值的代数意义：.即|a| .2绝对值的几何意义：的距离.3两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示的距离.4 两个绝对值不等式：|x| a（a 0） |x| a（a 0）.2 .乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式 1 （a b c）2

2、公式2 a3 b3（立方和公式）公式3 a3 b3（立方差公式）说明：上述公式均称为“乘法公式”.3 .根式1式子Va（a 0）叫做二次根式，其性质如下：（1）洞之；（2）； （3）相；（4）2平方根与算术平方根的概念：叫做 其中近（a 0）叫做a的算术平方根.1分式的意义形如公的式子，若B中含有字母，且B 0,则称州为分 BB式.当用0时，分式4具有下列性质：（1）； （2）.B2繁分式当分式3的分子、分母中至少有一个是分式时，人就叫做繁 BB分式，如11 ,2mn P说明：繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用 分式的基本性质.3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化

3、去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化 去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解下列不等式：（1）例2计算：(1)(x2 G(2) (-m 5(a 2)(a 例3已知x2 3x 1例 4 已知 a b c 0,求 a(1 1)b(1 1)cj 1)的值. b c c a a b例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2) 7(1 x)2 7(2 x)2 (x 1)2 、3ja b 哈收咽例6设x等/等,求x3 y3的值.2 ,32 .3专题二因式分解1 .公式法

4、常用的乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：.4 (a b c)2 5 a3 b3 (立方和公式)6 a3 b3 (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公 式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解.2 .分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如 ma mb na nb既没有公 式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在 于如何分组.常见题型：(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式3

5、 .十字相乘法(1) x2 (p q)x pq型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1； 常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因数之和.2,、2 x(pq)xpq xpx qxpq x(x p) q(x p) (x p)(x q),2 x(pq)xpq (xp)(x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.(2) 一般二次三项式ax2 bx c型的因式分解由ax2 (ae a2g)x c (ax cjx a)我们发现，二次项系数a分 解成a包,常数项c分解成京2,把a1,a2,d,c2写成康c2，这里按斜线交叉 相乘，再相加，就得到.

6、aza,如果它正好等于ax2 bx c的一次项系 数b,那么ax2 bx c就可以分解成(ax Gx c?),其中a1,G位于上一行， a2,c2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项 式分解因式的方法，叫做 十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要 经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.4.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添项法 例1 (公式法)分解因式：(1) 3a3b 81b4； (2) a7 ab6例2 (分组分解法)分解因式：(1) ab(c2 d2) (a2 b2)cd (2) 2x

7、2 4xy 2y2 8z2例3 (十字相乘法)把下列各式因式分解：(1) x2 5x 24(2) x22x 15 (3)x2xy6y2(4)(x2x)28(x2 x) 12例4 (十字相乘法)把下列各式因式分解：(1) 12x2 5x 2 ;(3) 5x2 6xy 8y2解：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉 相乘后，若原常数为负数，用减法 “凑"，看是否符合一次项系数， 否则用加法“凑“，先“凑"绝对值，然后调整，添加正、负号.例5 (拆项法)分解因式x3 3x2 4323223(4) x

8、11x 31x 21(4) x 4xy 2x y 8y1. 题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】2. 一元二次方程的根的判断式一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0),用配方法将其变形为：.由于可以用b2 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的根的判别式，表示为：,2 b 4ac对于一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aw。，有1当A0时，方程有两个不相等的实数根：；2当A0时，方程有两个相等的实数根：；3当A0时，方程没有实数根.3. 一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2 bx c

9、 0 (a 0)的两个根为为国，那么：x1 x2, x1x2说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”.上述定理成立的前提是0.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若xi, x2是其两根，由韦达定理可知 xi+x2= p, xi x2=q, 即 p= (xi+x2), q=xix2,所以，方程 x2 + px+q=0 可化为 x2(xi + x2)x+ xi x2=0,由于 xi, x2 是一元二次方程 x2+px+ q =0的两根，所以，xi, x2也是一元二次方程 x2(xi+x2)x+ xi x2 = 0,因此

10、有以两个数xi , x2为根的一元二次方程(二次项系数为i)是x2-(xi+x2)x+xi x2=0.【例题选讲】例i已知关于x的一元二次方程3x2 2x k 0,根据下列条件，分别求出 k的范围：(D方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.例2已知实数x、y满足x2 y2 xy 2x y i 0 ,试求x、y的值.例3若为？2是方程x2 2x 2007 0的两个根，试求下列各式的值：(1) xi2 x22； (2) -(3) (xixi x2例4已知x1,x2是一元二次方程4kx2 4kx 是否存在实数k,使(2x1 x2)(xi 2x2

11、) 若不存在，请说明理由.5)(x2 5)； I xix2 .k i 0的两个实数根.0成立？若存在,求出k的值;(2)求使上 上2的值为整数的实数k的整数值.x2 为解：(i)假设存在实数k,使(2为x2)(xi 2x2)4k4kx 4kx k i 0的两个头数根，.二又xi, x2是一元二次方程/. (2xi x2)(xi 2x2) 2(xi2兴立.元二次方程0(4k)24 4k(k i)i6k 0xi x2k 0,4kx2 4kx k i 0的两个实数根，.二x22) 5xix2 2(xi x2)2 9xix2k 0 .二不存在实数k,使(2x1 x2)(xi 2x2)x2xi22Xix

12、222(Xx2)2x%国成立.24k44k i要使其值是整数，只需k i能被4整除，故k 要使上土 2的值为整数的实数k的整数值为k 94kik i4k9 ,但54k ii i, 2, 4,注意到 k 0,2, 3, 5.x2 xi专题四平面直角坐标系一次函数、反比例函数要点回顾】i.平面直角坐标系平面直角坐标系内的对称点：对称点或对称直线方 程对称点的坐标x轴y轴原点点(a, b)直线xa直线yb直线yx直线yx2.函数图象1 一次函数：称y是x的一次函数，记为：y kx b(k、b是常数，k*0) 特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。2正比例函数的图象与性质： 函数y=kx(k是常数

13、，k*0)的图 象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限， y随x的增大而.3 一次函数的图象与性质： 函数y kx b(k、b是常数，k中0)的图象 是过点(0 , b)且与直线y=kx平行的一条直线.设y kx b( k*0),则当 时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而.4反比例函数的图象与性质： 函数y K(k中0)是双曲线，当时，图 x象在第一、第三象限，在每个象限中， y随x的增大而；当时，图象 在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而.双曲线是轴对 称图形，对称轴是直线y x与y x;又是中心对称图形，对称中心是

14、 原点.【例题选讲】例1已知A 2,yi、B x2, 3 ,根据下列条件，求出A、B点坐标.(1) A、B关于x轴对称；(2) A、B关于y轴对称；(3) A、B关于原点 对称.例2已知一次函数y=kx + 2的图象过第一、二、三象限且与 x、y轴 分别交于a、b两点，。为原点，若AAOB勺面积为2,求此一次函数 的表达式。例3如图，反比例函数y上的图象与一次函数y mx b的图象交于xA(1,3), B(n, 1)两点.(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的 值.专题五二次函数二次函数y= ax2+ bx+ c(aw叫有下列性质：

15、1当a>0时，函数y=ax2 + bx+c图象开口方向；顶点坐标 为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增 大而；当时，函数取最小值.2当av0时，函数y=ax2 + bx+c图象开口方向；顶点坐标 为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大 而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值.上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此，在今 后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想 方法来解决问题.2二次函数的三种表示方式 ：(1). 一般式：；(2)顶点式：(3)交点式：.说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的

16、关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函 数的关系式可设如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.给出三点，其中两点为与 x轴的两个交点(Xi，0). (X2,0)时可利用 交点式来求.【例题选讲】例1求二次函数y= -3x2-6x+ 1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价 x (元)与产品白日销售量 y (件)之 间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035

17、若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3已知函数y x2, 2 x a,其中a 2 ,求该函数的最大值与最小值， 弁求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.例4根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y = x+1上，弁且图象经过点(3, 1);(2)已知二次函数的图象过点(一3, 0), (1, 0),且顶点到x轴的距离等于2;(3)已知二次函数的图象过点 (一1, 22), (0, 8), (2, 8).专题六二次函数的最值问题【要点回

18、顾】1 .二次函数y ax2 bx c (a 0)的最值.二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a 0时，函数在 .2.x 2处取得最小值史3,无最大值；当a 0时，函数在x 上处 2a4a2a取得最大值空上，无最小值. 4a2 .二次函数(X为全体实数时)最大值或最小值的求法.第一步确定a的符号，a>0有最小值，av0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.3 .求二次函数在某一范围内的最值.如：y ax2 bx c在m x n (其中1 m n)的最值.第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x x。；第二步：讨论：1若a 0时求最小值或a 0时求最

19、大值，需分三种情况讨论： 对称轴小于m即x0 m ,即对称轴在m x n的左侧；对称轴m x° n ,即对称轴在m x n的内部；对称轴大于n即x° n,即对称轴在m x n的右侧。2若a 0时求最大值或a 0时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴x°旦，即对称轴在m x n的中点的左侧；2对称轴 3,即对称轴在m x n的中点的右侧；2说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例 4。【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值.(1) y 2x2 3x 5; (2) y x2 3x 4 .例2当1 x 2时，求函数y

20、 x2 x 1的最大值和最小值.例3当x 0时，求函数y x(2 x)的取值范围.例4当t x t 1时，求函数y ；x2 x ：的最小值(其中t为常数).分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称 轴与其范围的相对位置.解：函数y声x :的对称轴为x 1,画出其草图.(1)当对称轴在所给范围左侧.即(2)当对称轴在所给范围之间.即 125ymin -11-3；当对称轴在所给范围右侧.1 时：当 x t 时，ymin j2 t _5 ；1 t 10 t 1时：当 x 1 时，即t 1 1 t 0时：当x t 1时，1 /i2,ymin 2(t1)(t1)综上所述:51t2 t2

21、 21t223,01t223,t 0t 1t It 1例5当0 x 2时，求函数y x2 2ax 1的最大值。各专题参考答案专题一数与式的运算参考答案例1 (1)解法1 ：由x 2 0,得x 2；若x 2,不等式可变为x 2 1,即x 3；若x 2,不等式可变为 (x 2) 1 ,即x 2 1,解得：x 1 .综上所述，原不等式的解为1x3.解法2： x 2表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离， 所以不等式x 2 1的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的 点之间的距离小于1,观察数轴可知坐标为 x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为 1 x解法3：

22、 x 2(2)解法一1x3,所以原不等式的解为1 ；由 x 3 0,得 x 3 ；若x 1,不等式可变为(x 1) (x 3) 4,即2x 4 >4,解得又 xv1 ,x<0；若 1 x 4, ,不存在满足条件的x； 若x 3,不等式可变为(x x>3,x>4.综上所述，原不等式的解为2,不等式可变为(x 1) (x 3) 4,xv0,即1>1) (x 3) 4 ,即 2x4 >4,解得x>4.又xv0,或 x>4.解法二：如图，|x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1 3典点A之间的距离| PA ,即| PA = | x 1| ; | x-3

23、|表示x轴上年F新史可曲2的点B之间的距离| PB ,即| PB =|x-3| .例= x2 (说明：&x) (2 (x2)2 ( &x)2) 解： 原: 2x2( . 2)x 2x2 ： 2 ( . 2x)多项式乘法的结果一般是按某个字母的降窑或升窑排列.原式=(/Y(3)原式=(a2 4)(a4(4)原式=(x例3解:原式二(x例4解:原式=aQ x2-)(x2 x22y) (x所以，不等式 =2,x 1 |x 3| >4的几何意义即为| PA +| PB|xS 4.由| AB可知点P在点q坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.所以原不等式的解为xv0,或

24、x>4.31n) m1254a2 42)3x 1 02 2xy y )x 0313-n8/ 233(a )42(x y)(x1 _xy64 223 3y ) (x6- 3 3x 2x y1 2)xQ a b c 0, b c , a c b bc ac3. 33abc11 2(x )(x )23 3(323) 18x xb c,b ca b a( a)ab bca, c ab( b) c( c)3abc，把代入得原式ac ab3abcb2abc例5解：(1)原式二3(2问厂”(23)(2 . 3)23abc6 3 3(x 1) (x 2) 2x 3 (x 2)(2)原式=|x 1| |x

25、 2|(x 1) (x 2) 1 (1 x 2)说明：注意性质行|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知 时，要对字母的取值分类讨论.(3)(4)原式Tabb七原式=-2- Jx x2 2222x V2x x"x 2a/2x 3Z2x xVx 2 2例6解：x原式=(x y)(x232 、32xy(2 /3)2722 3 y2) (x y)(x4.3, y 7 4 3 x y 14,xy 1说明：有关代数式的求值问题:y)2 3xy 14(142 3) 2702(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时22Xix22(Xi

26、 X2)2XiX2 ,11x1x2XiX2X1X2整体代入可简化计算量.【巩固练习】1.4 x 32.13733.3或24. 3 75654442 22 22 24、. 3x y.x y z 2x y 2x z 2yz 6.1 3, 2 , 3 - , 4 Jb Ja3y专题二因式分解答案例1分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后, 括号内出现a6 b6,可看着是(a3)2 (b3)2或(a2)3 (b2)3.解：(1) 3a3b 81b4 3b(a3 27b3) 3b(a 3b)(a2 3ab 9b2).(2) a7 ab6 a(a6 b6) a(a3 b3)(a3

27、b3) a(a b)(a2 ab b2)(a b)(a2 ab b2) 例2 (1)分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开 后重新分组，然后再分解因式.222222222222.ab(c d ) (a b )cd abc abd a cd b cd (abc a cd) (b cd abd )(2)分析：先将系数2提出后，得到x2 2xy y2 4z2 ,其中前三项作 为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.解_2_2_2_2_222x 4xy 2y 8z 2(x 2xy y 4z )2(x y)2 (2z)22(xy2z)(x y 2z)例 5 解

28、：x3 3x24(x31) (3x2 3) (x1)(x2x 1) 3(x 1)(x 1)【巩固练习】1 . (1)(bc ad)(ac bd) ; (2) (x 4m 2n)(x 2n) ; (3)(x2 4x 8)(x2 4x 8);2(x 1)(x 3)(x 7); (5)(x 2y) (x 2y).2. 28；31 91993. (-x x 1) (-x 3x 1) x 4x x(x 4)其他情况如下：(1x2 x 1) (-x2 x) x2 1 (x 1)(x 1);22',1212、22(-x 3x 1) (- x x) x 2x 1 (x 1).4. a3 a2c b2c

29、 abc b3 (a2 ab b2)(a b c)专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案例 1 解：;( 2)2 4 3 k 412k ,/. (1) 4 12k 0 k -;3 /111(2) 4 12k 0 k - ；(3) 4 12k 0 k - ； (4) 4 12k 0 k -.例2解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：2_2x (y 2)x y y 1 0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此： (y 2)2 4(y2 y 1)3y2 0y 0,代入原方程得：x2 2x 1 0x1 ,综上知：x 1,y 0例3解:由题意，根据根与系数的关系得：x1 x22, x1x22

30、007(1)X12 x22 (x1 x2)2 2x1x2 ( 2)2 2( 2007)4018(2)1 _1Xi X2_2_2Xi X2X1X22007 2007(3)(x1 5)(x2 5)x1x2 5(x1 x2) 2520075( 2) 251972(4)|XiX2| .(XiX2)2.(XiX2)24KX2,(2)2 4( 2007) 2, 2008说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:(Xi X2)2 (Xi X2)2 4XiX2,|Xi X2 | , (Xi X2)2 4KX2等等.韦达定理体现了整体思想.【巩固练习】1 . A； 2. A； 3. p 1,q3;

31、4. a 3,b 3,c 0; 5. m 1 (1)当 k 3时，方程为3x 1 0 ,有实根；(2)当k 3时， 0也有实根.6. (1) k 0且k 1 ;(2) k 7.4专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例1解：(1)因为A、B关于X轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为 相反数，所以 X2 2 , y1 3 ,则 A 2, 3、B 2, 3 .(2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相 同，所以，X22 , yi 3 ,则 A 2, 3、B 2, 3 .(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以 X22 , yi 3 ,则 A 2,

32、3、 B 2, 3 .例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知 k>0,又因为b=2,所以直线与y轴交于(0, 2),即可知OB= 2,而A AO的面积为2, 由此可推算出OL2,而直线过第二象限，所以A点坐标为(一2,0), 由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式 解：二飞 是直线y=kx + 2与y轴交点，二. B ( 0, 2),OB= 2,1八 八八又QSaob -AO BO 2, AO 22又Q y kx 2 ,过第二象限，A( 2,0)把 Xi2, yi 0弋入 y kx 2中得 k 1,y x 2【巩固练习】1. B2. D(2, 2)、C(8, 2)、B(6, 0).

33、 3. ( 1) k 8. (2)点 P 的坐 标是 P(2,4)或 P(81).专题五二次函数参考答案例1解：. y= -3x2-6x+ 1 = 3(x+1)2+4, ,函数图象的开口向下；对称轴是直线x=1;顶点坐标为(一1, 4);当x= 1时，函数y取最大值y=4;当xv1时，y随着x的增大而增大；当 x> 1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1,4),与x轴交于点B(2而 3,0)和0( 2近 3,0), 33与y轴的交点为D(0, 1),过这五点画出图象(如图 25所示). 说明：从这个例题可以看出， 根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减

34、少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.例2分析：由于每天的利润=日销售量yX销售价x120),日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设 y=kx+ (B),将x= 130, y=70; x=150, y=50代入方程，70 130k b”小有解得 k= - 1, b=200. y=-x+ 200.50 150k b,设每天的利润为 z (元),则 z= (x+200)(x120) = x2+320x 24000 = (x 160)

35、2+ 1600,当x=160时，z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为 1600元.例3分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a的取值进行讨论.解：(1)当a= 2时，函数y = x2的图象仅仅对应着一个点(一2,4), 所以，函数的最大值和最小值都是4,此时x=-2；(2)当一2vav0时，由图2. 2 6可知，当 x= 2时，函数取 最大值y=4；当x=a时，函数取最小值y = a2;(3)当00av2时，由图2. 2 6可知，当x= 2时，函数 取最大值y=4；当x=0时，函数取最小值y=0；(4)当a)2时，由图2. 2 6可知，当x=a时，

36、函数取最大 值丫 = 22;当x=0时，函数取最小值 y=0.说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研 究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时， 通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.例4 (1)分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最 大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过 定点来求解出系数a.解：二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y = x+1上，所以，2=x+1, . x =1 . 顶点坐标是(1 , 2 ).设该二

37、次函数的解析式为 y a(x 2)2 1(a 0) , 丁二次函数的图像经过点(3 , 1 ), 二 1 a(3 2)2 1 ,解得 a= - 2. 2 一次函数的解析式为y 2(x 2)2 1,即y= 2x+8x 7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置 求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式， 最终解决了问题.因止匕, 在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，弁巧妙地利用条件简捷地解 决问题.(2)分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一：二次函数的图象过点(一3, 0),

38、(1, 0), 可设二次 2一 一函数为 y = a(x+3)( x1)( a*0),展开，得 y=ax+2ax 3a,顶点22的纵坐标为12a 4a 4a ,由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,4a.|4a|=2,即a= 1,所以，二次函数的表达式为y=gx2 x或 y= 1x2 x 3.22分析二：由于二次函数的图象过点(一3, 0), (1, 0),所以，对称轴为直线x=1,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标 为2,或-2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然 后再利用图象过点(一3, 0),或(1, 0),就可以求得函数的表达式.解法二：二.二次函数的图象过点(一

39、3, 0), (1, 0), 对称轴 为直线x=- 1.又顶点到x轴的距离为2, 顶点的纵坐标为 2,或 -2.于是可设二次函数为y=a(x+ 1)2 + 2,或y=a(x+1)2 2,由于函数图象过点(1 , 0) ,.0=41+1)2 + 2,或 0=a(1 +1)22.a =1,或a= L.所以，所求的二次函数为 y= -l(x+ 1)2 + 2,或y 222=1(x+1)2-2.2说明：上述两种解法分别从与 x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶 点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.(3)解：设该二次函数为 y=ax2+bx+c(

40、aw0)由函数图象过点(一1, 22), (0, 8), (2, 8), 可得22 a b c8 c 解得a= 2, b=12, c=- 8,所以，所求的二次函数为 y= - 2x2+12x-8.84a 2b c 【巩固练习】1. (1) D (2) C (3) D2. (1) y=x2+x-2 y=-x2+2x+33. (1) y 2x2 2x 1. (2) y 4(x 1)2 3 4x2 8x 1 .(3 ) y -(x 3)(x 5) -x2 -x 3 .( 4 )5551 c 2125y x 32 x 3x 2222,4,6,8.4.当长为6m,宽为3m时，矩形的面积最大.5. (1)函数f (x)的解析式为yx, 0 x 4 x, 2 xx 4, 4 x8 x, 6 x(2)函数y的图像如图所示(3)由函数图像可知，函数 y的取值范围是0vy02.专题六二次函数的最值问题参考答案例1分析：由于函数y 2x2 3x 5和yx2 3x 4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以 确定函数有最大值或最小值.解：(1)因为二次函数y 2x2 3x 5中的二次项系数2>0,所以抛物线 y 2x2 3x 5有最低点，即函数有最小值.因为y 2x2 3x 5 = 2(x -)2 9,48所以当x 3时，函数y