第十八章 变分法模型

1、-336-第十八章 动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题, 这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。 当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时, 问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。§1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法, 有着广泛的应用。 下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果, 然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。设 S 为一函数集合, 若对于每一个函数 S t x (有一个实数 J 与之对应, 则称 J 是 对应在 S 上的泛函,记作 (t x J

2、。 S 称为 J 的容许函数集。 通俗地说,泛函就是“函数的函数” 。例如对于 xy 平面上过定点 , (11y x A 和 , (22y x B 的每一条光滑曲线 (x y , 绕 x 轴 旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线 (x y 的泛函 (x y J 。由微积分知识不难写出dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= (1容许函数集可表示为 ( , (, (| (2211211y x y y x y x x C x y x y S = (2最简单的一类泛函表为=21, , ( (t t dt x x t F t x J & (3被积函数 F 包含

3、自变量 t ,未知函数 x 及导数 x &。 (1式是最简泛函。泛 函 (t x J 在 S t x (0取 得 极 小 值 是 指 , 对 于 任 意 一 个 与 (0t x 接 近 的S t x (, 都有 ( (0t x J t x J 。 所谓接近, 可以用距离 < (, (0t x t x d 来度量,而距离定义为| ( (|, ( (|max (, (00021t x t x如同函数的微分是增量的线性主部一样, 泛函的变分是泛函增量的线性主部。 作为 泛函的自变量,函数 (t x 在 (0t x 的增量记为( ( (0t x t x t x =也称函数的变分。由它引起

4、的泛函的增量记作( ( (00t x J t x t x J J +=如果 J 可以表为-337-(, ( (, (00t x t x r t x t x L J +=其中 L 为 x 的线性项,而 r 是 x 的高阶项,则 L 称为泛函在 (0t x 的变分,记作 (0t x J 。用变动的 (t x 代替 (0t x ,就有 (t x J 。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数: 0 ( ( (=+=t x t x J t x J (4 这是因为当变分存在时,增量, ( , ( ( (x t x r x t x L t x J x t x J J +=+= 根据 L 和 r 的

5、性质有, ( , (x t x L x t x L =0, (lim, (lim00=x xx t x r x t x r 所以( (lim (00x J x x J x x J +=+=( , ( , ( , (lim 0x J x x L x x r x x L =+=利用变分的表达式(4可以得到泛函极值与变分的关系。 若 (t x J 在 (0t x 达到极值(极大或极小 ,则0 (0=t x J (5 这是因为对任意给定的 x , (0x x J +是变量 的函数,该函数在 0=处达到极 值。根据函数极值的必要条件知0 (00=+=x x J 于是由(4式直接得到(5式。引理, (21

6、x x C x , , (211x x C x , 0 ( (21=x x ,有210 ( (x x dx x x ,则 , , 0 ( 21x x x x 。1.2 无约束条件的泛函极值 求泛函=ft t dt t x t x t F J 0(, (, (& (6的极值,一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 (t x ,使给定的二阶连续可微 函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线(或轨线,记为 (*设容许曲线 (t x 满足边界条件-338-00 (x t x =, f f x t x = ( (7 且二次可微。首先计算(6式的变分:0 ( (=+=t x t

7、x J J =+=f t t dt t x t x t x t x t F 00 ( (, ( (, (&& +=ft t x x dt x xx t F x x x t F 0 , , ( , , (&&&& (8 对上式右端第二项做分部积分,并利用 0 ( (0=f t x t x ,有=fft t x t t x xdt xx t F dtddt x xx t F 0, , ( , , (&&&&&, 再代回到(8式,并利用泛函取极值的必要条件,有 =ft t x x xdt F dtd F J 00

8、& 因为 x 的任意性,及 0 ( (0=f t x t x ,所以由基本引理得到著名的欧拉方程0=x x F dtd F & (9 它是这类最简泛函取极值的必要条件。(9式又可记作0=x F x F F F x x x x x t x &&&&&&& (10 通常这是 (t x 的二阶微分方程,其通解的两个任意常数由(7式中的两个端点条件确定。(i F 不依赖于 x &,即 , (x t F F = 这时 0x F &,欧拉方程为 0 , (=x t F x ,这个方程以隐函数形式给出 (t x ,但它一

9、 般不满足边界条件,因此,变分问题无解。(ii F 不依赖 x ,即 , (xt F F &= 欧拉方程为0 , (=xt F dtdx && 将上式积分一次,便得首次积分 1 , (c xt F x =&&,由此可求出 , (1c t x =&,积分后得到 可能的极值曲线族(dt c t x =1, (iii F 只依赖于 x&,即 (x F F &= 这时 0, 0, 0=x x x t x F F F &&,欧拉方程为0=x x F x &&&&由此可设 0=x &&a

10、mp;或 0=x x F &&,如果 0=x &&,则得到含有两个参数的直线族 21c t c x +=。-339-另外若 0=x x F &&有一个或几个实根时, 则除了上面的直线族外, 又得到含有一个参数 c 的 直线族 c kt x +=,它包含于上面含有两个参数的直线族 21c t c x += 中,于是,在(xF F &=情况下,极值曲线必然是直线族。 (iv F 只依赖于 x 和 x&,即 , (x x F F &= 这时有 0=x t F &,故欧拉方程为0=x x x x x F x F x F &

11、amp;&&&&&此方程具有首次积分为1c F x F x =&&事实上,注意到 F 不依赖于 t ,于是有0 ( (=+=x x x x x x x F dtdF x F dt d x F x x F x F F x F dt d &&&&&&&&&&&&&。例 1 (最速降线问题 最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里(J. Bernoulli于 1696年提出的。问题的提法是这样的:设 A 和

12、B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结 A 和 B 的平面曲线中,求一曲线,当 质点仅受重力作用,且初速为零,沿此曲线从 A 滑行至 B 时,使所需时间最短。解 将 A 点取为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴垂直向下, B 点为 , (22y x B 。根 据能量守恒定律,质点在曲线 (x y 上任一点处的速度dtds满足(s 为弧长 mgy dt ds m =221将 dx x y ds (' 2+=代入上式得dx gyy dt 2' 12+=于是质点滑行时间应表为 (x y 的泛函dx yy gdx gyy x y J x x +=+=2222'

13、1212' 1 ( 端点条件为 22 (, 0 0(y x y y =最速降线满足欧拉方程,因为yy y y F 2' 1 ' , (+=不含自变量 x ,所以方程(10可写作0' ' ' ' ' ' =y F y F F y y yy y等价于0 ' (' =y F y F dxd作一次积分得-340-12' 1(c y y =+ 令 , 2' ctgy =则方程化为cos 1(22sin ' 112121=+=c c y c y 又因d c ctg d c y dy dx cos

14、 1(22cos sin ' 11=积分之,得21sin (2c c x += 由边界条件 0 0(=y ,可知 02=c ,故得=. cos 1(2sin (211c y c x 这是摆线(圆滚线的参数方程,其中常数 1c 可利用另一边界条件 22(y x y = 来确定。例 2 最小旋转面问题dx x y x y x y J x x (' (2 (212+= ( , (, |2211211y x y y x y x x C y y S =解 因 ' 2y y F +=不包含 x ,故有首次积分122' '' ' ' '

15、 c y y yy y y F y F y =+=化简得21' y c y +=令 sht y =' ,代入上式得cht c t sh c y 121=+=由于 dt c shtshtdtc y dy dx 11' =,积分之,得 21c t c x +=,消去 t ,就得到121c c x ch c y = 。这是悬链线方程。最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。-341-(含多个函数的泛函 使泛函=21' , , ' , , ( (, (x x dx z z y y x F x z x y J取极值且满足固定边界条件. (, (, (, (22

16、112211z x z z x z y x y y x y = 的极值曲线 (, (x z z x y y =必满足欧拉方程组=00' 'z z y y F dx d F F dx d F (ii 含高阶导数的泛函使泛函 =21" , ' , , ( (x x dx y y y x F x y J取极值且满足固定边界条件 11 (y x y =, 221122' (' , ' (' y x y y x y y x y =, (的极值曲线 (x y y =必满足微分方程0" 22' =+y y y F dxd F

17、 dx d F (iii 含多元函数的泛函设 D y x c y x z , (, , (2,使泛函 =Dy xdxdy z zz y x F y x z J , , , , ( , (取极值且在区域 D 的边界线 l 上取已知值的极值函数 , (y x z z =必满足方程 0=y x z z z F yF x F 上式称为奥式方程。设容许曲线 (t x 在 0t 固定,在另一端点 f t t =时不固定,是沿着给定的曲线(t x =上变动。于是端点条件表示为= ( ( (00t t x x t x 这里 t 是变动的,不妨用参数形式表示为 f f dt t t +=寻找端点变动情况的必要条

18、件,可仿照前面端点固定情况进行推导,即有 0 , , (00=+=dt x xx x t F J ff dt t t &&-342-f t t t t x t t x x dt F x F xdt F dtd F f f f=+=&&0( (11 再对(11式做如下分析:(i 对每一个固定的 f t , (t x 都满足欧拉方程,即(11式右端的第一项积分为 零;(ii 为考察(11式的第二、第三项,建立 f dt 与 ft t x =之间的关系,因为( ( (f f f f f f dt t dt t x dt t x +=+ 对 求导并令 0=得f f t

19、t f f dt t x dt t xf( (&&=+= 即f f f t t dt t x t x f( (&&= (12 把(12代入(11并利用 f dt 的任意性,得0 (=+=f t t x F x F &&& (13(13式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件,称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况:(i 当 (t x =是垂直横轴的直线时, f t 固定, (f t x 自由,并称 (f t x 为自由 端点。此时(11式中 0=f dt 及 ft t x =的任意性,便得自由端点的横截条件0=ft t x F &a

20、mp;(14(ii 当 (t x =是平行横轴的直线时, f t 自由, (f t x 固定,并称 (f t x 为平动端点。此时 0=&, (13式的横截条件变为0=ft t x F x F && (15注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3 有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中, 常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题, 其典型形式是对动 态系统(, (, ( (t u t x t f t x =& (16寻求最优性能指标(目标函数+=ft t f f dt t u t x t F t x t t u J 0(, (, ( (, (

21、( (17其中 (t u 是控制策略, (t x 是轨线, 0t 固定, f t 及 (f t x 自由, nR t x (, mR t u (不受限,充满 mR 空间 , F f , , 连续可微。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 (*t u 和最优轨线 (*t x 的必要条件。采用拉格朗日乘子法,化条件极值为无条件极值,即考虑+=ft t T f f dt x u x t f t u x t F t x t u x J 0 , , ( , , ( (, ( , , (1& (18的无条件极值,首先定义(16式和(17式的哈密顿(Hamilton 函数为-343-, , ( (

22、 , , ( , , , (u x t f t u x t F u x t H T+= (19 将其代入(18式,得到泛函+=ft t T f f dt x u x t H t x t u x J 0 , , , ( (, ( , , (1& (20下面先对其求变分( (, (1f f f f t x t x dt t J +=0( ( , , , (0=+dt x xu u x x t H T dt t t f f && f f f f t t T T f t t T f t T f t x Tf x dt u x t H dt dt t x =+= ( ( , ,

23、, ( ( ( ( (& dt x xH H u H x T T T u T x T t t f ( ( ( (0&&+ ( , , , ( (f f f t x T f t t t T f t x t u x t F dt +=+=ff f t t T t t f T t t T T u T x T dt x x t dt x H H u H x 0( ( ( ( ( (&&注意到 (f t t t x xf=, f f f t t dt t xt x xf( (&=,因而 ffft t x T f t t t T f t x u x t H

24、dt J =+= ( , , , ( (1+ft t u T T x T dt H u x H H x 0 ( ( ( ( (&& 再令 01=J ,由 , , , (, u x t x dt f f 的任意性,便得(i *, x 必满足正则方程: 状态方程 , , (u x t f H x=& 协态方程 xH =&。 (ii 哈密顿函数 , , , (*u x t H 作为 u 的函数,也必满足 0=u H 并由此方程求得 *u 。(iii 求 *, , u x 时,必利用边界条件 00 (x t x =, (用于确定 *x ( (ft x f t =, (用

25、于确定 *fft t t u x t H = , , , (, (确定 f t 1.4 最大(小值原理如果受控系统, , (u x t f x=&, 00 (x t x = 其控制策略 (t u 的全体构成有界集 U ,求 U t u (,使性能指标 +=ft t f f dt u x t F t x t t u J 0, , ( (, ( (-344-达到最大(小值。最大(小值原理:如果 , , (u x t f , (, (f f t x t 和 , , (u x t F 都是连续可微的, 那么最优控制策略 (*t u 和相应的最优轨线 (*t x 由下列的必要条件决定:(i 最优

26、轨线 (*t x ,协态向量 (*t 由下列的必要条件决定:, , (u x t f dt dx=, U t u (, xH dt d =. (ii 哈密顿函数, , ( ( , , ( , , , (*u x t f t u x t F u x t H T += 作为 (t u 的函数,最优策略 (*t u 必须使, , , (max , , , (*u x t H u x t H Uu =或使, , , (min , , , (*u x t H u x t H Uu =(最小值原理 (iii 满足相应的边界条件 若两端点固定,则正则方程的边界条件为 0 0(x x =, f f x t x

27、 = (。 若始端固定,终端 f t 也固定,而 (f t x 自由,则正则方程的边界条件为 0 0(x x =, (, ( ( (f f t x f t x t t f =。 若始端固定,终端 (, f f t x t 都自由,则正则方程的边界条件为 0 0(x x =, (, ( ( (f f t x f t x t t f =, 0 (, ( (, (, (, (=+f f t f f f f t x t t t u t x t H f 。§2 生产设备的最大经济效益某工厂购买了一台新设备投入到生产中。 一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大, 因此其转卖价将随着使

28、用设备的时间增加而减小; 另一方面生产设备总 是要进行日常保养, 花费一定的保养费, 保养可以减缓设备的磨损程度, 提高设备的转 卖价。那么,怎样确定最优保养费和设备转卖时间,才能使这台设备的经济效益最大。 2.1 问题分析与假设(i 设备的转卖价是时间 t 的函数,记为 (t x 。 (t x 的大小与设备的磨损程度和 保养费的多少密切相关。记初始转卖价 0 0(x x =。(ii 设备随其运行时间的推移,磨损程度越来越大。 t 时刻设备的磨损程度可以 用 t 时刻转卖价的损失值来刻画,常称其为磨损函数或废弃函数,记为 (t m 。(iii 保养设备可以减缓设备的磨损速度, 提高转卖价。 如

29、果 (t u 是单位时间的保 养费, (t g 是 t 时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价 ,那么单位时 间的保养效益为 ( (t u t g 。 另外, 保养费不能过大 (如单位时间保养费超过单位时间产 值时, 保养失去了意义 , 只能在有界函数集中选取, 记有界函数集为 W , 则 W t u (。-345-(iv 设单位时间的产值与转卖价的比值记为 p ,则 (t px 表示在 t 时刻单位时间 的产值,即 t 时刻的生产率。(v 转卖价 (t x 及单位时间的保养费 (t u 都是时间 t 的连续可微函数。为了统一 标准,采用它们的贴现值。对于贴现值的计算,例如转卖价 (

30、t x 的贴现值计算,如果 它的贴现因子为 (经过单位时间的单位费用贴现,那么由 =1 ( (111t x t x dt t dx 解得(11 (t t et x =令 01=t ,便得 t 时刻单位费用的贴现(称贴现系数为 te,所以设备在 t 时刻转卖价(t x 的贴现为 t e t x (。仿此计算, (t u 的贴现为 t e t u (,单位时间产值的贴现为 t e t px (。(vi 欲确定的转卖时间 f t 和转卖价 (f t x 都是自由的。2.2 模型构造根据以上的分析与假设可知:考察的对象是设备在生产中的磨损保养系统; 转卖 价体现了磨损和保养的综合指标, 可以选作系统的

31、状态变量; 在生产中设备磨损的不可 控性强, 其微弱的可控性也是通过保养体现, 加之保养本身具有较强的可控性, 所以选 单位时间的保养费 (t u 作为控制策略。这样,生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损保养系统的(转卖价状态方程=+=00( ( ( (x x t u t g t m dtt dx (21 之下, 在满足 U t u (0的函数集 W 中寻求最优控制策略 (*t u , 使系统的经济效益这一性能指标+=fft t t f dt e t u t px et x t u J 0( ( ( ( (22为最大,其中 (, f f t x t 都是自由的。2.3 模型求解首先

32、写出问题的哈密顿函数 ( ( ( (t u t g t m et u t px H t += (23再由协态方程及边界条件求出 (t ,即由=ff t t x f tx e t peH dt t d ( ( ( 解得t t e pe pt f+= 1( (下面利用最大值原理求 u (t 。先将（23）式改变为 * H = px (t e t m(t + g (t e t u(t 显然， H 是对 u 的线性函数，因此得到 U , g ( t e t > 0 * u (t = g ( t e t < 0 0, 或 （24） U , u * (t = 0, * p t p (1 e f

33、 + e t g (t e t > 0 (1 e p t f + p （25） e t g (t e * t <0 在上式中， 还需解决两个问题： 一是 u (t = U 与 u (t = 0 的转换点 t s 在什么位置， * 即 t s 等于多少？二是 u (t 是由 U 到 0 ，还是由 0 到 U 。 转换点 t s 应满足 p t p (1 e f + e t g (t e t = 0 即 p p ( t t f ( 1e g (t 1 = 0 （26） 从而可解出 t s 。 因为 g (t 是时间 t 的减函数，所以（26）式的左端也是时间 t 的减函数，也就是说 u

34、 (t 随时间应由 U 到 0。于是最优控制策略的具体表达式为 0 t < ts U , u* = ts < t t f 0, 至于 t f ， x (t f 的求法，请见下面的例子。 例3 在生产设备的最大经济效益的问题中，设 x (0 = 100 ， U = 1 ， m(t = 2 ， * p = 0.1 ， = 0.05 ， g (t = 解 2 (1 + t 1 1 2 ，试求 t f ， x (t f 和 u (t 。 * 由（26）式可得求 t s 的公式 (1 + t s 2 = 4 2e 当 t < t s 时， u (t = U = 1 ，状态方程为 * 0

35、.05( t s t f （27） dx = 2 + dt * 2 (1 + t 1 2 当 t > t s 时， u (t = 0 ，状态方程为 -346- 于是 t > t s 时，有 t dx = 2 dt ts dx dt = 2 + 0 dt 0 2 (1 + t 2 1 dt + ( 2dt 1 ts t 解得 x (t = 4(1 + t s 2 + 96 2t 由自由边界条件 H t =t f （28） = t f 及 (t f = e t f t f ，得 t f px (t f e 于是 + 2e t f = e x (t f x (t f = 当 t = t

36、f 时，由（28）式有 2 = 40 p 1 40 = 4(1 + t s 2 + 96 2t f 即 1 t f = 2(1 + t s 2 + 28 （29） 将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序 x,y=solve('(1+ts(1/2=4-2*exp(0.05*(ts-tf','tf=2*(1+ts (1/2+28' 求得 t s = 10.6 ， t f = 34.8 于是，最优控制策略（保养费）为 1, 0 t < 10.6 u * (t = 0, 10.6 < t 34.8 §3 产品最佳价格调整问题 3

37、.1 问题提出 物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要，决定将 A 产品的单位价格 p(t 由现在的 p0 = 70 元调整到 p1 = 100 元，并要求各公司自行在一年内完成这一调 价任务。某公司经营 A 产品多年，深知每周 A 产品的销售量 s 与其价格 p 和价格变化 & 的信息是可靠的，不妨假设 s = s ( p, p ； & 率 p 有着密切的联系， 公司想利用这种关系制定一个 A 产品的调价方案， 使全年经营 A 产品的总利润最大。在如下假设条件下： （1）物价部门对 A 产品的调价决策是积极的、正确的，在一年内（调价期）不会 发生对 A 产品的其它调价决策， A 产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化； & “每周销售量 s 与其价格 p 和价格变化率 p 的关系” （2） 公司多年经营 A 产品关于 -347- （3）公司生产 A 产品的能力足以满足市场需求。设每周生产 s 件 A 产品的生产费 用是 c( s ； & （4）函数 s ( p, p 和 c( s 由统计方法拟合成连续可微函数。现查阅统计资料得到