高等数学教学教案§11 4 对面积的曲面积分

1、六六老师数学网专用资料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;11. 4 对面积的曲面积分授课次序71教 学 基 本 指 标教学课题§11. 4 对面积的曲面积分教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点对面积的曲面积分教学难点计算与基本应用参考教材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ；积分：integral；重积分：mult

2、iple integral；二重积分：double integral；三重积分：threefold integra课堂教学目标1 了解对面积的曲面积分的概念、性质；2 掌握计算对面积的曲面积分的方法。教学过程1对面积的曲面积分的概念、性质（35min）；2计算对面积的曲面积分的方法（55min）教 学 基 本 内 容§11. 4 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题: 设S为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为r(x, y, z), 求其质量: 把曲面分成n个小块: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代

3、表曲面的面积); 求质量的近似值: (xi, hi, zi )是DSi上任意一点); 取极限求精确值: (l为各小块曲面直径的最大值). 定义 设曲面S是光滑的, 函数f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小块: DS1, DS2 , × × ×, DSn (DSi也代表曲面的面积), 在DSi上任取一点(xi, hi, zi ), 如果当各小块曲面的直径的最大值l®0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被积函数, S叫做积分曲面. 对面

4、积的曲面积分的存在性: 我们指出当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的. 今后总假定f(x, y, z)在S上连续. 根据上述定义面密度为连续函数r(x, y, z)的光滑曲面S的质量M可表示为r(x, y, z)在S上对面积的曲面积分: 如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和. 例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S=S1+S2)就规定 . 对面积的曲面积分的性质: (1)设c 1、c 2为常数, 则 ; (2)若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则 ; (3)设在曲面S上f(x, y, z)&

5、#163;g(x, y, z), 则 ; (4), 其中A为曲面S的面积. 二、对面积的曲面积分的计算 面密度为f(x, y, z)的物质曲面的质量为. 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为D , 那么曲面的面积元素为,质量元素为. 根据元素法, 曲面的质量为. 因此. 化曲面积分为二重积分: 设曲面S由方程z=z(x, y)给出, S在xOy面上的投影区域为Dxy, 函数z=z(x, y)在Dxy上具有连续偏导数, 被积函数f(x, y, z)在S上连续, 则 . 如果积分曲面S的方程为y=y(z, x), Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 如果积分曲面S的方程为x=x(y, z), Dyz为S在yOz面上的投影区域, 则函数f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分为 . 例1 计算曲面积分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0<h<a)截出的顶部. 解 讲解要点：1、球面方程的变化；2、投影区域的确定例2 计算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1