黄埔大桥吊索结构系统参数与内力关系研究

1、黄埔大桥吊索结构系统参数与内力关系研究蔡禄荣1 陈红2 黄成造2 王荣辉1（1华南理工大学 土木与交通学院,广东 广州 510640;2广州珠江黄埔大桥建设有限公司，广东、广州、511434）摘 要：目前，大跨度悬索桥吊索索力识别最经济、适用的是频率法，然而由四根吊索通过减振架连接起来后，现有的常用索力计算公式完全不适用。本文采用有限元法，对大跨度悬索桥中含减振架的长吊索建立了有限元计算分析模型，然后基于能量变分原理，推导了索结构系统参数与初始内力关系的表达式，并在黄埔大桥悬索桥试验验证，为识别此类吊索的内力问题提供可靠的计算方法。关键词：索结构；频率法；减振架；内力识别在大跨度悬索桥中，吊索

2、恒载索力大小，既决定了主缆在成桥状态的真实索形，也决定了加劲梁的恒载弯矩，是研究悬索桥内力状态的关键。目前常用的索力测试方法有电阻应变片测定法、压力传感器测定法、张拉千斤顶测定法、磁通量法、频率法等多种，频率法是最经济、最适用的方法。苏成1等提出一种基于多阶频率测试结果的斜拉索抗弯刚度识别方法；方志2等基于两端固结梁在轴向拉力作用下横向振动方程，拟合出轴向拉力与梁的抗弯刚度、长度、线密度及振动频率之间的数值关系；黄平明3等用索力和索长来表示减振架的近似弹簧刚度。然而，由四根索股通过减振架联结起来的长吊索，常用的计算公式完全不能用，其等效弹簧刚度也不仅仅与初始索力和索长有关，一般的简化方法不能满

3、足精度上的要求，使得此类索的索力识别成为一个难题。本文采用有限单元法，对由四根索股通过减振架联结起来的长吊索建立了计算分析模型，基于能量变分原理，推导出索结构系统参数、振动频率和内力的关系表达式，并通过试验和实桥予以验证。1 计算模型由于长吊索的自振频率比较小，为了减少风致涡振等现象，在吊索的中间加一减振架，使四根索股相互连接在一起，如图1所示。 图 1 悬索桥吊索及减振架 图 2 计算分析模型 吊索上端通过索夹挂在主缆上，主缆相对稳定且刚度较吊索大得多，固长吊索的上端可看作铰支边界，吊索的下端通过锚头连接于加劲梁上，可以看作固支边界。将四根吊索、减振架和吊索夹具等一起考虑的三维计算分析模型如

4、图2所示。减振架、索夹和铸块的刚度较吊索来说大很多，相当于一块刚体。因此，在采用有限单元法算中，把长吊索看成柔性索单元；把减振架、索夹和铸块看成是刚体，对索股之间的位移有约束作用，且对吊索的振动附加了质量块；对吊索采用一致质量矩阵，其余采用堆积质量矩阵进行模拟计算。2 结构系统振动方程的建立结构振动时，各质点具有加速度。根据达朗贝尔原理和能量变分原理，可以建立求解结构振动问题的有限元基本方程，再通过编译相应的计算程序，就可以求得吊索的索力。2.1 单元位移模式将结构离散为若干个由12个自由度组成的三维二节点单元。考虑结构构件中轴力作用要改变索结构单元的弯曲刚度，弯矩作用使索单元弯曲长度缩短而改

5、变单元的轴向刚度，为了较好地模拟轴力与弯矩的相互作用，建立了考虑抗弯刚度的三维多自由度索单元，如图3所示。图 3 空间索单元位移和力的分布在第（e）个索单元中，任意点的位移可以用单元节点位移向量表示，即 （1）上式中，为形函数矩阵。形函数矩阵可参考索静力平衡函数确定，索单元的平衡方程为： （2）解此常系数四阶微分方程，得 （3）上式中：，T为吊索的索力，A、B、C、D为待定系数。假设索单元轴向的振动函数为, 顺桥向为，横桥向为，绕轴扭转方向为，这些函数都可表示成位移函数和时间函数的乘积，即有 （4）其中，据此，可取吊索的位移模式为： （5）上式中，a0,a1,b0,b1,b2,b3,c0,c1

6、,c2,c3为待定参数，可以由结点位移来表示。单元中任意点的速度和加速度也可以用单元节点速度向量和节点加速度向量表示： （6）2.2 单元刚度矩阵和质量矩阵整个吊索结构系统的势能包括所有单元的弯曲应变能、轴向应变能，以及弹性支座的弹性势能之和。通过能量变分原理可以得到索单元的刚度矩阵和质量矩阵。含初始内力的单元刚度矩阵可简单地表述为 （7）上式中，为单元应变矩阵，为弹性矩阵。单元一致质量矩阵可简单地表述为 （8）m为索单元单位长度的质量。采用单元刚体位移分布，依据单元分布质量的惯性势能与堆积质量的惯性势能相等，可求得堆积质量矩阵。2.3 减振架等效处理减振架相比吊索相比，刚度非常大，因此可把它

7、等效成刚性薄板，对被连接的四个吊索的节点位移起到相互约束作用。为了建立它们之间的位移约束关系，以减振架的质心为原点，建立局部右手螺旋直角坐标系oxyz，如图4所示。在整体划分单元时，在四根索股与减振架联接点处分配单元节点，同时在减振架的质心位置虚设一节点Q，假定在此局部坐标系中，四节点的相对编号分别为1、2、3、4，以表示它们的节点位移向量，以表示节点Q的位移变量。由于减振架位于整根索股的中间位置，不难看出，与节点1、2、3、4相连接的吊索单元各有两个，取第一根索股为例，上下两单元及其节点编号如图5所示。 图 4 减振架计算分析简图 图 5 吊索局部单元及其节点示意图令减振架横桥向（两吊索间距

8、）长为a, 顺桥向宽为b, 以右手螺旋系顺时针转动为正。当给节点Q一小位移时，由刚体运动学，可得到减振架四个角点的位移向量，也即为节点1、2、3、4的位移向量，然后对三角函数采用泰勒级数展开,并忽略二阶以上微量，可以得到个四节点的位移分别为： （9）令为减振架质心与节点“1”之间的位移约束矩阵，即为上式的系数矩阵，从而则式（9）可简化成 （10）从上式可以看出，通过位移约束矩阵，减振架的四个角节点的位移向量都可用其质心节点位移向量来表示。也就不难想象，在整体分析时，用减振架的质心节点位移向量表示其四个角点的位移向量，也即相当于可以把四个角节点汇聚于质心，减少了计算自由度并达到耦合位移的目的。对

9、单元（），令其单元刚度为，位移向量为，用节点Q的位移向量表示为 （11）为单位矩阵，令，则该单元的应变能可表示： （12）由变分原理，可得用质心节点Q的位移向量表示节点1的位移向量后，其单元（）刚度矩阵为 （13）该单元的惯性力势能可表示为： （14）由变分原理，可得用质心节点Q的位移向量表示节点1的位移向量后，其单元（）一致质量矩阵为 （15）同理，对单元（），令其单元刚度为，位移向量为，用节点Q的位移向量表示为 （16）令，其单元（）刚度矩阵和一致质量矩阵为 （17）对其余三个节点的相关单元，以同样的方法，可得经约束后相应的刚度矩阵和质量矩阵。假定减振架的单位体积的质量为，总体质量为，在局

10、部质心坐标系oxyz中，把其视为刚体后，令表示绕x轴的转动惯量，为绕y轴的转动惯量，绕z轴的转动惯量。依据能量变分原理，可推导其质量矩阵为各元素为：；，其余为0。2.4 振动特征方程系统总势能等于各个单元的势能之和，对于自由振动体系，由最小势能原理有： （18）上述方程的解具有如下形式 （19）把式（20）代入式（19），可得如下特征方程： （19）为使上述方程有非零解，则必有 （20）式中，质量矩阵与结构的几何参数和材料密度有关；总体刚度矩阵包含吊索的物理参数、弹簧的刚度和初始张力T，且后两参数都是一次幂；为固有圆频率，=2f，f为固有频率；为振型。因此，在非负数范围里，吊索的张力T和其自振

11、频率是一一对应的。在该方程中，可以考虑弹簧约束、刚体约束和质量块等因素的影响，更能模拟工程实际。3 算例分析为验证本文含有初始内力的有限元计算方法的可靠性，做了如下实验。鉴于反力架的长度，选择了长为3.26 m，线密度为1.092 kg/m 的钢铰线模拟吊索,在离其中一端点1.786 m处附加一竖向弹簧约束,由实验测得其刚度系数为157786 N/m。反力架内部装有传感器，张拉力由液压控制设备控制。在实验之前，先对其进行预张拉，然后再进行逐级张拉，等张拉稳定一段时间后，采用击振法进行激振，用东方噪声振动研究所开发的加速度传感器5938进行拾振采样，实验结果见表1。表1 模拟实验结果F1 (/k

12、N)传感器编号实测频率 (/Hz)F2 (/kN)误差 (/%)1阶2阶3阶4阶9.911117.6236.2254.8280.2810.2923855232.3165.5998.88132.1715.1101/44.0665.5986.1515.8424845237.275.38114.54/19.972125.4550.9172.45102.820.010190240.1482.24122.38164.47246.01114.54171.33229.09上表中，F1是指实验所加张拉力（由高精度传感器读得），F2是运用本文方法计算的结果，传感器“1”捆绑在垂直弹簧约束方向的钢绞线上，传感器“

13、2”捆绑在离其中一固端点1.786 m 处且顺着弹簧的约束方向，。表1的实验数据表明，在逐级张拉的过程中，用本文方法所计算的结果与实测张拉力吻合得较好，最大偏离值为4.845%，小于5.0%，同时也表明了本文方法的优越性和可靠性。另对黄埔大桥在通车前空载作用下进行过索力测试，通过所得频率进行索力计算，其中四根索的设计值和相应的计算结果见表2。表2 实测结果及其设计值索号设计值 (/kN)本文计算结果 (/kN)索号设计值 (/kN)本文计算结果 (/kN)W1-1329.4342.2W1-2338.1332.2W1-3348.9321.8W1-4353.1343.1从实际工程意义上来看，上表的数据也表明本文计算方法的可靠性。4 结论1.本文采用有限单元法，依据能量变分原理，推导了含有减振架的吊索结构振动特征方程，通过测试吊索的自由振动频率，能很方便地求解出吊索的初始内力。2.通过试验和实桥验证表面，用本文计算方法所得结果与实验结果误差在5%以内，能够满足工程精度要求，为大跨度悬索桥的索力识别提供参考。参考文献1 苏成, 徐郁峰, 韩大健. 频率法测量索力中的参数分析与索抗弯刚度的识别J. 公路交通科技, 2005, 22 (5): 75-78.2 方志, 汪建群, 颜江平. 基于频率法的拉索及吊杆张力测试J. 振动与冲击, 2007, 22 (9): 78-82.3 许汉