问题与反思建构对学习与对称的理解

1、问题与反思：建构对学习与对称的理解 高文教授与博士们就“基于学习创新的课程与教学”课题研究所展开的论坛 “基于对称主题探究的课程与教学研究”作为高文教授所主持的教育部十五规划重点课题“基于学习创新的课程与教学”的案例研究部分，正在全面展开。该案例研究自从去年7月份开展以来，现已经进入第二阶段数学化理解阶段。我们整个研究团队在深入实验学校进行了较长时间的活动课设计、实施与分析之后，觉得有必要对从真实教育现场中涌现的诸多问题以及研究团队内部所产生的诸多观念进行一次阶段性的反思、梳理与总结，并为接下来的案例实验研究的进一步改进与完善提供动力、理念与策略上的支持。4月16日下午，在高文教授的主持下，我

2、们整个团队就案例研究的理念、研究方法和策略、下一步计划等诸多议题进行了充分的交流与讨论。本文即是对这次论坛的观点记录、归纳与总结。问：“对称主题探究的课程与教学案例研究”的实验已经走入了中期阶段。这一阶段刚刚完成了3次活动课。通过观察与分析，我们发现，学生对我们所设计的这种“做数学”的活动方式表现了较大的热情。但同时，我们也注意到，一部分在传统意义上所谓好的学生仿佛并不适应我们这种新的课程与教学方式，他们在工作单表现、课堂表现、小组活动表现等诸多方面并未显示出他们过去的过人之处。我们逐渐有这样的一种想法，即，我们的整个实验设计是否也是只能更好地促进一部分学生的发展，而这也从另一个侧面说明传统教

3、学也具有一定的合理性？而特别就数学学科而言，传统的数学教学不也培养出了诸多数学家、科学家以及其他各领域的专家学者吗？我们现在非常想理顺的一个思路是：传统课程与教学方式是否也是具有合理性因素的？它是否也在相当程度上支持了一部分学生（在一定范围内，包括那些在我们的实验中表现得并不出色）的学习与理解？而如果承认上面两点，那么，我们现在在实验中的课程与教学设计的先进性、改进性又体现在何处？高文教授：首先我想要说的就是，我们的数学课程不应该是为了培养数学家而设置。我们现在所面对的每一个学生，都应该是倾注我们的心血给予培养的对象。我们的数学教育不是在培养了一批数学家、科学家的同时，让更多的学生在“一种对数

4、学的无可奈何、甚至苦不堪言的状态”下被无情地淘汰。应该给予学生一个什么样的数学教育，我认为得从对数学本身的认识谈起。回顾整个20世纪，我觉得可以说是数学与无机界结合的世纪，这其中包括数学与物理之间所具有的紧密联系。但是，当历史步入21世纪时，我认为，未来的世纪一定是数学与生物、与有机界携手发展的世纪。美国学者斯图尔特在第二重奥秘生命王国的新数学中深刻地指出：与数学有关的生命现象是极其广泛的，生命的起源、小鸡翅膀的发育、基因密码的出现、DNA双螺旋结构、螺线形螺壳、凤梨上的纹路、天使鱼身上的蓝色斑纹、迷人的孔雀尾、动物憨态可掬的步态，以及珊瑚的生长等等，所有这些生命的律动都和数学有关。他同时指出

5、，如果说基因组的发现在一定意义上揭示了生命的奥秘的话，那么这种揭示只是展示了构成生命的表面“菜单”，而真正构成这个菜单里的内容就是数学，所以，支配有机体成长的数学规律是生命的另一奥秘，我们可以把其称为第二重奥秘。如果我们把科学视为对自然界的一重反思，那么数学就是对科学的二重反思。放眼整个世界，处处蕴涵着数学，处处体现着数学。无怪乎有学者把数学称作为揭示模式的科学，而我们就是生活在一个由诸多模式组成的宇宙中。也正是基于这些考虑，我认为，我们的数学正从一个刚性的体系进入到了一个非常未知的领域，很多隐藏在大自然内部的数学规律正等待我们去一步步地去探索、去挖掘。今天的数学已经远远超越了欧氏几何的限制，

6、更多的自然现象、科学现象已经使非欧几何的魅力显露无疑。数学已经成为索引、解释、揭示世界客观规律的有力武器，数学已不再是数学家把玩思维的一种符号游戏，而是在真正意义上担负起了“科学的女王”这一盛名。反观我们今天的数学教育，我认为我们不应该是去为了培养数学家而进行数学教育，数学在未来社会所显现出的越发重要性要求去培养那些具有数学素养的公民，这样的公民才能真正领悟与理解数学的文化品质，才能真正担负起服务社会、开创未来的重任。无论我们今天的学生将来从事何种职业，让他们具备足够的数学素养应当是今天的数学教育的首要关注点。传统的数学教育的确培养了一批数学家、科学家，但同时也培养了一大批恐惧数学、厌恶数学的

7、“数学盲”，他们对数学的理解恐怕就是“抽象、孤立、冷竣、无用”。对于这些人而言，他们真正缺乏的是用数学理解现实、理解世界，并利用数学反观自己身边所发生的一切的素养与能力。从这个意义上说，我们不能仅仅向学生讲授欧几里德几何，更多地体现时代特色、代表学科前沿、反映知识间联系的数学知识（更是与其他学科、其他知识紧密联系的数学知识）应当可以在中小学中渗透，至少可以让学生触摸到数学的真正发展韵律，而同时，更为重要的是，任何领域的真正学习一定不能仅仅固守自己那块狭小的田地，画地为牢，而应该是敢于跨越学科边界、敢于跨越领域边界，在一种不断开放、互相交织的状态下一次次迈开挑战自身的学习步伐。我想，新的数学观已

8、经要求我们建立一种新的数学学习观、数学教育观，我们的整个实验应该是建基这样一个思考基础之上的。问：高文老师，您刚刚谈到的对数学以及数学教育的重新认识，是否又在一定层面上揭示了一种对知识、对学习、对学习者的全新看法？而这种新认识是否又是支撑我们这个研究团队进一步研究的内在理念？那么，进一步地，您认为在这样的理念支撑下，我们的实验研究在方法与策略层面上的突破、创新之处体现在何处呢？高文教授：我对第一个问题的回答是肯定的。通过前期的研究以及中期所进行的几次活动课，包括马上即将投入建设的网站，实际上都渗透与逐渐明晰了如下一种新的知识观：知识的结构性（建构性的结构）、知识的开放性以及知识的索引性。有意义

9、的知识一定是具有内在结构的，学习者对于知识的深刻理解必然是建立在对知识结构的把握上。作为我们实验研究的内容对称，也是具有内在的脉络结构的。而作为研究者的我们，实际上也是学习者，我们首先必须去领悟与理解什么是对称，并建构这一知识的内在结构，然后以我们所建构的结构去支持学生的建构。所以说，知识的结构性一定是动态的建构性结构，即是在建构、结构、打破结构重新建构、形成新的结构的动态过程中不断生成的。那么在承认知识结构的基础上，我们又必须明确，知识结构上的知识点一定是知识结点，它不是孤立的，它具有发散、发展与开放的潜力与空间。当知识从这个结点发散与拓展出去之后，必然会使原先的结构得以扩充、精细化、完备化

10、，从而形成一个新的知识结构网络。实际上，这样一种动态的知识发展观也内蕴着知识的索引性特征，作为中介学生理解的我们，首先应该具有前沿的视野，去与这个领域的真正专家展开积极互动，去追索这个领域的前沿性知识，以这样的前沿性知识去引导学生的知识建构与理解，在我们与专家的互动、学生与我们的互动过程之中，让学生在不断追索、眺望本学科前沿知识的基础上，在反思自身的基础上，不断丰富、拓展自己的理解。综上所述，知识的建构结构性、开放性、索引性实际上构成了我们整个研究在知识层面上的理论假设，而且这几个方面也一定是相互关联的。在这样的知识假设之上，我认为，学生一定是作为学习者在建构知识的过程中不断发展他们对“对称”

11、的理解的，从这个意义上说，学生在实验过程中所反映出的各种所谓的“错误”，对他们来说是自然的、合理的，因为这样的错误是与他们当时的经验相容的，而且这样的错误其实也蕴涵了“概念转变”与“概念发展”的潜力与可能性，这实际上也就说明了冯格拉斯菲尔德一直强调的“知识的生存力”的观点。那么，就课程与教学设计来说，应进一步思考的问题就是，我们是否对学生的错误进行了全面深入的分析？这些错误背后所体现的学生在理解、思维上的特征和规律是什么？我们提供了什么样的支撑手段去帮助学生转变概念，从而获得理解上的发展的？此外，对于具有不同经验的学生，我们是否仔细分析了学生所具有的各种不同的最近发展区，并进而对其提供不同层次

12、的脚手架以支撑他们的持续性学习？我认为，我们在实验中的一个新举措就是采用了工作单这一手段与策略。起先我们设计工作单的目的是让学生来动手“做数学”，让他们真正在做的过程中体验、内化一些默会性的知识。通过课堂观察和学生的反应情况来看，我觉得我们这一目的是达到的。但如果再仔细分析学生从工作单上所反映出的问题（或者说是一些体现学生当时思维情况的错误），我倒认为，对于工作单功能的理解可能还需进一步细化与深化。如果能进一步把工作单的功能挖掘得透彻，我想它完全可以成为贯穿我们整个实验理念的突破口。简言之，我认为，工作单除了能够让学生动手做数学外，还可以起到诊断、分析学生思维与理解状况的功用，还要使工作单成为

13、给予具有不同发展区的学生以有力支撑的工具，使工作单成为学生反思他人与反思自身的工具，成为课程设计者与学生互动、与教师互动的工具，成为学生概念理解状况的资源库，成为推动与支撑学生进一步学习和探索的动力源，成为发展学生学习的开放性与多元化的创新平台。总之，以工作单作为我们研究重要切入点，我想一定会在贯穿我们整个实验理念的同时，也会在实验中逐步形成一种具有可操作性的策略包和资源库，从而在真正意义上为课程与教学的改革提供理念与实践上的双重支撑。问：我们的整个实验设计是以“对称”为内容主题的，那么，您当初在确定这样的实验内容的主题时，究竟是出于什么样的考虑？我们在实验中，往往给他人（甚至包括实验学校的老

14、师）以这样一种印象：你们不就是让学生理解对称嘛，我们的数学课本中也有相关的内容啊，你们花这么长时间就让学生学这么点内容，太不经济了；如果让我来教，几节课就可以把概念教得清清楚楚了，根本用不了这么长时间，花这么大力气。如何去看待这样的观点呢？高文教授：或许有人会说，“对称”不就是一个很好理解的简单概念嘛，有这个必要花这么多时间去进行研究，甚至还作为实验的内容主题在中学进行实验研究吗？实际上，对称绝不是一个简单的概念。当我在电脑中输入关键字“symmetry”的时候，各种各样的信息铺天盖地地呈现在我眼前。对称与变换、对称与群、对称与分形、对称与晶体、对称与艺术、对称与建筑、对称与植物等等，林林总总

15、，令人目不暇接。可以说，对称渗透在我们所生活的世界的方方面面。对称体现了大自然的一种内在的深刻规律和模式，它支配着整个世界的运作、发展与变化。前面我谈到，数学是揭示自然界内在规律的模式，那么，对称就是这个模式中的重要一种。自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构这一连续统上的每一个尺度上都能找到。比如许多化学分子是对称的，甲烷分子是一个正四面体，一个碳原子在中心，4个氢分子在角上，这是一个典型的空间对称。苯具有正六边形的对称结构。而当前在化学领域中时髦的分子富勒烯是60个碳原子的截角二十面体，它的对称性为它提供了惊人的稳定性，它为有机化学开辟了新的发展前景。在比分子略大的尺度上，

16、细胞结构也具有对称性。比如1887年，生物学家首次发现了每个活细胞内部有一个叫“中心体”的不定形结构，它在组织细胞分裂中起重要作用。通过深入观察，人们发现，中心体的结构也具有惊人的对称性。再比如，自然界中的病毒往往也是对称的，最常见的形状是螺旋形和二十面体。例如，流感病毒的形状就是螺旋形的，而在其他病毒的形状中，大自然则偏爱二十面体，如疱疹、牛痘、人体肉赘、犬传染性肝炎、腺病毒以及许多其他病毒。再把尺度放大一些，对称性原理更是让人惊讶不已。生物学家通过研究已经发现，正在发育的蛙胚从球形细胞开始其生命，随着分裂逐步丧失其对称性，直到变成囊胚，即整个形状又呈现对称的球形。再后来，囊胚在原肠胚的形成过程中开始吞食自身的一些部分，在这一过程中，胚围绕一根轴呈旋转对称。之后，旋转对称性被最终打破，只有导致成体蛙两边对称性的单一镜像对称得以保持。如果尺度再进一步放大，火山是对称的锥形，恒星是球形，星系是螺旋形的或椭圆形的，这所有的一切都带给了科学探究的无穷动力，即探索构成这所有模式的内部数学规则与普遍原理究竟是什么。如果我们就把对称的相关内容作为一个个知识点以较短的时间来教，先不说学生今后的发展后劲如何，但可以追问的是，