44第四节有理函数的积分

1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 利用各种代换可将无理函数或超越函数的积分化为有理式函数的积分.有理式函数的积分可以用初等函数的形式处理.1.1.有理函数有理函数: :有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数.有理函数的形式是：mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxqxp11101110.)()(高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(其中m,n为非负整数,a0,a1,an及b0,b1,bm为实数,且a00,b0 0)注意: (1)我们假设分子p(x)和分母q(x)这两个多项

2、式之间没有公因式; (2)分子是n次多项式,分母为m次多项式, 当nm时,此有理函数为假分式.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系2.2.真分式及其性质真分式及其性质 通过多项式的除法,总可以把一个假分式化为一个多项式和一个真分式之和的形式。例如1111223xxxxx 由此可见,对于有理函数的积分,只要计算真分式即可,因为多项式的积分在前面已经得到了研究,高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系另外, 真分式也可用p(x)/q(x)表示. 真分式p(x)/q(x)可分解为部分分式之和, 条件是多项式q(x)在实数范围内能分解为一

3、次因式和二次因式的乘积, 即高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系).()().()()(220srxxqpxxbxaxbxq其中p2-4q0,r2-4q0 则部分分式之和的形式如下:2.r xsxrxs 其中a1,.b1,.m1,.n1,.r1,.s1,都是常数121211( ).( )()()()()baaabbp xq xxaxaxaxbxbxb 112211222212221.()()()()m xnm xnm xnr xsr xsxpxqxpxqxpxqxrxsxrxs高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系注意: (1)

4、 分母q(x)中, 如有因式(x-a)k, 则分解后有k个部分分式之和, 即axaaxaaxakkk.)()(121(其中a1,a2.ak都是常数,为待定系数)特别是若k=1, 则分解后的部分分式就是axa1高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 (2)分母q(x)中,如有因式(x2+px+q)k,则分解后有下列k个部分分式之和,即qpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmkkkk21222211.)()(其中p2-4q0,m1,n1,.都是常数, 为待定系数)特别是若k=1,则分解后的部分分式为qpxxnmx2高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理

5、系武汉科技学院数理系例1 把真分式 分解为部分分式之和6532xxx)2)(3(36532xxxxxx解:此题分母q(x)分解为二个一次因式, 有32)2)(3(3xbxaxxx其中a, b为待定系数高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 2. 2.待定系数的求法待定系数的求法 第一种方法：等式右端通分,等式两端去分母,比较等式两端的系数与常数,使之相等,解方程组,求出待定系数.(3)(2)23(2)(3)aba xb xxxxx1,3235,6ababab 3(3)(2)()(32 )xa xb xab xab高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理

6、系武汉科技学院数理系第二种方法：在通分和去分母后,得到一恒等式, 在恒等式中,代入特殊的x值,求出待定系数例如例1得到 x+3=a(x-3)+b(x-2) 令x=2 a=-5 x=3 b=6 则有部分分式之和为3625)2)(3(3xxxxx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 把真分式 分解为部分分式之和2) 1(1xx解:22221(1)(1)(1)(1)1(1)abca xbxcx xx xxxxx x221111(1)(1)1x xxxx2(1)(1)1,2,1xxcx xxc 令得到0,1;1,1,xaxba b令得到把代入 得到2(1)(1)1

7、a xbxcx x高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系3.3.有理真分式的积分有理真分式的积分 积分步骤:(1)把真分式分解为部分分式之和. (2)对各部分分式积分.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dxxxx65322333256(2)(3)23(2)(3)xxabaxabxbxxxxxxxx解 例3 求23565ln26ln35623xdxdxdxxxcxxxx 1,3235,6ababab 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例4 计算43232222221xxxxdxxxx例5 计算

8、2) 1(xxdx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系下面讨论积分.)(2dxqpxxnmxn把分母中的二次质因式配方得到22222()24ppxtxpxqtaaq222(),24ppxpxqxq()2mpmxnmtb bn22222.()()()nnnmxnmtdtbdxdtxpxqtata高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系222ln()2pxmxnmbdxxpxqarctgcxpxqaa222122()2(1)()()nnnmxnmbdxdtxpxqntata 1,n 当时1,n 当时221,()ndtta用递推公式解之

9、有理函数的原函数都是初等函数高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系122211(23)2(1) ()nnntinianta2112212(1)()nnnntinia ita22212212(1) ()()nnandttata221()ntta2221222(1)()()nnttndttata122122111,()()nnndtidudt vuttata222(1)()nntdtdvta 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系以此作递推公式,并由caxarctgai11例6有些可化为有理函数的积分,如2sec(1 sec )xdx

10、x还有些可把代数恒等变形或换元等方法：27(1)(1)dxxx例求5881xxdxx例求高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系从上面的不定积分看出,求一个函数的不定积分比求函数的导数灵活得多,一个积分可以用多种方法计算,并且积分结果在形式上也可能不一样,在具体计算时,应尽可能选择简单的积分法.例9 求224xxdx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分 1. 三角函数有理式的表达式为三角函数有理式的表达式为r(sinx,cosx)三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则运算所构

11、成的函数,而各类三角函数都可用sinx及cosx的有理式表示.故三角函数有理式也就是sinx, cosx的有理式.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系2.2.简单三角函数有理式积分的求法简单三角函数有理式积分的求法 万能代换2222222,21112xtgxdtttgtdxtgxxtttgdttttttrdxxxr222212)12,11()sin,(cos2222121.sin,cos211tttctgxxxttt高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系3简单无理函数的积分简单无理函数的积分 1. 1. 简单的无理函数的形式简单

12、的无理函数的形式 我们只讨论r(x, t)形式的简单无理函数. 其中：nndcxbaxtbaxt,2.2.简单无理函数积分举例简单无理函数积分举例一般直接令根号为t ,目的是换元后去掉根号.高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系dxxx12:1,1,2txxtdxtdt解 令例10 求12(11)xtgxc 1212 (1)2()1dtttg tct2222121 1211xttdxdtdtxtt 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例11 求xxdx)1 (365,6tx dxt dt=解解22325316)1 (6)1 (tdttttdttxxdxcttgt