2.1二重积分的计算ppt课件

1、9.2 二重积分的计算一一 二重积分在直角坐标系中的计算二重积分在直角坐标系中的计算二重积分在极坐标系中的计算二重积分在极坐标系中的计算二重积分的应用举例二重积分的应用举例 二重积分的换元公式二重积分的换元公式一一 二重积分在直角坐标系中的计算二重积分在直角坐标系中的计算1 积分区域积分区域D为为x型区域型区域)()(,21xyxbxaoxyba)(1xy)(2xyDoyxzab),(yxfz Ddyxf),(xbadxxA)()()(21),()(xxdyyxfxA)(1x)(2xdxdyyxfbaxx),()()(21 baxxdyyxfdx)()(21),(（先（先 后后 的二次积分）的

2、二次积分）yx)(xA2 积分区域积分区域D为为y型区域型区域)()(,21yxydycoxycd)(2yx)(1yx Ddyxf),(dcyydxyxfdy)()(21),(（先（先 后后 的二次积分）的二次积分）xy例例1 求求,)(Ddxy其中其中D是由曲线是由曲线21xy与直线与直线xy 及及y轴所围成的闭区域。轴所围成的闭区域。Ddxy)(解解21220)(xxdyxydx2202)121(dxxx2202321 (3142）x312 oxy22例例2 求求,Dxyd其中其中D是由曲线是由曲线xy 2与直线与直线2 xy所围成的闭区域。所围成的闭区域。oxy)2, 4() 1, 1

3、( 21Dxyd解解2212yyxdxydy21523)44(21dyyyyy845oxy)2, 4() 1, 1 ( Dxyd4xxydyxdx10 xxydyxdx24104132)45(21dxxxx845例例3 交换下列二次积分的顺序交换下列二次积分的顺序（1）xxdyyxfdx220),(（2）xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2解解（1）oxy242 xxdyyxfdx220),(yydxyxfdy220),(2242),(ydxyxfdy（2）oxy211xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2yydxyxfdy211102),

4、(xy 222xxy例例4 计算计算.sin110ydxxxdy解解110sinydxxxdyxdydxxx010sin10sin xdx1cos1oxy11二二 二重积分在极坐标系中的计算二重积分在极坐标系中的计算点点P的极坐标的极坐标),(ox与直角坐标与直角坐标),(yx之间的关系式之间的关系式ycosxsiny（极坐标变换公式）（极坐标变换公式）PDdyxf),()sin,cos(fDdd（先（先 后后 的二次积分）的二次积分）例例5 将将Ddyxf),(化为极坐标系下的二次积分，化为极坐标系下的二次积分，其中其中.11:2xyxDoxy解解:D,201sincos1Ddyxf),(1

5、sincos120)sin,cos(dfd例例6 求求,)(Ddyx其中其中,22:22yxyxD. xy 解解oxy,434:Dxy)sin(cos20Ddyx)()sin(cos202434)sin(cosdd4343)sin)(cossin(cos38d4344)sin(cos3238例例7 求求,22Ddyx其中其中,2:22xyxD. xy 解解oxy,42:Dcos20Ddyx22cos20242dd423cos38d422sin)sin1 (38d423)sin31(sin38921016三三 二重积分的应用举例二重积分的应用举例例例8 求区域求区域 , 1:22 yxD,222

6、xyx0y的面积。的面积。oxy解解DdA1030ddcos2023dd6232cos2d623)2cos1 (d6436433例例9 求两个圆柱面求两个圆柱面)0(,222222RRzxRyx所围成的立体的体积。所围成的立体的体积。oxyz22xRzD解解, 0, 0,:222yxRyxD记记那么那么dxRVD2282200228xRRdydxxRRdxxR02283316R例例10 设设)(xf可微，且可微，且, 1)0(, 0)0(ff求求dyxftDt)(1lim2230其中其中.:222tyxD解解dyxfD)(22tdfd020)(tdf0)(2dyxftDt)(1lim22303

7、00)(lim2tdftt203)(lim2tttftttft)(lim320tftft)0()(lim320)0(32f 32例例11 计算积分计算积分.02dxex解解dxedxebxbx0022lim记记,)(02dxebIbx那么那么dxedxebIbxbx00222)(dyedxebybx0022Dyxdxdye)(22其中其中.0,0:bybxDoxybbb2b2记记, 0, 0,:2221yxbyxD, 0, 0,2:2222yxbyxD那么那么22222122)()()(DyxDyxDyxdxdyedxdyedxdye200)(2122bDyxdeddxdye)1 (42be2020)(2222bDyxdeddxdye)1 (422be1D2D2222012)(12bbxbedxebIe22bdxedxebxbx0022lim2四四 二重积分的换元公式二重积分的换元公式设设),(),(vuyvux，那么，那么Ddxdyyxf),(),(),(vuvu