30积分应用二

1、高等院校非数学类本科数学课程授课教师：彭亚新 第八章 定积分的应用本章学习要求：掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第八章 定积分的应用第 五、六 节 微积分在物理学中的应用一、变力沿直线作功二、液体的静压力三、连续函数的平均值. , : )( 的变化而变化值大小随轴正向其方向沿设变力xxxf , )( 轴正向运动到点处沿从点推动物体变力xaxxf : )( 所作的功为处点babxxx

2、xoxy)(xfab . 0 , ,( xbax , 可视物体在区间很小时当 x , )(其值为作功按常力xf , ,处的值以变力在点上xxxx .)(xxfw .d)(d : ,xxfw 微分元素为变力沿直线作功问题的于是 ,性由于功对区间具有可加 :的功为 . , :bax积分区间 .d)(d :xxfw 微分元素 .d)(d : babaxxfww功的计算oxyabw)(xfy w )( 沿直线移动物体所做故变力xf 变力作功的几何表示例1解解 , )( 1 , )( 20. 0 充满了压强的气缸内长为直径为mm , . )/( 108 . 9 25若保持温度不变的某种气体为mn . )

3、( 5 . 0 使气体压缩所作的功求推动活塞前进mxox5 . 01? .建立坐标系如图所示 .) 1 . 0( 2s活塞的面积为 , ) boyle ( 定律根据波义耳 ,vp与体积气体的压强恒温下 :的乘积为常数) ( .为常数kkpv .)1 ( : , sxvx压缩后气体的体积为处时当活塞移动到xo5108 . 91 ,所以 )(vkxp )1 ( sxk , ) 1 . 0()1 ( 2xk 为处作用在活塞上的压力从而在 x . 1 )(xkspxf2) 1 . 0(sxox5 . 01?xx , , , 0 视压上在取xxxx , )( 则在该小区间上压缩气不变力xf 体作的功为

4、. )(xxfw ,108 . 9)0( , 0 ,5故气体的压强时当由已知条件px .9800) 1 . 0(108 . 9 250 xpvk : ,所作的功为所求的使气体体积压缩于是5 . 0 0 5 . 0 0 d1 9800 d)(xxxxfw ) )1ln(98005 . 0 0 x ).( 1013. 22ln98004焦耳 1 dd)(d :xxkxxfw微分元素 9800k例2解解 , )( 10 了水的半球形的水池内装满半径为m .所作的功求将池内的水全部抽干oxy10 x) ,(yxpxx .建立坐标系如图所示 , 平面上的截面为一半圆球在 yx 其方程为 .10222 y

5、x , 0 ,10 , 0 则微分元素为xx )d(d2xxyw .d)10(22xx ).g/( 1000 3mk水的比重 体积 位移 比重 , , 薄片的上在xxx d , 2为为底面积体积用以xy .高的圆柱体的体积代替 ,所作的功为将水池中的水全部抽干从而 d)10(d10 0 2210 0 xxxww ) 4150 ( 10 0 42xx 2500 . )( 1078543mkg :回顾有关的知识 . , ) 1 (总是垂直于物体的表面液体对物体的压力 : , )2(液体的压强为处在液面下深 h ). ( 是液体的比重hp , )3(各个方向上产生的处液体在其内部任意一点 .压强相同

6、 . , )4(受力面积压强压力常数时在压强p例3解解oyx2 mm 2m 3x . , ,尺寸如图所示挡水有一等腰梯形闸门直立某水渠中 . , 闸门所承受的压力求当水面齐渠道顶端时 .建立坐标系如图所示 , 0 ,2 , 0 则有xx15 . 1122yx2x2x15 . 11yxy ). 23 (21 xy即有 ：故图中阴影部分面积为 d2dxyss .d)23(xx . 2 , 0 x积分区间：sxpd)(d :微分元素 .d)23(xxx ).( 4700d)23( :2 0 kgxxxp计算压力 个数值的平均值为的离散变量nu . 21nuuuun , , )( 如何计算上连续取值在

7、区间如果函数baxf ? , )( 上的平均值在区间函数baxf .) ,()( barxf设 ), 2 , 1( , : , 1nixxnbaii个小区间等分为将区间 . nab每个小区间的长度均为 )( 1 , , 11可作为函数则的中点为区间取niiiiifnxx . , )(上的平均值的近似值在区间baxf 端点也可 , )( 上的平均值定义为在我们将函数baxf . )(1lim1niinfny ?吗这里能与积分联系起来 : )(1lim 1变形将表达式niinfny )(1lim1niinnabfaby )(1lim1niiinxfab ,1的长度iixx nabxi .d)(1 baxxfab , )( ), ,()(上的平均值为在则baxfbarxf . d)( abxxfyba ), ,()( 则若bacxf .d)( abxxfyba :性质可知由闭区间上连续函数的 , , 使得至少存在一点ba .d)()( abxxffba . )(d)( abfxxfb