第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习讲义

1、第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理备考方向明确一$芳向比努力更重要卜学法指导复习目标1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原运用计数原理解决问题时，要明确完成一件事情可以有不同类的方法还是需要分几步2.能正确区分“类”和才能完成,并且要准确确定出每一类或每一“步”，并能利用两个原步的方法数；对于复杂问题可同时应用两个理解决一些简单的实际原理.问题.知识链条完善-把散落的知识连起来t一、分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有m种不同的方法，,在第n类方案中有m种不同的方法，则完成这件事共有N=m+nj+m种不同的方法.二、分步乘法计数

2、原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m种不同的方法,完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mxX 种不同的方法.概念的理解(1) 分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤 相互依存,只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.(2) 有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”或“分步”可以解决的,而要将“分类”和“分步”结合起来运用(3) 两个原理的地位有差别，分类计数更具有一般性，故通常是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，分类时标准要明确，做到不重不漏, 适当画出示

3、意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚.1.为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”.其内容如下：卡号的前七位是固定的，后四位从“ 0000”到“9999”共10 000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“ 6”或“ 8”的一律作为“优惠卡”则“优惠卡”的个数是(C ) (A)1 980 (B)4 096 (C)5 904 (D)8 020解析：卡号后四位不带“ 6”和“8”的个数为84=4 096,故带有“ 6”或“8”的“优惠卡”有5 904个.故选C.2.将一个四面体ABCD勺六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有(C ) (A)1 种(B)3

4、 种(C)6 种(D)9 种3.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(D )(A)10 种(B)20 种 (C)25 种(D)32 种 解析：因为规定每个同学必须报名，则每人只有2个选择。报名方法有2X 2X 2X2X 2=32种.4.所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有（B ） (A)45 个(B)36 个(C)30 个(D)50 个5.三个人踢毽子，互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后,毽子又被踢回给甲.则不同的传递方式共有（B ） (A)5 种 (B)2 种 (C)3 种 (D)4 种6.6名同学争夺3项冠军，获

5、得冠军的可能性有解析：根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有6X 6X6=216.答案:2167.设a,b,c 123,4,5,6, 若以a,b,c为三条边的长可以构成一个 等腰（含等边）三角形,则这样的三角形有 解析:先考虑等边的情况，a=b=c=1,2,6,有六个.再考虑等腰的情 况，若 a=b=1,ca+b=2，此时 c=1,与等边重复；若 a=b=2,ca+b=4,则 c=1,3,有两个；若 a=b=3,cva+b=6,则 c=1,2,4,5, 有四个；若a=b=4,ca+b=8,则 c=1,2,3,5,6, 有五个；若 a=b=5,ca+b=10,则 c=1,2,3,4,6,有五个;

6、若 a=b=6,c0,n0)的焦点在 y 轴上，且 m 1,2,3,4,5,nm n1,234,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 解析：由题意知nm, 当m=1时,n有6种取法;当m=2时,n有5种取法;当m=3时,n有4种取法;当m=4时,n有3种取法;当m=5时,n有2种取法;由分类加法计数原理知，符合条件的椭圆共有6+5+4+3+2=20个.答案:20 考点二分步乘法计数原理的应用【例21有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有 多少种不同的报名方法?(不一定六名同学都能参加)(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项；(3) 每项限报一

7、人，但每人参加的项目不限.解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法, 由分步乘法计数原理，知共有报名方法36=729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法, 由分步乘法计数原理，得共有报名方法6X5X4=120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63=216(种).阪思甸觀利用分步乘法计数原理解决问题(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；分步要做到“步骤完整”，即只有完成了所

8、有步骤，才完成任务;(3)对完成各步的方法数要准确确定.将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5,共25个数填入一个五行五列 的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不 超过2,考察每列中五个数之和，记这五个数和的最小值为 m,则m的最大值为(C )(A)8(B)9(C)10 (D)111114511245222453324533345解析：依据五个1分布的不同情况进行讨论，确定m的最大值.若五 个1分布在同一列，则m=5;若五个1分布在两列中，则由题意知这 两列中出现的最大数为3,故2mc 5X1+5X 3=20,故10;若五个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大

9、数为 3,故3mC5X 1+5X 2+5X 3=30,故mK 10;若五个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾.综上所述,m10.另一方 面,如下表的例子说明m可以取到10.故m的最大值为10.考点三两个计数原理的综合应用个无重复【例31用0,123,4,5,6 这7个数字可以组成 数字的四位偶数.(用数字作答) 思路点拨：按首位数字的奇偶性分类，在每一类中根据特殊位置(末位) 优先原则进行分步.解析:当首位数字为奇数时，首位取法有3种,末位取法有4种,百位取 法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原理，有3X 4X 5X 4=240种取法，当首位数字为偶数时，

10、首位取法有3种,末位取法有3种,百位取法有5种,十位取法有4种,根据分步乘法计数原 理，有3X 3X 5X4=180种取法,根据分类加法计数原理，共可组成 240+180=420个无重复数字的四位偶数.答案:420应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成.(4) 较复杂的问题可借助图表完成.【例4】用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图(1)、图(2), 要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.（1）若n=6,为图（1）着色时共有多少种不同的方法？ 若为图

11、着色时共有120种不同的方法，求n.解:（1）为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方 法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6X 5X 4X4=480（种）. 图 与图（1）的区别在于与D相邻的区域由2块变成了 3块，同理,不同的着色方法种数是n(n-1)( n-2) (n-3).因为 n(n-1)(n-2)(n-3)=120.又 120480,所以可分别将n=4,5代入得n=5时上式成立.所以n=5.熨越 涂色问题的实质是分类与分步的综合运用，一般是整体分步， 分步过程中若出现某一步需要分情况说明时，还要进行分类.1.如果一个三位正整数如“ 8问3”满足a1a3,则称

12、这样的三位数为凸数（如120,343,275等）,那么所有凸数的个数为（A ）(A)240(B)204(C)729(D)920解析：若a2=2,则凸数有1X 2=2个;若a2=3,则凸数有2X 3=6个;若a2=4,则凸数有3X4=12个;若a2=9,则凸数有8X 9=72个.所以所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240个( ).故选 A.2.若一个无重复数字的四位数的各位数字之和为 10,则称该数为“完美四位数” , 如数字“2 017”. 试问用数字 0,1,2,3,4,5,6,7 组成的 无重复数字且大于 2 017 的“完美四位数”有 （ D ） (A)53 个 (B)59 个 (C)66 个 (D)71 个共五组 . 其解析:无重复数字且相加等于 10 的四个数字分别是(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),中第一组（0,1,2,7）中,7排首位有3X 2=6（种）情况;2排首位,1或7排在第二位，有2X 2=4（种）情况;2排首位,0排第二位,7排第三位有 1种情况.共6+4+1=11