线性代数第二章知识题目解析

1、1 由 胜选手 4 、 而负于选手 4、5若胜一场得1习 题 2-16 名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1 胜选手 2、4、5、6 而负于选手 3；选手 25、6 而负于选手 1、3；选手 3 胜选手 1、2、4 而负于选手 5 、6 ；选手 4 胜选手 5、61 、2 、3；选手 5 胜选手 3 、6 而负于选手 1 、2 、4；选手 6 胜选手 2 而负于选手1 分，负一场得30 分，使用矩阵表示输赢状况，并排序1、3、解： 3，选手按胜多负少排序为： 1,2,3,4,5,6 2设矩阵3x2x 3,B3x已知 AB，x,y,z解 ：由于 A2x5，0解得：1。2-221 设 A1，B1

2、) 2A 5B ；解：（1） 2A 5B2)2AB1BA3）2) ABBA3) A 2B2212 已知 A解： 3A - 2B3 设 A212,BA24B2510202010，求1615，求 3A2B 111019096310602101561(1)(3)(4)3A B ;若X满足A若丫满足2A(2)XY12A 3B ;B，求 X ;22解：(1) 3A1213(2) 2A3B(3 )由121413B得,1(4 )由2AO得,O 2-32-34-32-34 .计算下列矩阵的乘积:735(1)(2)(3)2)2492)1)1)1)10 ；6 设 A1）2）求 AB 及 AC ； 如果 ABAC

3、，是否必有C？21104104231( 1)4 ( 3)00221 2 4 10 ( 2)11( 1)0314413( 1)( 1)3 ( 3)4012( 1) 2 3 14 ( 2)67102055a11a12 a13x1（5）x1x2x3 a21a22 a23x2a31a32 a33x3x1a1x1a21x2a31x3a12x1 a22x2a32 x3 a13x1a23x2a33x3x2x3(a11x1a21x2a31x3)x1 (a12x1a22 x2a32x3)x2(a13x1a23x2a33 x3 )x3a112 x1(a12 a21)x1x2 (a13 a31 )xx3 a22x2

4、2 (a23a32)x2x32a33x3 。121010311252010101210124（6）。002100230043000300030009105 设 A01，求 A3 00入10X10X22X1解：A20入10X10X22X00X00X00X2X22X1 X 10X33X23XA3A2A0X22 X 0 X10X3 3X2。00X20 0X00X310102，5BA解：（1）AB2）由1）知10003AC2614ABAC ，而C；3) B A (AB) T7 已知 f (x) x1，求 f （A）解： f (A)A21314113。8 .举反例说明下列命题是错误的:（1）2）3）A2

5、A2AXO ，则A，则AY ，解：（1）举例若A O；A O或A 且A1E；O，则X1Y2）举例若 A0，而A20；3）举例若 AA20且 AE；，X，Y0011，AXAY ，且 A如果 CAB)C C(A B)；(2)(AB)C C(AB) (A B)C AC BC CA CB C(AAC,CBBC9证明:（1）（A证明:（1）（2）（AB）C A（BC） A（CB） （AC）B （CA）B，则有B)；C(AB)10 .设A, B均为n阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）（2）3）AB(A (A (ABA ；B)2B)2 B)(A2AB2ABB2；B2；B)(A B)证明：（1） （2）因为

6、 ABBA，所以(A B)2A2ABBAB2A22AB（2）（1 ）(AB)2A2AB BA B 2A22ABB2，所以ABBA；（1）（3）因为ABBA，所以 (A B)2A2 ABBAB 2 A22AB B 2（3）（1 ）(AB)2A2222AB B 2 A2ABBAB2，所以ABBA；（1）（4）因为ABBA，所以 (A B)(AB)A2ABBAB222A 2 B 2（4）（1 ）(AB)(AB)2A 2 AB BAB2A2B2，所以ABBA。B)(ABA 时， AB 是反对称矩阵ABB2A2A2A2B2；11 设 A 与 B 是两个 n 阶反对称矩阵，证明：当且仅当 证明：先证当AB

7、 BA时，AB是反对称矩阵。因为（AB）T BTAT ba AB，所以AB是反对称矩阵。034反之，若 AB是反对称矩阵，即(AB)T AB，则习题 2-31 .判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：AB(AB)tbtatBA。(1)cos(2 )sinsincos(4)(5)4从而A1(2)从而A1从而存在，A11A21A12A221cossinsin故A 1存在,52, A31A12, A31cosA11cosA21sinA12sinA22coscossinsin52574, A32cos2, A332 1 1 25, A331存在,A115 , A1210 , A137 , A2

8、12 , A222 ，存在，A11 2 , A123 , A132 , A216 , A226 ,131231(4)A22120 ,故A34323从而A1La333(5)(6)从而A12 设所以解：由1X A 1CB 13 .设A(1)AXA1(1)AX(2)XAA 32题中的（2、A33,B25211亠, 不存在。0,故A 1存在，A11A 221 , A230 , A 241、A340 , A410,4）小题知1、A120 , A130、A140 , A212 ,0, A311A421, A432 , A44XAA 1BBA 1,C求矩阵X使满足AXB1321(3)AXB2521，又知，解

9、下列矩阵方程:101026522216243546223463518321512 AXB C X A 1CB 185817 匸 742x1X2X34X12x2 3x31(1)3x141X22X311(2)2x12x2 5x32 .3x12X2 4X3113x15x2x3 3211X141)取A34:2 ,XX2 ,B11，则原方程组为AXB324X311211112 6 63X1334260 , A118 11 1 X A 1B1，即X21 o6032418 11 111X31123X11取A 2 2 5 , XX2,B2，则原方程组为AXB3 51Xs312 3丄231341X1122 51

10、5 , A 113811 X A B0，即X20 o1535 14120X304 .禾U用逆矩阵解下列线性方程组:AAO （ k为正整数）(EE解：（(2)Ak15 设 AkA A2证明：因为(E A)(E AE A A21 E A A22，证明A2A)1Ak所以（E A）6 设方阵A满足A2 A 2EAk1Ak(A证明2证明：因为A2 A 2E O可知A又有A22(AA 2E O得(A 2E) 4(3E(A 2E)1-(3E A) o40 ,AB A 2B，求解:因为AB2B ,所以(A 2E)B1)A2E)A)(由 Ak2E都可逆，并求AE，所以A，而 A 2EA可逆且A 11 和 (A2

11、(A2E)1E)；A 2E可逆且2E37 .设A1112323314116321(A 2E) 1，所以(A2E)1A8 .设AA2解：由于AB0 ,AB1A2 B，有(A1E)BA2 E9 .设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，证明:若A可逆，则A* I A| A 1 ；若 I A I 0，则 I A* II A* I |A|n1 ；(1)(2)(AE)(AE)若A可逆，则(A 1)*1(A*)IA ；若A可逆，则(at)*(A*)T 证明：(1) AAA E，而A可逆, A* A 1(2)|A|0，则则由AAAE0矛盾。故当A 0时，有A(3)0 由（2）则由AAAE综上有A1(A1)E可逆,所以

12、BAE0此时命题也成立，故有|A|A 1An1 oAEA1，而A可逆, (A )(A 1)a|e| |An, A即(A 1)*(A*)AI a|(5) A 可逆, 又 At (At)* 即 AT(AT)* at可逆 at|e AT(A*)',AE ,Tat(a*)t(AT)*(A*)T(A A)t(AE)t110004486610 设A的伴随矩阵A* 0求矩阵B 解：由ABABA 1AB3EAB3|A|E 0而(2E11 设 P 1APA,解：/ P 1AP其中故A1112 .设求（A）解：13AP其中A8(5E/ P(A)6A1)P (A)P0，且 ABA 1 BA 103A(2E0

13、164，二 B3E ,A* AB AA )B 6E6(2E3A所以A11，求 A11 11P11110211021121321121321127316832732684A2) (1) P1212设矩阵A、B及AB都可逆，证明:1B B 1B1) A 12) A(A证明 ：(1) A 1(2 ) B(A1 1 1 1B 1 也可逆，并且 A 1 B 1 11B) 1B B(A B) 1A1 1 1. (A r ;1 1(B 1B B 1A)(AB 1 可逆且 A 1 BB) 1 A(A-1 B 1)B(A B) 1(AB-1) 1 B(A B)A(AB )(A(A B) B)BB)111A(A

14、B) 1B ；(EBB 1A)(A B) 1B1(A B)(A B)B) 1BA(AB) 1(E AB 1)B(ABB 1 E （A-1由逆矩阵的唯一性知，B(AB)B 11 1 1 11 A ，又有( 1 )知 A 1 B 1B) 1BB) 1(BB 1A(A B)B(AB)1A。AB 1)1B2-4201 设矩阵 A0，B0，用分块矩阵计算：01)kA；（2）解：先对A , B进行分块A1E，B其中A11324， B11)kAkEkA1kE2)B1B22 设解：先对A,，B22kA10进行分块A13k4k1B111B21011 01 ， B3B1B232则 AB求 AB B1B2EBE3

15、，其中 A112B1A1B1 B2 A1 B31122101024330而 A1B1 B2AiB3，所以AB03 设A0，求 ABA .解：先对A , B进行分块A10A2B10B2，其中A1 =,A2aB1= 1,B2而 A1B1A1二 ABA3a2a3 aa24 .设AbI 2a23a2a21a a3则AB,A2 B2 A2A1B10b3A2 B 22b3b2b32b3b202b212b b3，求A8及A4 ，令A1A2A1OA2是分块对角阵,A8A1OA2A8A4,ABAA1 B1A10A2 B 2 A2A8A14OA；5.已知分块方阵DA1A201016240其中B，其中2b2b32b

16、A18OA, B均为可逆方阵，证明D和F均可545402624逆，并求D 1和F 1X1X2AX3AX4E01AX3AX4E0X3X4A 100则因A,B均为可逆方阵，所以有，即D1-1BX10X10A 1BX2EX2B 110B 1从而D可逆且DD1-1OA 10X1X2AX1 CX3；AX2 CX4E设有F1，使 FF 1E，即X3X4BX3BX40AX1CX3EX1A1AX2CX40X2A1CB1,因A,B均为可逆方阵，所以有BX30X30bx4EX4B 1A 1A 1CB 1A 1A1'CB 1即F11，从而F可逆且F 1F110B10B6.求下列矩阵的逆阵：52 0010 0

17、 021 0012 0 0(1)；(2)00 83213 000 5212 14A10112123解：(1)记原方阵为，则A1A20A225585 20 0112002 10 0A101A11025000 08 30A20A2 100230 05 20058A101A1 10(2)记原方阵为，则可直接凑得A11 11A2A3A3A2 A1A31C1110- 0而A1 111 ,A3 131 1 ，A3 A2 A11216522XBX032B00Eo4X4BX1证明：设有矩阵D1E，即，使 DD1128241000110000011200A101111023121411A3 A2A1A32412

18、1134333102习题1 .对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵,32-5再化为行最简形矩阵:4(1) 21(2)(3)1(4)解：(1)(2)12223323r1(5)17（行阶梯形矩阵）1(233）5r2121221213147200（行阶梯形矩阵）32312134 31(6)2r1（行最简形矩阵）（行阶梯形矩阵）341010210（行最简形矩阵）12243-245-24一 r 4 2r32（行最简形矩阵）(3)0012232000121000000000000000000023 137122 12> 024472(4)12 024r3 3r2 01 111314(4)32

19、8 :30422 08 89123423 7-4312 07 7811120241221 020201111230 1103（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）000142(1)0 0014000 000 000032964314731 47313417 1 3r2 013143720 1314(5)11473r2 r3 0721450 00143147313 00000 000105591050142013141593 0130梯形矩阵）1（行最简形矩阵）3 ()000 12143 0001143000 00000（60241451451433231121450241 0 12015222452

20、317011 222 0112200125520510051005100023005100510001451 030 11 20 12（行阶梯形矩阵）r1(1丿CCC11W0 0 0 0 00（行最简形矩阵）0 0 00 000 0 00 00（行阶1202 .把可逆矩阵A分解为初等阵的乘积.000)52解：因为A 133r202 33r1 2r21323A E(2,3( 3)E(2,1( 1)E(2,3(3) E(2,3)E(1,2(2)E(3( 8)E(1,3( 6)E(2,3(3)1 6r：32 33即 E(2,3( 3)E(1,3(6)E(3(18)E(1,2(2)E(2,3)E(2,

21、3( 3)E(2,1(1)E(3,2(3)A1001001473 .设08，求 A .91解：0可以写成 E(2,3)AE (3,1(1)从而AE(2,3) 1E(3,1(1)E(2,3) 23E(3,1( 1)E(3,1(1)4 .用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:1(1) 23(2)(3)31解：(1) (A,E)3 2r2 A 1(2) (A,E)25257320102211232012101022100133r110211-302102300111300243(4)01120200102152572121121221231001231003221010025210343001001111

22、1001321100231 2 2325332521(3) (A,E)2r3212 231313r2422321)(4)(A,E)11442243241342234345.用初等变换法求矩阵使AX解： (A,B)231310A 0 A3321210B，其中，122212134 A 125211010123253434312325123252131025193434300113100321100341 2 23253 X A 1B6.求解矩阵方程XA解：XA A 2X而(A 2E)T,AT02 232X，其中X(A 2E)A,122r32(1)1211223(A3r11)2E)t12 c03XT

23、At XT题 2-612习阶子式不等于0，1 .在m者E为0,那么 解：若A中存在阶子式不等于0,则A的秩R(A) 若A的所有阶子式均为0，则A的秩R(A) 。2 .在秩为的矩阵中，有没有等于 0的1阶子式？有没有等于 0 解：在秩为1n矩阵A的秩又如何?A中,若存在一个那么A的秩如何？若A的所有阶子式的矩阵中，可能有等于 0的1阶子式，也可能有等于200，R(A) 3，而二阶子式的阶子式？0的阶子式。1290。12 3三阶子式1000 ,1201000R(A)3 .从矩阵A中划去一行得到矩阵 B，问A与B的秩的关系怎样? 解：R(B) R(A)或 R(B) R(A) 1 如第二题中的例子，划去第三行得B，则