李雅普诺夫稳定性分析

1、控制系统的李雅普诺夫稳定性分析内容提要稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后,被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。 直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、

2、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在 19 世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。习题与解答1)V(x)2X123X222X32X1X22x1X32)V(x)8X122X222X38X1X22x1X32x2X33)V(x)2X1X32 2X1X2X2X34)V(x)10X1214X222X32X1X22x2X34x1X35)V(x)2X123X211X322x1X24x2X32x1X35.1判断下列函数的正定性解1) V(x)TaTX Ax XX,因为顺序主子式0,21 02 15

3、0,1111 3011所以A 0，V(x)为正定函数。2) V(x) xTAx xX,因为主子式8,2,1 0,84420,8 11 17 0,2 11 1841421164 4216 8 0111111A不定，V(x)为不定函数。1 0,所以3) V(x) xTAxxTX,因为顺序主子式0,2 0,所以A为不定矩阵,V(x)为不定函数。10所以所以4) V(x)xTAxxT因为顺序主子式1010 1010 139 0,1411 40 112110,40 1 10A 0 , V(x)为正定函数。5) V(x) xT AxxTx,因为顺序主子式1111 12 0,1321 3121112111

4、0,A 0 , V(x)为正定函数。29 033 2 2 3 11 4110XiXi5.2用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。X2 Xi (Xi2 X22)X2%2(%2 X22)解方程组XiXiX2 Xi (Xi2X2%2(%2X22)X22)0得三个孤立平衡点（0, 0）, （1, 1）和（一1,01)。在（0，0）处将系统近似线性化，得2X，由于原系统为定常系统，且矩阵112的特征根1 11 J2i均具有负实部,于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。在（1, 1）和（1, 1）处将系统近似线性化,得&331 X,由于矩阵333的特征根37

5、30,根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1, 1）附近不稳定。在（一1 , 1）处将系统近似线性化，得&3133由于原系统为定常系统,矩阵331的特征根3 J3 0，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1, 1）和3点（一1,1）附近不稳定。该题求解时往往容易忽略平衡点 （1， 1）和（1,1）。5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。解 由于题中未限定利用哪一种方法,且系统为线性定常系统，所以利用第一方法比较合适。经计算知矩阵 121的特征根为32730，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。10对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。5.4设线性离散时间系统为

6、x(k1) 000m/21 x(k)0m>0试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。I ,由方程gt pg0m20P2P30 10P1P2P13100巳2P230 01P2P22丘3010P23P330吆0P3p>3P33001P1P2P3解此方程得若要P 0应有0 m 2。2m4 m2122m5.5试用李雅普诺夫方法求系统a11a21a12xa22在平衡状态x 0为大范围渐近稳定的条件。用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程a11312耳21a222(a11 a22)a11 a22a12a21由韦达定理，两个特征值同时具有负实部的充要条件为a11a220 ,a11a2231

7、2321。口5.6系统的状态方程为试计算相轨迹从x(0)1点出发，到达0解由于i(A)1，2(A)2X12 2X2(0.1)区域内所需要的时间。该系统发散，1X1Xi X2单调增加。注意到2 2X1(0)X2(0)10.1，所以此题无解。5.7给定线性时变系统10判定其原点Xe 0是否是大范围渐近稳定。解取v(X,t) 1(x2 (t 1)2)，则V(x,t) Xi)&lx22X1X2(ia(t(t2X21)X2X21)X2(为 10x2)因为lim V(x)，所以系统在原点处大范围渐近稳定。|x|5.8考虑四阶线性自治系统X1& Axb40X2b30，bi 0，X3i 123

8、,4应用李雅普诺夫的稳定判据,试以充要条件。解在李雅普诺夫矩阵方程式中，令W为b2blX4bi，1,234表示这个系统的平衡点X0渐近稳定的AV VA W000000W0000 0 0 2b12显然， W 是半正定矩阵。求矩阵方程式的解V ， V 是对称矩阵。v11v12v13v14v21v22v23v24v31v32v33v34v41v42v43v44将方程左边的i行j列元素记成(i, j)元素，可求得下面的一系列等式:(1,1)元素2b4 v12 0(1,2) 元素 v11b3v13 b4v22(1,3) 元素 v12b2v14 b4v23(1,4) 元素 v13b1v14 b4v24(2

9、,2) 元素2v12 2b2v230(2,3) 元素 v13 v22 b2v24 b3v33(2,4) 元素 v14 v23 b1v24 b3v34(3,3) 元素2v232b2 v340(3,4) 元素 v24 v33 b1v34 b2v442(4,4) 元素2v342b1v 442b1由对于 (1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)元素的等式和 bi 0， i 1,2,3,4 有v120 ， v230， v340， v44b1由对于 (1,3)、(2,4)、(1,4)元素的等式，有v140， v240 ， v130由(1,2) 、(2,3)、(3,4)元素，有v11 b4v22 ，

10、v22 b3v33 ， v33 b2v44因此V11b4 b3 b2 b1 ,b3b2bi即,为对角线矩阵。V33b2 bi,b4 b3 b20biV44bi因为W为半正定阵，所以要检查 xTWx程。由于满足xWx 0的x同时满足X3X2X1X40，所以满足由李雅普诺夫的稳定判据,b3 b20b2 bi0bi0在原点X40，0以外的x是否满足系统状态方X40时，状态方程的解为xTWx 0的状态方程的解只有 X 0。X 0是渐近稳定的充要条件是对角矩阵V为正定阵。因此d 0，b2 0，b3 0，b4 0是求的充要条件。5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra

11、)方程式式中，x1、x2分别是生物个体数,求平衡点;解1)由dx1dtdx2axiX1X2dtX2X1X2是不为零的实数。关于这个系统，1)试2)在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。dx1dt20,得dtX1X1X2X1(X2)X2X1X2X2(X1)冋时满足这二式的x1、x2有两组：X10、X20和x1统的平衡点为：平衡点x10、x20平衡点(b)X1/、X2/X2/ 。即，系,32)分两种情况讨论。平衡点(a) 线性化的微分方程为d Xidt X2其特征方程式是XiX217P12008(s)(s0时，平衡点稳定，除此以外不稳定。平衡点(b)令X1/X1， X2X2，dx1dt (X

12、2X2/ )Xi(XiX1)X2X2dX2(dtXiX1/ )X2X2X2)XiXiXiX20时，特征根是，为正、负实数,平衡点(b)不稳定。0时，特征根是因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是d Xi dt X2其特征方程式为W，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。5.10对于下面的非线性微分方程式试求平衡点；在各平衡点进行线性化，试判别平衡 点是否稳定。X2si n% X2解由 X20， sin X1X20，知系统的平衡点是Xi0, 2 ,，X20。1)在 Xi0, 2,4,，X20处，将系统近似线性化得d Xidt X201X111X2其特征多项式是s2仁这

13、是胡尔维茨多项式,因此这些平衡点渐近稳定。2) 在 xiX20d X10dt x21XiX2特征多项式是s21，这不是胡尔维茨多项式。因此这些平衡点不稳定。5.11利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定:解令矩阵P11P12P12P22则由atp paP11P12P11P12P12P22P12P22解上述矩阵方程,2P114p12P114pi22p222 P126 P22即得P11Pl1P12P12P22因为P11det P11P12detP22可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为V(x)xTPx - (14x1210x

14、1x2 6x22)08gV(x)TT“22、 cX Qx X X(X1 X2 ) 0又因为lim V(x)l|x|，所以系统在原点处大范围渐近稳定。5.12给定连续时间的定常系统&X2&X1(1 X2)2X2试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。22易知(x-i 0, x2 0 )为其唯一的平衡状态。现取V (x) x1 x2，且有:(i)V(x)2 2X1X2为正定(ii)V(x) V(x)Xi2x1 2x2XiX2(1X2 )2 X22 22x2(1 X2)容易看出，除了两种情况(a)xi任意，X2(b)x-i任意，x2时 V(x)0以外，均有V&(x)0

15、。所以，V&x)为负半定。(iii)检查 V (t;x0,0)是否恒等于零。考虑到使得V&X) 0的可能性只有上述两种情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。先考察情况(t;X0,0)X1(t),0 T，则由于X2(t) 0可导出X2(t) 0,将此代入系统的方程可得:X1(t)X2(t)0x2(t)(10X2(t)2X2(t)X1(t)Xi(t)这表明，除了点(X10,X20)外，(t；Xo,O)TX1(t),0不是系统的受扰运动解。再考察情况(b)：)(t；X0,O)X1(t),1T，则由 X2(t)1可导出X2(t)0,将此代入系统的方程可得:&

16、(t)X2(t)10X2(t)(1X2(t)2X2(t)X1(t)Xi(t)显然这是一个矛盾的结果，表明（t；Xo,0）X1（t）, 1 T也不是系统的受扰运动解。综上分析可知，V （t；xo,O）0。（iv）当制|讽于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。2X22时，显然有V（x）5.13试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。&3x1 x2& X X2 x；解显然X0是系统的一个平衡点。F(x)11 3x2F(x)FT(x)F(x)22 6x2统在原点渐近稳定。22 6x2又因为1236x；40知F（X）0。由克拉索夫斯基定理可知系T2232

17、f (x)f (X)(3X1X2)(X1 X2 X2)所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。5.14试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。2x1 x1x22 3X32为 X2 3X33x2 3x3解显然x 0是系统的一个平衡点。23F (x)2X)X202x,x22X2F(x)FT(x)F(x)由60,02x；8x2由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。T2P f (x)f(x)(3X106x32x|0018x106x12x；00218X3又因为-2,23X3)(X1 X4472x2x20，知 F(x) 0。X1X206x33x3)2(3x2 3x33)2所以原系统在原点处是大范围渐近

18、稳定的。5.15试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统& ax., x2& x1 x2 bx25的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。解 F (x)111 5bx4F(x) FT(x) F(x)11 5bx4因为系统在原点渐近稳定，所以当0 ,应有F (x)又x 0时，F(x) 0的充要条件为2a0, a 5abx440。于是a应满足a1。又因为系统大范围渐近稳定,所以当x时，应有F(x) 0。注意 x1时，F(x) 0的充要条件为a 1 时，F(x)0的充要条件为 b0。综上，a,b的取值范围为:a 1,b5.16试用变量一梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数解设V的梯度为x