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文档简介
1、第四讲数字特征与极限定理考试要求1 理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概 念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2. 会根据随机变量X的概率分布求其函数g(X)的数学期望Eg(X)；会根据随机变量X和丫的联合概率分布求其函数g(X,Y)的数学期望Eg(X,Y).3. 了解切比雪夫不等式.4了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量的 大数定律)5.了解棣莫弗一拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维一林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；(经济类还要求)会用相关定理近似计算有关随机事件 的概率一、数
2、学期望与方差(标准差)1.定义(计算公式)离散型Px = x = Pi, E(X) = 2 Xi Pii-be连续型X f (X), E(X) = J xf(x)dx-2C方差:D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2)-E(X)2标准差：jDIX),2.期望的性质:E(C)=C,E(E(X)=E(X)E(CiC2YCiE(XC2E(Y)若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)Ie(XY) 2 E(X2)E(Y2)3.方差的性质:1 D(C) =O,D(E(X) =O,D(D(X) =02 X与Y相互独立，贝y D(X Y)=D(X) + D(Y)D(GX +C2)mQx)一般有 D(
3、X Y) =D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y)= D(X) +D(Y) 2PJd(X)Jd(Y)D(X) E(X -C)2, C HE(X)3 1【例11设试验成功的概率为 ，失败的概率为-,独立重复试验直到成功两次为止.试4 4求试验次数的数学期望【例21 n片钥匙中只有一片能打开房门 ，现从中任取一片去试开房门 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差：(1) 试开过的钥匙即被除去；(2) 试开过的钥匙重新放回._X0 0) P(X,Y) =_1= P (Y =aX +b) =1 (a 0)3、下面5个条件互为充要条件：(1)P (X,Y) =0(2)Cov(X,Y) =0E(
4、X Y) =E(X)E( Y)D(X +Y) =D(X) +D( Y)D(X Y) =D(X) +D(Y)【例7】设Xi，X2，,Xn(n a2)为独立同分布的随机变量,且均服从N(0,1)，记Xi , Y = Xj - X ,i =1,2，n.求:(I)Yi 的方差 D(Y),i =1,2,，n ;(III)丫1与Yn的协方差C0v(Y,Yn)；四、1.极限定理切比雪夫不等式P | X -E(X)怪訂 -D,或 P| X -E(X) | 0.999.【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数，则XB (500, 0.4 )所需支付现金为1000X,为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金 x元，则P( 1000 X 0.999.由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知：=PrX
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