极坐标系(袁志军)

1、二二 极坐标系极坐标系2.平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点P与坐标与坐标(a ,b)是是 _对应的对应的.P(a,b).xyOab 平面直角坐标系是最简平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系不是唯一的一种坐标系. 有有时用别的坐标系比较方便时用别的坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？1.与角与角终边相同的角：终边相同的角：= =+2+2k, ,kZZ一一一一 思考：思考：右图是某校园的平面右图是某校园的平面示意图，假设某同学示意图，假设某同学 在教学在教学楼处，请回答下列问题：楼处，请回答下列问题：（1）他向东偏北）他向

2、东偏北60 方向方向走走120m后到达什么位置？后到达什么位置？ 该位置惟一确定吗？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何和办公楼的位置，他应如何描述？描述？ A B C D E50m450 600 120m60m教学楼教学楼体育馆体育馆实验楼实验楼办公楼办公楼图书馆图书馆请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从 这 向 东 走 6 0 米 ！ 出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的

3、思想，就是极坐标的面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想基本思想. .思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样思考：类比建立平面直角体系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？建立用距离与角度确定平面上点的位置的体系？1 1、极坐标系的建立：、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点. 从极点从极点O点引一条射线点引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴.再选定一个再选定一个单位长度单位长度和和角的正方向角的正方向（通常取（通常取逆时针方向）逆时针方向）.这样就建立了一个这样就建立了一个平面极坐标系，平面极坐标系，简称简称极坐标系极坐标系.XO 2

4、2、极坐标系内一点的极坐标的规定、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M,M,用用 表示线段表示线段OMOM的长度的长度, ,用用 表示以射线表示以射线OXOX为始边为始边, ,射线射线OMOM为终边所成的为终边所成的角角, , 叫做点叫做点M M的的极径极径, , 叫做点叫做点M M的的极角极角, ,有序数对有序数对( ( , , ) )就叫做就叫做M M的的极坐标极坐标，记作，记作M M ( ( , , ) ) . .XOM 特别规定特别规定：当点当点M为极点时，它的极坐标为极点时，它的极坐标为为_(0, ), 可为任意值可为任意值.一般地，不作特殊说明时，认

5、为一般地，不作特殊说明时，认为 0 0， 可取任意实数可取任意实数. .例例1、 如图，写出各点的极坐标：如图，写出各点的极坐标：。Ox ABCDEFGA(4,0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 3156 43 53 2 4 例例2、在极坐标系中描下列各点：、在极坐标系中描下列各点：。Ox 156 43 53 2 4 545(3, 0)(6,)(1,)(5,) E(4,), F2,6233、ABCD A AB BC CD DE EF F3.3.用点用点A, ,B, ,C, ,D,E,E分别表示教学楼分别表示教学楼, ,体育馆体

6、育馆, ,图图 书馆书馆, ,实验楼实验楼, ,办公楼的位置办公楼的位置. .建立适当的建立适当的极坐标系极坐标系, ,写出各点的极坐标写出各点的极坐标. . A B C D E50m450 600 120m60m解解: :以点以点A为极点为极点, ,AB所在所在的射线为极轴的射线为极轴( (单位长单位长度为度为1 m),1 m),建立极坐标系建立极坐标系. .则点则点A, ,B, ,C, ,D, ,E的极坐的极坐 标分别为标分别为(0,0),A(O)x(60,0),BC(120,),3D(60 3,),23(50,).4E 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，

7、那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？同一点同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况探究：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(4,),(4,2 ),(4,4 ),(4,2 )6666练习：在同一个极坐标中描出以下各点：它们所表示的点有什么？思考关系ABCD本题点M的极坐标统一表达式：4 2k+6， 极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)(1)给定（给定（ , , ）, ,在在极坐标极坐标平面内确定可唯一的一点平面

8、内确定可唯一的一点 M(2)(2)给定平面上一点给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应，但却有无数个极坐标与之对应原因在于：原因在于：极角有无数个极角有无数个一般地一般地, ,若若( (, ,) )是一点的极坐标是一点的极坐标, ,则则( (, ,+2+2k)都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标. .如果限定如果限定 0, 02那么除极点外那么除极点外,平面内的平面内的点点和和极坐标极坐标就可以就可以一一对应一一对应了了.特别强调：特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为一般情况下（若不作特别说明时），认为 0.或或 ,3.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 1.

9、 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.互化关系式Oxy ),( Mxy sin,cosyx极极坐坐标标化化直直角角坐坐标标：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐标标化化极极坐坐标标：当点不在第一象限内时，是否还成立？原理是什么？互化前提互化练习.,.,)(,)(，求求两两点点间间的的距距离离，已已知知两两点点的的极极坐坐标标化化成成极极坐坐标标的的直直角角坐坐标标将将点点化化为为直直角角坐坐标标；的的极极坐坐标标将将点点2332213232511 MM极坐标系与直角坐标系的异同极坐标系与直角坐标系的异同 相同点：两者

10、都通过一对有序实数对表示平面上的点. 不同点： (x,y)与两坐标轴的距离有关;而(,)与极轴出发的角和极点的距离有关 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合 (x,y)|x、yR一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合 (,)|、R不是一一对应的（(, )与(,+2k )表示同一个点 ） 若规定0，0,2)，可使极坐标与平面内的点一一对应() 建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向 极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个 一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极

11、坐标有否统一的表达式？ 有，(，2k+) 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 sin,cosyx极极坐坐标标化化直直角角坐坐标标：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐标标化化极极坐坐标标：课堂小结课堂小结思考思考: 极坐标系中极坐标系中, 点点M的坐标为的坐标为(-10, ), 则下列各则下列各 坐标中坐标中, 不是不是M点的坐标的是点的坐标的是( ) 3课后思考课后思考410,3510,3510,3210,3A AB BC CD D2.2.边长为边长为a的正六边形的正六边形OABCDE在极坐标系中在极坐标系中 的位置如图所示，求这个正六边形各顶点的位置如图所示，求这个正六边

12、形各顶点 的极坐标。的极坐标。ABCxEDO解：解：O(0, 0)，C(2a, 0)5( ,)3A a( ,)3E a( 3 ,)6Da11( 3 ,)6Ba(1)(2)(3)( , )(0, )AAAA 点点 关关于于极极轴轴对对称称的的点点为为_点点 关关于于垂垂直直于于极极轴轴的的直直线线 对对称称的的点点为为_点点 关关于于极极点点对对称称的的点点为为对对极极_坐坐标标平平面面中中任任_意意一一点点_( ,)( ,)( ,) (20, ),)6AlAl设设点点，直直线线 为为过过极极点点且且垂垂直直于于极极轴轴 的的直直线线，分分别别求求点点 关关于于极极轴轴、直直线线 、极极点点 的

13、的对对称称ExEx（限限定定点点的的极极坐坐标标变式变式: :在极坐标系中在极坐标系中, ,若等边三角形的两顶点若等边三角形的两顶点 是是A(2, ) ,B(2, ) ,A(2, ) ,B(2, ) , 那么顶点那么顶点C C的坐标可能是的坐标可能是( )( )44533.(4,) .(2 3,)(2 3,)444.(2 3,).(3,)ABCD 或或 4、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；在某些说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值必要情况下，极径也可以取负值.对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，

14、使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点M， 使使 OM = OXPMOXP= /4M四、2、负极径的实例在极坐标系中画出点M（3，/4）的位置1作射线OP，使XOP= /4 2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：A AB BC CD DE EO OX X26121112232345四、3、关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？四、4、正、负极径时，点的确

15、定过程比较OXPOXP1作射线OP，使XOP= /4 2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 31作射线OP，使XOP= /4 2在OP的上取一点M，使OM= 3M画出点 （3，/4） 和（3，/4）给定,在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。M四、5、负极径的实质 从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。负极径小结：极径变为负，极角增加 。练习：写出点 的负极径的极坐标

16、（6， ）6答：（6， +）6或（6， +）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，/4）的所有极坐标1极径是正的时候：423k，2极径是负的时候：)423k，（六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)一般地,若(,)是一点的极坐标,则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作为它的极坐标.如果限定0,02或 ,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.2.在极坐

17、标系中,与(,)关于极轴对称的点是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD题组三 1. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( )6A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 6665653.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 656665A3一点的极坐标有否统一的表达式？小结1建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（，2k+）。Ox 156

18、43 53 2 4 A AB BC CD DE EF F若若极角取负值极角取负值，则上例中的，则上例中的A，B，C，D，E，F的的极坐标又可以表示为极坐标又可以表示为3, 2,76,631,225,34,2,3ABCDEFOx )| | M( , )Ox例如例如:M(-2, )5 6)5 6作射线作射线OP，使，使xOP= M(-2, )5 6P P在射线在射线OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M ，使，使|OM|=| |当极径当极径 0时，点时，点M( , )的位置按如下规则确定：的位置按如下规则确定：。Ox 4 25 65 45 3 11 62 33 2ABCDE14,0113,

19、62,251,353,4ABCDE3 3、点的极坐标的表达式的研究、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的表达式？的极坐标的表达式？54,4,44 5454,2,4,2,44kkkZ ( , )(- , + )( , 2k + )(- , +(2k+1) )小结小结表示同一点的表示同一点的极坐标极坐标.4 4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定（给定（ , , ）, ,就可以在就可以在极坐标极坐标平平面内确定面内确定唯一唯一的一点的一点M M22给定平面上一点给定平面上一点M M，但却有，但却有无数无数个极坐标与之对应个极坐标与之对应OXPM(,)33如果如果规定规定0,00,022或或 - -那么那么除极点除极点外外, ,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了. .关于极坐标系的进一步思考 直角坐标系中，横坐标为1的点构成怎样的图形？纵坐标为4的点构成怎样的图形？ 极坐标系中，极径为5的点构成怎样的图形？p极角为极角为 的动点的动点A构成怎样的图形？极角为构成怎样的图形？极角为 的动的动点点B构成怎样的图形？构成