圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

1、圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离 和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相 应准线的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为:ep .1 ecos 日其中P是定点F到定直线的距离，p> 0.当0v ev 1时，方程表示椭圆；当e> 1时，方程表示双曲线，若p>0,方程只表示双曲线右支，若允 许pv0,方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（

2、1）若ep1+ecos 日则0Vev 1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线当0v ev 1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e> 1时！方程表示极点在上焦点的双曲线（3）eP1+esin 0当0V ev 1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e> 1时！方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编(1)二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程10表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。5 3cos 03 10解法一：p = 32= 53 31CO

3、S01cos日523-53 a 10 ”e = -， P =53I C 3II = I'a 5 = 1 lb 1015I c " 3I3253丨-a =c!a5=810 I 15-a -c =c =i3 I 8二方程表示椭圆的离心率e =3,焦距15，长轴长一，短轴长5544解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令日=0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义,简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。 下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋

4、漓尽致。(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，2b21、椭圆中，p= -c =一ccMN =ep_ +ep2ab21-ecos日 1ecosg-0) a2-c2cos282、双曲线中，(注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。)若M N在双曲线同一支上,MN2ab22 2 21eco31ecosS日) a c cos 0若M N在双曲线不同支上,3、抛物线中,MNMNepep2ab22 2 21 + ecos日 1 -eco少 c cos 日一a2p+ _1cos日 1cos(兀 一0) sin202 2例1过双曲线才計的右焦点，引倾斜角为自的直线，交双曲线与A B两点，

5、求I AB I解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得卩%-3cose| 80所以 A(p1,?),B(p2E +3)得駡七二厂任映+才)注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 V加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都是Pl +；卩2对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值，所以弦长也是卩1 V2对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是-(-1 + 3 )或为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用Pl + P2变式练习：等轴双曲线长轴

6、为2,过其右有焦点，引倾斜角为线，交双曲线于A,B两点，求AB 求 I AB I1解：P=厂一-1 -V2cos6JI兀心評仇飞）AB H + P2 |1 .=1 +:| _| 2 亠 2 172cos（兀 + ：）172cos（2）T2+76 + 2-7616 6附寸录直角坐标系中的焦半径公式=a - ex ；设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PFi =a+ex， PF?2、若Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点,当点P在双曲线右支上时,当点P在双曲线左支上时,3、若F是抛物线的焦点,PFiPFiPF=ex + a，=a - ex，PF2=ex -

7、a ；PF2利用弦长求面积高考题（08年海南卷）过椭圆2 2十红=1的焦点F作一条斜率为2的54直线与椭圆交于A, B两点，0为坐标原点，求也AOB的面积.简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式| ABF|eP求弦长，然后1 - e cos 0利用公式SOB =1| AB|OF |sinAFO直接得出答案。2变式(2005年全国高考理科)已知点F为椭圆l+y2=1的左焦点.过点2F的直线l1与椭圆交于P、Q两点，过F且与l1垂直的直线l2交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:设直线li的倾斜角日，贝y直线12的倾斜角为0 +

8、90°，由极坐标系中焦点弦长公式知:42|PQ|= , |MN|= =11 cos 日1 cos （日 +90 ）1 sin 日2 2 2用他们来表示四边形的面积1 11s=-|PqQmn | =-1一+ sin2 QLcos2 £ + sin2 2甘2 42 16即求 的最大值与最小值一+丄sin2 2日2 16由三角知识易知：当sin20= ±1时，面积取得最小值一；当si2 0 0时,9面积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题2 2 2 += 1 (a A b > 0)例一.过椭圆a b的左焦点F,作倾斜角为60的直线I交椭圆于A、B两点，若FA =

9、2FB,求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为1 -ecosOe p则 fa =01 -ecos60，印"2400二空=21 -2空，解得e=?.e31 +2变式求过椭圆P=吕的左焦点'且倾斜角为冷的弦长lAB和左焦点到左准线的距离。2解：先将方程卩=化为标准形式：p =31 -cos03则离心率eW，ep=|,所以左焦点到左准线的距为2。设A(P1,2),B(P2,乎)，代入极坐标方程，则弦长2 亠 224C 5兀 17 3 cos4AB =片+ P2兀3-cos4(3)定值问题y2 =2px(p >0)的一条焦点

10、弦被焦点分为a,b的两段, 证明：丄定值。a b解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的例1.抛物线极坐标方程为J，设A(a月),B(b,9 +巧1 cos。将A,B两点代入极坐标方程，得a=丄,b=仁応则1丄上gg兰jWf （定值） a b Ppp99点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有11MF+=2NF| ep例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB和弦CD求证二1AB十CD为定值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为P= e1 -ecosQ2切则代入可得又设A(Piei )启严2,兀+ &),计卩

11、3,亍+日1,D P4,I AB. 2ePI AB 1-彳 22 a1 e cos 91 + 12-e2AB2Z CD 2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦， 倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。2 2例三（2007重庆理改编）中心在原点0的椭圆一+£ =1，点F是其左焦3627圆上任取个不同点 RRR使/ RFP2 = / F2FP3=/P3FPj =120° .证明:解析:FPi以点FP2FP3为定值，并求此定值.F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐

12、标方程为:,设点Pi对应的极角为日，则点F2与R对应的极角分别P =2-cos日为日+120°、日-120° , Pi、P2与P3的极径就分别是|FP 1 |=92-cos 日| FP22-cose+1200)与 | FP32-cosp-1200)1 1 1 +FP2FPiFP3_ 2-COST + 2-cos但 +120°） + 2-cos（e -120°）而在三二 999， 三角函数的学习中，我们知道cos日+cos（8+120°）+COS（日120°） = 0，因此FPi十FP2FP3詣为定值极坐标分别表示|FP 1卜IFP2I与| FP3 |,这样一个角度对应一个极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半 径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广1若放在抛物