《振动力学》作业资料(含答案解析)

1、振动力学习题集（含答案）1.1质量为m的质点由长度为I、质量为mi的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动,如图E1.1所示。求系统的固有频率。解:系统的动能为:xl2 ilx22其中I为杆关于铰点的转动惯量:l m1 2 一X 0dx则有:1 . 2 2 1 . 2 ml X - m1l 2 63mm1 I2x2系统的势能为:lm1g 21 2 1 2 1 2-mgix- miglX； 2m g glxmgl 1 COSX1 COSX利用X nX和T U可得:J3 2m m, gn 彳 2 3m ml1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度

2、系数为k的水平弹簧，如图 E1.2所示。求系统的固有频率。解:如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为:mR23mR2 24利用n和T U可得:(4k R a R a 阿V 3mR2R Vsm1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为ki , k2和k3的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。J解:系统的动能为:jj2k2和k3相当于串联，则有:k2k3 3以上两式联立可得:k3k2k3k2系统的势能为:利用U Iki 2 1k2 ； 2k32 2 2n和T U可得:ki k2 k3k2k3 2J k2k3ki k2ksn V J k2k31.4在图E1.4所示的系统中，已知k

3、i1,2,3 , m, a禾R b，横杆质量不计。求固有频率。kik2解:k3图 E1.4对m进行受力分析可得:mga答案图E1.4k3X3，即 X3mgk3如图可得:XiFikimgba b k1'X2F2mgaa b k2XoXioMmga b矶则等效弹簧刚度为:XoX3a2k1 b2k2 a b 2k1k211mg mg kskokea Jkikzks222a kik3b k2k3a b kik2则固有频率为:k1 k2k3 a b 2k3 k1a2 k2b21.7质量rnij在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图E1.7所示。确定系统由此产生的自由振动。解:对

4、mi由能量守恒可得（其中 Vi的方向为沿斜面向下）m,gh 1mivf，即 Vi对整个系统由动量守恒可得:mivimim2 Vo，即 VomJ莎m, m2令m2引起的静变形为X2，则有:m2g sin kX2，即x2m2g sin令mi+ m2引起的静变形为Xi2，同理有:Xl2m2 gsin k得:XoX12X2mgsink则系统的自由振动可表示为:ntXo cos nt其中系统的固有频率为:V m,mb注意到Vo与X方向相反，得系统的自由振动为:VoX Xo cos nt 亠 sinnnt1.9质量为m、长为I的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图 E1.9所示。以杆偏角为广义坐标，

5、建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，冋杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时?答案图E1.9解:利用动量矩定理得:ml23cl23ka2fska23cl2ml23c2m n2a j'mk c "Heoa a，mgl2ka2E1.12 所1.12面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图示。作用于薄板的阻尼力为 Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为 To ,在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数。图E1.12解:平面在液体中上下振动时:mx2T

6、oSx kxn J1Td2S2k 2S22.1E2.2应。22 卜2S2TdToSToTd所示系统中，已知m, c,ki ,。求系统动力学方程和稳态响X2X1ki图 E2.1Il1 j ri Id I -i 亠-于"T 1i i "i -"二二"亠"t 1_u 1 i i i "-t -*- i-u i i i i -至-1 - - IC1解:等价于分别为X1和X2的响应之和。先考虑力为图(b)，故:mxk-ik2 xcimxcxkxk1A, sinC1c2， kk1k2?til C2ki<O cixi答案图E2.1(a)X1，

7、此时右端固结,c2 Xk1xGxk2，1 COSk11t答案图E2.1(b)系统等价为图(a)，受(1)(1 )的解可参照释义(2.56)，为:其中:故（2）为:Yt kk1A1sin 1t占_s2xt考虑到X2 t2xt2tgc1A1 1 cos 1t 12 s 21s2 21 2 s1s21i22222 s21mC1C2 1k1k2k1k2Jk1k22 2 m 1C12 2 C2 12 sk1 k2C 1_ k2k1A, sinAl k1 k21 gA 1COS 1t 17 kk2 m 12 2G C2 2 27-222K G 1T21C1(2)1ttg的影响，则叠加后的A尿 i 1 J

8、k1 k22C2sin1t 1 21 c 1/ kk?2 2Cii22m iC1C2kitg为:fmk21 C11k1=sin2 2ittgtg1 C1C21k1k21 m1 GC2i tgkik2jm1 Ci iKi30 , m2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知,1 kg，k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。解:图 T 2-1答案图T 2-1mgsinkxo, Xomgsin1 9.8 120.1cm4970rad/sX X0 cos nt0.1cos70t cm另一重物W22.2如图T 2-2所示，重物W悬挂在刚度为

9、k的弹簧上并处于静平衡位置,从高度为h处自由下落到 W1上而无弹跳。求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。xo解:动量守恒:平衡位置:故:故:r 1 r 1 J 1 I1 iimiBi1 *1 * l4fW2Wi图 T 2-2w2一V2gX12平衡位置x答案图T 2-2W2hw2一Vi2 ,xoVl2kxi ,kxi2,xi2XiXl2XiV W W2 'gJ2ghW2WW2J2ghWkW_WkW2kgVW w2XXo cos nt乞 sin ntnXoCOS nt亚sin ntn2.4在图E2.4所示系统中，已知m.ki ,k2, Fo和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物

10、块运动规律。Xik2Fo sin t BnB图 E2.4X2kiXik2 X2Xik2 X2Xi解:F0sinmx2答案图E2.4取坐标轴Xi和X2，对连接点A列平衡方程:kiXik2 x2XiF0 sin即:kik2 Xik2X2Fosin(1)对m列运动微分方程:mX2k2 X2Xi即:(2)mx2 k2X2 k2Xi由（1），（ 2 ）消去 Xi 得:(3)故:由（3）得:mx2k1k1kX2卫Jsin tk2k1 k2F 0k2m k1kik2k2II22m Kk2nsint 一sin ntn2.5在图E2.3所示系统中，已知 m , c, k,Fo和，且 t=0 时，X Xo ， X

11、 Vo，求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。lil IXin 10ma. : r B-a-HTBBI图 E2.3解:otCcosF0cos tdt Dsin dtAcos tA?1J 1 s2 2 2X 0 x0 C Acosx0 Acosxtoeot0t Ccos dt Dsindtx 0V0C dSin dtD d0C D d A sincosdt A sinv0 0CA sin求出C, D后，代入上面第一个方程即可得。2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力

12、在垂直方向大小为me 2967.7Sin t。已知偏心重 W = 125.5 N，偏心距e = 15.0 cm，支承弹簧总刚度系数k =N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm 1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值Xo0.32 cm。求支承阻尼器的阻尼比及在300r/min运行时机器的垂直振幅。解:, mex t Msin t22 stg1 2 s1s2s=1时共振，振幅为:X1meM11.07cm2(1)远离共振点时，振幅为:X2me0.32cm(2)由（2）M匹X2由（1 ）me 1M 2X1memeX212X1X22X10.15故:2.7求图300i7mi n ，X mekM3.8103m

13、2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽略不计。 解:3k»»ki和k2为串联，等效刚度为：ki2kik2kik22 T 图 案 答。（因为总变形为求和）ki2和k3为并联（因为ki2的变形等于k3的变形），则:kl23ki2k3kik： k3kik?ki k3kzkski k2ki23和k4为串联（因为总变形为求和），故:故:kekl23k4k123k4kik2k4kikskqk2k3k4k1 k2 k1k3 k2k3 k1k4 k2k4kem2.9如图T 2-9所示，一质量 m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的

14、固有频率:(1 )振动过程中杆被约束保持水平位置;(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动;(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。k2图 T 2-9mgX2匚11F2厂严答案图T 2-9解:(1 )保持水平位置：n Ji上* m(2)微幅转动:解:故:xXixFikiJmgli l2 kil2mgli 2 kil2k2 l1xXi lilill12lili|2 k2mgli l2 kilill 12li2kil1k1 l2k2li l2 kik2 mgl22li 2 kik22 2 liki l2k2 2mg li l2 kik2l1l2k2mg2kik2li2ki 1花ke n行2

15、.10求图T 2-10所示系统的固有频率,刚性杆的质量忽略不计。图 T 2-i0mgm 的位置：X x2 XaxAk2答案图T 2-i0mgl Fia ,FimglamglX1ak1x-iaXalaXa 严mgl22akimgx x2 xA2k2a2k1 l2k2 mgmgl2a2k1l2尿mga2k1k2kea2kik2a2k1l2k2m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的2.11图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为k刚度为一。2(1)求倒摆作微幅振动时的固有频率;(2)摆球质量m为0.9 kg时，测得频率仁为1.5 Hz，m为1.8 kg时，测得频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时

16、恰使系统处于不稳定平衡状态?零平衡位置III答案图T 2-11(1)2*mgl 1cos利用TmaxU max ,l cos答案图T 2-11(2)maxnmaxjka2 mgln V ml2若取下面为平衡位置，求解如下:-ka2 22mgldrT12mg|ka2mglka2 g乔TT 1I2mgl cos訓1 20, 2ml2ml2ka2ka2mgl2 mglmgl 2ka2 mgl2sin22mgl121 2J ka mglmT2.17图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问:(1)若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离?若将支承突然撤去，质量

17、块又将下落多少距离?解:(1)mgk1234X0，xoX tX0 cos nt，kik2k3k4iTf图 T 2-17k23k123k12342mgkk?k3k1 k23kk232kk123k4k123k42.19如图T 2-19所示，质量为 m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解:系统动能为:厶-m1x2-I2R21I32 0R22 m212-meXT2x1 2m2x2系统动能为:根据:ikik2kiR2R；fkeX2TmaxVmax， xmaxn Xmaxk2k1R2nI 3g- m2R22解:2.2

18、0 如图 T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为|0,求系统的固有频率。图 T 2-20系统动能为:T 1|212Io2ga系统动能为:V-k12 112根据:Tmax2.24 一长度为m2I2k1a2 k2I2 k3b2Vmax，maxn2k1a2k2I2n1 rn22 2ik3maxI2|2io ma mJb2质量为m的均匀刚性杆铰接于 0点并以弹簧和粘性阻尼器支承，女口图T 2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。解:图 T 2-24 riL1E：a利用动量矩方程，有:-ml23ml22.25图T 2-25所示的系统中,数及阻尼固有频率。3cl22

19、3kapka2v"m73cl2ml22 3ka23 VmT2a |mk刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系图 T 2-25bJm1"4l1k b答案图T 2-25解:ml2ca2kb2(kb2bklm2 ca ml22ca2ml2 nca2何2mlb¥ 匸I241 c a m l VmV 4m2l2b2 7 J4kml2b2 c2a42ml22bl ；由 1 cmka20O|2©m lik l2图 T 2-26答案图T 2-25解:受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡,有:m I1 I1c I3 I3k I2ml；CI32kl；1 一c

20、16Ik4k cc 36 mrad /s1一c1£_m2.26 图 T 2-26 所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m ，c = 48 N ?s / m，I1 = l =n及阻尼 。16m0.252 n0.49 m , 12 = 0.5 l,13 = 0.25 I,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率4.7两质量均为 m的质点系于具有张力 F的弦上，如图E4.7所示。忽略振动过程中弦并计算主质量、主刚张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态,度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。图 E4.7解:sin ii ¥， sin 2答案图亍，sin

21、E4.7(1)根据mi和m2的自由体动力平衡关系，有:故:mym2y2F sin iF sin 2mi0F sin 2F sin 3yim2y2F y2 yilF里lyiyiy2F i F Tyiy22yi2y2当mi= m2时，令:yiYisi n，y2笔sin2mlF代入矩阵方程，有:i Yi丫21,21,33Fm根据 2Y, Yi 0 得:Y_丫2 1第一振型答案图E4.7(2)4.11多自由度振动系统质量矩阵和刚度矩阵K均为正定。对于模态Xi和Xj及自然数n证明:xT MKMXj0，xT KM 1 KXj 0解:KxjMXj，等号两边左乘KM 1重复两次:KM 1KxjxT KM2KM

22、 1Mx j2Kxj，等号两边左乘1K2 TXjj xi Kxj 0，当 i j 时xTKM 1Kxj2Kxj，等号两边再左乘 KM 1KM 1KM 1Kxj2 KM 1K xj，等号两边左乘XiT重复n次得到:故:重复运算:重复n次。2.10 图 T 4-11TXi1 2KM 1 Kxj2 T jXixT kmKM 1K xj 0，当 i j 时1 n1 KXj 0KXjMxjMXj ,MK 1KXj等号两边左乘MK2mK 1MXj2mK 1Mxj ,等号两边左乘TXi2xT MK即 XiT Mx jMK 1MXjxTmK 1Mx j2xT1MXj2 MK0,当i2MXj1 2MK 1 Mx

23、j 0,当 i j 时所示的均匀刚性杆质量为 m1，求系统的频率方程。b Jakim1m2图 T 4-11解:先求刚度矩阵。ki bfmi得:kiiKb bk2akib2k2a2t k2 ak2i f I 罷 I 答案图T 4-11(1)Xkiik2ik2ami得:ki2ki2k2ak22k2答案图T 4-II(2)下k21ra ；k22则刚度矩阵为:Kb2k2a2k2ak? ak2再求质量矩阵。令1，x0,得:mii1 2 严,m2i令0， x1，得:mi20， m22m20m2i则质量矩阵为:I-mia3故频率方程为:2M5.I质量m、长I、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为3.5i5( El

24、 / ml3)i/2，在梁自由端0m2放置集中质量mi。用邓克利法计算横向振动的基频。解:f11，f22，f 3312EI12EI3.51谒，(3EI22 21 2EImmi12.355 y6.0881Ell V 3m 12.355m1 l5.2不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。用邓克利法计算横向振动的基频。3mo1/41/4E5.21/41/4解:当系统中三个集中质量分别单独存在时:3316 丨 /439 1/4解:5.3在图E5.3所示系统中,近似选取假设模态为:已知23mf11 mf22 3mf333.843 (El13ml3192EIm和k。用瑞利法计算系统的基频。2kk

25、mWW2mwwmETq飞厂I L ift a 血 I ft jSy ift jSt 血ift - |汝 a 血 J ift - ift IJ 心 * * * A *图 E5.31 1.52.5t系统的质量阵和刚度阵分别为:3k2k由瑞利商公式:diag m2m m ，2k3ktktm2.5k11.75m0kk10-46m5.9在图E5.9所示系统中，已知 k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J/2图 E5.91112J02k解:两端边界条件为:固定端:XoR，自由端:X2RX1RS1XoR2Jx2r s2x1r1k22k22k2 _J_2丄12k由自由端边界条件得频率方程:2 J2k

26、代入各单元状态变量的第得到模态:k10.765 J元糸，即:11.4145.10 在图E5.10所示系统中，已知用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J1Glp1l1解:两自由端的边界条件为:X1LxrSfx；2 848#1k2 JF(2)11.414TGIPi ( i = 1 , 2) , li (GIp2E5.1012J1l2J2i = 1 , 2)和 Ji ( i = 1 , 2)。2J11丄k1 0 12J12J1k12J101111X1R5X1L5S1FX1RV RQ V RX 2S2X1.52J2k22 J2k2Jk12J1k14川22 J1k2k1k22J12J2其中：k1Gl

27、P1 .T，k2GIP20l 2由自由端边界条件得频率方程:k1k22J12J2I Gl P11 p2 J1 J 2YJ1J2I P1I2 Ip 2I1代入各单元状态变量的第元素，即:1kT2 J1k2得到模态:1T5.11 在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计,m、丨和EI已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。舄(0) I IEl(1)图 E5.11解:引入无量纲量:Fsl2ml3 2定义无量纲的状态变量:边界条件:左端固结：x；根据传递矩阵法，有:MlElxr其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为:得:FsElMFsT右端自由:Q P Q Y R S1 S1 X0ElS1PsFFs1 Fs利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程:(3EI1 Il * ml5.12