一元二次方程应用题

1、解一元一次方程应用题的一般步骤？解一元一次方程应用题的一般步骤？一、复习一、复习第一步：第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；数，用字母表示题目中的一个未知数；第二步：第二步：找出能够表示应用题全部含义的相找出能够表示应用题全部含义的相等关系；等关系；第三步：第三步：根据这些相等关系列出需要的代数根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；式（简称关系式）从而列出方程；第四步：第四步：解这个方程，求出未知数的值；解这个方程，求出未知数的值；第五步：第五步：在检查求得的答数是否符合应用题在检查求得的答数是否符合应用题

2、的实际意义后，写出答案（及单位名称）。的实际意义后，写出答案（及单位名称）。 有一人患了流感有一人患了流感,经过两轮传染后经过两轮传染后共有共有121人患了流感人患了流感,每轮传染中平均一每轮传染中平均一个人传染了几个人个人传染了几个人? 分分析析 1第一轮传染第一轮传染后后1+x第二轮传染后第二轮传染后1+x+x(1+x)._,21xx1.某种植物的主干长出若干数目的支干某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干每个支干又长出同样数目的小分支又长出同样数目的小分支,主干主干,支干和小分支的支干和小分支的总数是总数是91,每个支干长出多少小分支每个支干长出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小

3、小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解解:设每个支干长出设每个支干长出x个小分支个小分支,则则1+x+xx=91即即0902 xx解得解得, x1=9,x2=10(不合题意不合题意,舍去舍去)答答:每个支干长出每个支干长出9个小分支个小分支.2.(P58-6)要组织一场篮球联赛要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场即每两队之间都赛一场,计划安排计划安排15场比赛场比赛,应邀请应邀请多少个球队参加比赛多少个球队参加比赛?3.要组织一场篮球联赛要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛每两队之间都赛2场场,计划计划安排安排90场比赛场比赛,应邀请多少

4、个球队参加比赛应邀请多少个球队参加比赛?4.(P34-7)参加一次聚会的每两人都握了一次手参加一次聚会的每两人都握了一次手,所所有人共握手有人共握手10次次,有多少人参加聚会有多少人参加聚会?3000)1 (50002x),(775. 1,225. 021舍去不合题意xx小结小结 类似地类似地 这种增长率的问题在实际这种增长率的问题在实际生活普遍存在生活普遍存在,有一定的模式有一定的模式若平均增长若平均增长(或降低或降低)百分率为百分率为x,增长增长(或降低或降低)前的是前的是a,增长增长(或降低或降低)n次后次后的量是的量是b,则它们的数量关系可表示为则它们的数量关系可表示为bxan )1

5、(其中增长取其中增长取+,降低取降低取例例.(2003年年,广州市广州市)2003年年2月月27日日广州日报广州日报报道：报道：2002年底年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面积的百分比）为为4.65，尚未达到国家，尚未达到国家A级标准因此，市政府决定加快绿化建级标准因此，市政府决定加快绿化建设，力争到设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到年底自然保护区覆盖率达到8以上若要达到最以上若要达到最低目标低目标8，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位

6、有效数字）（结果保留三位有效数字）解：设广州市总面积为解：设广州市总面积为1，广州市自然保护区面积年，广州市自然保护区面积年平均增长率为平均增长率为x，根据题意，得，根据题意，得 14.65% (1x)218% (1x)21.720 1x1.312 x1 0.312=31.2%,x2 2.312(不合题意不合题意,舍去舍去) 答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长率应为率应为31.2%1.某厂今年一月的总产量为某厂今年一月的总产量为500吨吨,三月的总产三月的总产量为量为720吨吨,平均每月增长率是平均每月增长率是x,列方程列方程( )A.

7、500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为某校去年对实验器材的投资为2万元万元,预计今明预计今明两年的投资总额为两年的投资总额为8万元万元,若设该校今明两年在若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程则可列方程为为 .B8)1 (2)1 (22xx1 1、平均增长（降低）率公式、平均增长（降低）率公式2(1)axb2 2、注意：、注意： （1 1）1 1与与x x的位置不要调换的位置不要调换（2 2）解这类问题列出的方程一般）解这类问题列出

8、的方程一般 用用 直接开平方法直接开平方法上一节，我们学习了解决上一节，我们学习了解决“平均平均增长增长(下降下降)率问题率问题”，现在，我们要学习解，现在，我们要学习解决决“面积、体积问题面积、体积问题。实际问题与一元二次方程（三）实际问题与一元二次方程（三）面积、体积问题面积、体积问题一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4菱

9、形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？ 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中央的矩形两边之比也

10、为央的矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:8 . 143275422339272927 x4 . 143214222337212721 x 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之

11、一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意得依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?1

12、1、用、用20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形, ,若能够若能够, ,求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明请说明理由理由. .解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,)220(x30)220( xx即即x2-10 x+30=0这里这里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场

13、地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽

14、，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2

15、 2。(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小

16、不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算

17、、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)220)(232(xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形

18、的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例例3. (2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度利用墙（墙的最大可用长度a为为1

19、0米），围成中间隔米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，米，面积为面积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15

20、=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx