两个平面的位置关系

1、三.两个平面的位置关系知识提要空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系.(1)定义判定1.2.如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行.性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.3.(1)定义判定性质如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(1) 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线， 另一个平面.(2) 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于另一个平面的直线，

2、也垂 直于交线.平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平这条直线叫垂直于二面角面.一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直面角。作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法.把平面角放入相关三角形中求解.课前练习4.5.6.1.a、3是两个不同的平面，m, n是平面a及3之外的两条不同直线，给出四个论断：m丄n,a丄3,n丄3,m丄a.以其中三个论断作

3、为条件，余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题，并证明它.解析： m 丄a, n丄 3 a丄3 m丄n (或 m 丄n, m 丄a, n丄3 a丄3)a,证明如下：过不在3内的任一点 P,作 PM IIm , PN IIn,过PM、PN作平面r交a于MQ，交3于NQ .PM / m PMPM MQ,同理PN丄NQ .因此/MPN + /MQN = 180故/MQN = 90/MPN = 90即m丄a n丄卩，a丄卩 m丄n2 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补.证明：如图PQ丄 ,PQ丄AB,PR丄 ,PR丄 AB ,则AB丄面P

4、QR.经PQR的平面交于 SR、SQ,那么AB丄SR, AB丄SQ./QSR就是二面角的平面角.因四边形 SRPQ 中，/PQS=/PRS= 90 ° ,因此/P+ /QSR= 1803.在60。的二面角M a N内有一点P, P到平面M、平面N的距离分别为1和2 ,求P点到直线a的距离.解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法， 下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA丄M , A是垂足，PB丄N ,B是垂足，先作了两条垂线，找出 P点到两个平面的距离，其余概念要

5、通过推理得出：于是PA、PB确定平面a,设 aQM = AC, aQN=BC, C a.由于 PA 丄 M，贝U PA 丄 a，同理PB丄a，因此aa的距离，下面丄平面a,得a丄PC.这样，/ ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线只要在四边形 ACBP内，利用平面几何的知识在 PAB中求出AB，再在 ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R=型！，即为P点到直线a的距离，为334 .判定下列命题的真假(1 )两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个 平面;定分别与另一平面垂直;(2 )两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线,(3)两平面垂直，分别在

6、这两个平面内的两直线互相垂直。解析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的,如图，正方体 ACi中，平面 AC丄平面 ADi，平面 AC n平面ADi = AD ,在AD上取点A，连结ABi，贝U ABi ± AD，即过棱上一点 A的直线ABi与棱垂直，但ABi与平面ABCD不垂直，其错误的原因是 ABi没有保证在平面 ADD iAi内，可以看出：线在面内这一条件的重要性;(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体ACi中，平面 AD1丄平面 AC , ADi 平面ADD iAi, AB 平面 ABCD，且AB丄AD 1，即AB与ADi相互

7、垂直，但 ADi与平面ABCD不垂直;(3)如图，正方体 ACi中，平面ADD iAi丄平面ABCD , AD i 平面ADD iAi , AC 平面ABCD , ADi与AC所成的角为60°，即AD i与AC不垂直DiA Bi/D；JABAiCi解：由上面的分析知，命题、都是假命题。点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个面内；直线必须垂直它们的交线。5 .设 S 为 ABC 平面外的一点，SA=SB=SC , ASB 2 , BSC 2 , ASC 2," 2 2右 Sin sin2sin ，求证：平面 ASC

8、 平面ABC。解析：(1)把角的关系转化为边的关系(2 )禾9用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心)证明：设D为AB的中点SA SBASDsinADABSA2SA同理sinBC . ,sin 2SBAC2SCSA SB2SC且 sin2.2Sin.2SinAB2 BC2 AC2即ABC为Rt ABC且S在平面上的射影O为ABC的外心则O在斜边AC的中点。SO平面ABCSO平面SAC平面ASC 平面ABC教学过程.平面与平面的平行例1已知平面，如果直线a丄,a丄，求证：平面/平面 。证明：设aOi，过Oi作ai,b,两相交直线，设a与a,确定的平面为丫，a2,从

9、而a ai,aa2 a, / a2a, / 。同理b, /。所以 /。例2已知平面 /平面，（1）若直线a /平面，判断直线a与平面的位置关系。（2 ）若直线a丄平面 ，判断直线a与平面 的位置关系。（3）给出的三个平面（与不重合），试判断平面之间的位置关系。解：（1） a/(2)/ /或，都相交。在正方体ABCD AiBQDi 中，M、N分别为棱AB、AiDi的中点，E、F分别为棱BG、GD1的中点。（1）求证：E、F、B、D共面；（2）证明：平面AMN /平面EFDB。证明：(1) EF/B 1D1 , B1D1/BD , AEF/BD ,.£、F、B、D 共面。(2) NE/A

10、 iBi , A1B1/AB , ANE/AB，且 NE=AB , aABEN 是平行四边形。AN/ 平面 BEFD。同理：AM/平面BEFD。平面 AMN /平面 EFDB 。二.平面与平面的垂直例4 已知平面 /平面，平面 丄，求证：丄 。证明：设a,在丫内作/例5 在三棱锥 S ABC中，/ ASC / ASB60 ，/BSC 90 , SA SB SC a,求证:平面SAB丄平面SAC o证明：作 BD丄SA于D , DE丄SC于E,连接BE,设 SD=x,贝U SB=2x ,tyf3xBDU3x,DEx,SE-22又 BSE , BE2 SB2 SE224x217x22 2又 BD2

11、 DE2 3x217X42 2 2所以BD DE BE，所以BD丄DE,又BD丄AS，从而BD丄面SAC。所以平面SAB丄平面SAC。S面角在三棱锥SABC中，SA丄底面 ABC , AB丄BC , DE垂直平分SC且分别交 AC、SC 于 D、E，又 SA AB, SB BC，求以BD为棱，以BDE、BDC为面的二面角的大小。解:E为SC的中点，SB=BC ,.BE丄SC,又DE丄SC,SC丄平面BDE ,BD 丄SC,又 BD 丄 SA, BD丄平面SAC ,/EDG为二面角E-BD-C的平面角。/SCA=30 0 ,./EDC=60 0设 SA=AB=1，贝U SB=BC=2 , SC=

12、2 ,所以二面角E-BD-C的的大小为60°。例7 在立体图形 P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA丄底面ABCD , PA= AB, Q是PC中点.AC, BD交于O点.(I)求二面角Q BD C的大小:(n)求二面角 B QD C的大小.解析：（I）解：连 QO,贝 y QO /PA 且 QO = - PA21=-AB2/ PA丄面 ABCD QO 丄面 ABCD面 QBD 过 QO ,面 QBD 丄面 ABCD故二面角Q BD C等于90 ° .(n)解：过O作OH丄QD，垂足为H，连CH .面 QBD 丄面 BCD，又 CO 丄 BD , ACO丄面 QBD

13、,CH在面QBD内的射影是 OH 。/ OH丄QD , CH丄QD ,于是/OHC是二面角的平面角.设正方形ABCD边长2 ,则 0Q = 1, OD = V2 , QD =討3 .OHQD = OQOD , OH 芒.CC/ Q又0C =忑，在RZOH中：tan /OHC =萌=臣帀二晶 /OHC = 60。，故二面角 B- QD C 等于 60 ° .例8 河堤斜面与水平面所成角为 60。，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线 AB解析:夹角为30。，沿着这条直道从堤脚上行走到 10米时，人升高了多少（精确到 0.1米）？所求河堤斜面与水平面所成角为60E到地面的距离利用E或G

14、构造棱上一点F以EG为边构造三角形G,解：取CD上一点E,设CE= 10 m ,过点E作直线AB所在的水平面的垂线 EG,垂足为则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作 EF丄AB .垂足为F,连接FG,由三垂线定理的逆定理，知 FG丄AB.此，/EFG就是河堤斜面与水平面 ABG所成的二面角的平面角，/ EFG= 60 ° .由此得:EG= EFSi n60=CE sin30 °sin60=10 X - X 並 y.3 (m)2 2答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约 4.3米.例9 四棱锥P-ABCD的底面是边长为 a的正方形，PB垂直面ABCD ,证明无论

15、四棱锥的 高怎样变化，面 PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90 ° .解析：注意到题目中所给的二面角，面 PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题 解决途径.证法一：利用定义法经A在PDA平面内作 AE丄PD于E,连CE.因底是正方形，故 CD = DA .:EDSED, AE= EC,/CED=/AED = 90 ° ,贝U CE丄PD.故/CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角.设AC与BD交于0,连E0,贝U E0丄AC .OA a,血0A a，而 AE< AD < a. 2 AE2 EC2(2OA)2 (AE V20A)(AE V20A)2AE ECcos AEC 0 .2AE EC所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90证法二：运用三垂线法/ PB丄面 ABCD，贝U PB丄 AD，又 AD 丄 AB, AD丄面PAB,即面PAB丄面PAD .过B作BE丄PA，贝U BE丄面PAD .在面PBC内作PBC,连GD.经C作CF丄面PAD于F,那么连结EF