钻石卡考研模拟卷-数农答案

1、2010届万学海文钻石卡学员强化阶段测试卷答案（数农）一、选择题(1) 设函数f(x)=lim1+x其结论为 （ ） ,讨论函数f(x)的间断点，x1+x2n(A)不存在间断点. (B)存在间断点x=1. (C)存在间断点x=0. (D)存在间断点x=1【答案】(B)【解析】f(x)的表达式为0,0,f(x)=1+x,1,0,x1x1当x<1,当x=1,当x<1, 当x=1,当x>1.在x=1处，lim+f(x)=limf(x)=f(1)=0，得函数f(x)在x=1处连续， 在x=1处，limf(x)=lim0=0；limf(x)=lim(1+x)=2；lim+f(x)lim

2、f(x)，+x1x1x1x1x1x1所以x=1为函数f(x)的第一类间断点.故选(B).(2) 已知当x0时,(1+ax)1与cosx1是等价无穷小,则常数a= （ ）(A)233232 (B) (C) (D) 2323n【答案】C【解析】因为当x0时,sinxx,(1+x)11231x, n当x0时ax0，所以有(1+ax)112321211ax,cosx1=sin2xx2, 32212ax(1+ax)12所以 lim=lim=a. x0x01cosx13x22因为当x0时,(1+ax)1与cosx1是等价无穷小,所以12323a=1,故a=. 32- 1 -sinx43423422(3)

3、设M=2xdxN=x+xdxP=(xsinxcosx)dx, cos,(sincos),1+x2222则 （ ）(A) P<M<N (B)M<P<N (C)N<M<P (D) N<P<M【答案】(A)【解析】由对称区间上奇偶函数积分的性质，由M=0，且400N=22cosxdx>0,P=22cos4xdx=N<0.因而 P<M<N，应选(A)(4) 设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值,则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )(A) 必取极大值 (B) 必取极小值 (C) 不可能取极值 (D) 是否取极

4、值不能确定【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取f(x)=g(x)=(xa),两者都在x=a处取得极大值0, 而F(x)=f(x)g(x) 2=(xa)4在x=a处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取f(x)=g(x)=1(xa)2,2两者都在x=a处取得极大值1, 而F(x)=f(x)g(x)=1(xa)在x=a处取得极大2值1,所以(B)也不正确,从而选(D).（5）若1,2,3,1,2都是四维列向量，且四阶行列式1,2,3,1=m,1,2,2,3 =n，则四阶行列式3,2,1,(1+2)等于 （ ）(

5、A)m+n (B) (m+n) (C) nm (D)mn【答案】(C)【解析】先将所求值的行列式拆分为两个行列式之和，得到 3,2,1,(1+2)=3,2,1,1+3,2,1,2再利用两列对调、行列式变号的性质，得到 3,2,1,(1+2)=1,2,3,11,2,3,2=m+1,2,2,3=nm（6）设有向量组1=(6,+1,7)，2=(,2,2)，3=(,1,0)线性相关，则 （ ）(A)(C) =1或=4 (B) =2或=4 =3或=4 (D) =2或=4- 2 -【答案】(B)6【解析】因1,2,3线性相关，故12023=+121=22512=0，7解得1=2，2=4(7) 设事件A与B

6、相互独立，0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下述结论不正确的是（ ）(A)A与AB一定不独立 (B)A与AB一定不独立(C)A与BA一定不独立 (D)A与AB一定不独立【答案】(A)【解析】由于A(AB)，若P(AB)=1，则A与AB独立，故选项(A)不正确，选择(A).其它选项均正确。例如选项，由于AB=A，又0<P(A)<1，0<P()=P(A)P()<1，所以A与AB一定不独立。同理可证选项(C)(D)正确。如果0<P(A)<1,0<P(B)<1，A与B互不相容或存在包含关系，则A与B一定独立。（8）设随机变量X

7、N(,)，则随的增大，概率P(X<) （ ） 2(A)单调增大 (B)单调减少 (C)非单调变化 (D)保持不变【答案】(D) 【解析】因为P(X<)=P(X<1)=2(1)1=常数。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）xx1=(9) limx1xlnx【答案】1 xx1exlnx1xlnx【解析】lim=lim=lim=1 x1xlnxx1xlnxx1xlnx(10) 设y=ln(1+3),则dy=. 【答案】xln3dx 3x+1- 3 -【解析】由复合函数求导法则,即y=(f(x)的微分为dy=(f(x)f(x)dx,有1ln3x

8、3ln3(1)dx=dx. xx1+33+1y(11) 设z=xyf(),f(u)可导,则xzx+yzy=xdy=【答案】2xyfy x【解析】根据复合函数求导法则,y=+zyfxyfxx2yyyyyf, =yfxx2xxxyy1yyzxfxyfxfyf=+=+y. xxxxx所以 xzx+yzy=xyf(12) 已知f(2)=【答案】0 【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分, y2yy2yyyfxyfyfyf+=x2 xxxxx211,f(2)=0及f(x)dx=1,则x2f(2x)dx= . 0021211211=tdf(t)=tf(t)+f(t)dt=+=0 404404412（13

9、）A是三阶可逆矩阵，且A的特征值为1,2,3，则A =【答案】1 1 61【解析】A=1×2×3=6，A=11= 16A2（14）设X服从参数为的泊松分布，且E(X+2X4)=0，则=_【答案】1【解析】由X服从参数为>0的泊松分布，故EX=,DX=，于是由E(X2+2X4)=EX2+2EX4=DX+E2(X)+2EX4=+2+24=2+34=0得 =4（舍去）或=1，三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）- 4 -(15) （本题满分9分）计算 x0x.ex1sinx （3分） 【解析】原式=limx012x2excosx=

10、lim （6分） x0xex+sinx=1 =lim（9分） x01(16) （本题满分9分）计算 x【解析】x=2=22. （3分） 2=t,则 x=ln(t+1),dx=2tdt, （5分） 2t+1所以 2tdtt21=t2=22dt=2(12dt t+1t+1t+1 =2t2arctant+C=C, （8分） 所以 x=22 （9分） =2+4arctan+C. (17) （本题满分10分）设当x>0时,方程kx+【解析】方程kx+1=1有且仅有一个解,求k的取值范围. x21321=的解即为函数(x)=kxx+1的零点. （2分） 2x(x)=3kx22x=x(3kx2). （

11、3分） 当k0时,(x)<0,(x)单调减少,(0)=1>0,lim(x)=,x+(x)在x>0有唯一的零点； （6分）2224单调减少,在(,+)单调增加,()=1,而23k3k3k27k2(0)=1>0,lim(x)=+,当且仅当最小值(=0时,(x)才在x>0有唯一零点,x+3k当k>0时,(x)在(0,- 5 -. （9分） 时,原方程有唯一实根. 总之,当k0或k=（10分） (18) （本题满分11分）计算二重积分ydxdy，其中D是由直线x=2, y=0, y=2以这时应该有k=D及曲线x=所围成的平面区域。【解析】解法1：区域D和D1如图所示

12、，有 （2分）ydxdy=DD+D1ydxdyydxdy=I1I2 （3D1显然 I1=D+D1ydxdy=dxydy=4 （52002I2=ydxdy=dD12sin20rsinrdr =881+cos44=+=sin12cos2dd （10分） 233×422于是 ydxdy=I1I2=4D2 （11分）解法2：如图所示，D=(x,y)|2xy2 （3分） ydxdy=ydyD202=2ydy 0022=4 （6分） 02令y1=sint，有dy=costdt，则 （7分）20=222(1+sint)cos2tdt 20=cos2tdt+22cos2tsintdt=21+cos2

13、t dt+0= （11分）22(19) （本题满分11分）设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的的截距，且L经过点1,0.试求曲线L的方程 2【解析】设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Yy=y(Xx)，则它在y轴上的截距为xy+y. 又坐标原点到点P(x,y)，由题设P(x,y)(x>0)到坐标原点- 6 -的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，所以xy+y=(x>0)， 即yy=， (x>0) （3分） x令y=ux，则dy=u+xdu，方程化为：dx（6分） dudu=uu+xx=dxxdx得 Cln

14、u+=lncxu= （8分） x(yCy+=C. （9分） 把u=代入上式，得 =xx11由题设曲线经过点,0，代入得0+=C，则C=，故所求方程为： 22y+=112，即y=x. （11分） 24（20）（本题满分11分）x1+x2+x3=2,对于线性方程组x1+2x2+ax3=1,讨论a,b取何值时,方程组无解、有唯一解和无穷多解,2x+3x=b.21并在方程组有无穷多解时,求出通解. 111【解析】方程组系数行列式D=12a=1a. （2分）230当D0时,即a1时,由克莱姆法则知方程组有唯一解； （4分）111当a=1时,方程组的系数矩阵A=121, 230对方程组的增广矩阵施行初等行

15、变换得111 2111 2B=121 1012 3. （7分）230 b000 b1（8分） 当b1时,r(A)=2,r(B)=3,r(A)r(B),线性方程组无解；当b=1时,r(A)=r(B)=2<3,线性方程组有无穷多解,其通解为 （9分）- 7 -x153xk 3=+22,其中k为任意常数. （11分）1x03（21）（本题满分11分）设3阶矩阵A的特征值为1,1,2,对应的特征向量依次为0111=,2=0,3=0. 1011() 求矩阵A；（) 求A2009.100【解析】()由题设知A(1,2,3)=(1,2,3)010,即 002011011100A100=100010.

16、（2分） 01101100201由于11 0=20,所以 （3分）0011011100011A=100010100011002011 （6分） 01110002010311=100010101=020.2002101230101120091（) A001101110=100010100 （8分）01100(2)200901101+2200920.0122009112200900200111011=100010101=0200(2)200910121+22009011（11分）（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为：- 8 -32x,0<x<2 f(x)=8

17、 其它0,已知事件A=(X>a)和B=(Y>a)独立，且P(AB)=3，试求常数a。 4【解析】由已知条件有 P(A)=P(B)，且P(AB)=P(A)P(B)， （2分） 于是P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=2P(A)P(A)=解得：P(A)=23 （4分） 413,P(A)=（舍去） （6分） 22+23123又 P(A)=P(X>a)=f(x)dx=xdx=(8a) （9分） aa881133即(8a)=8a=4 即a= （11分） 82（23）（本题满分11分）设随机变量(X,Y)的概率分布密度为f(x,y)=1,0,y<x,0<x<1 其它（）求随机变量