自主招生考试中的递推数列问题

1、- 1 -自主招生考试中的递推数列问题 上海市徐汇区冯志刚名师工作室学员 吴坚 数列是中学数学的重要内容, 是初等数学与高等数学的衔接部分, 且与其他数学知识有着广泛的联系 . 在与数列有关的问题中, 从数列的递推关系式出发寻找通项公式, 往往是解决问题的突破口与关键点, 递推数列是高考与自主招生考试关注的焦点 .在近几年的“华约” 、 “北约” 、 “卓越联盟”以及复旦大学的千分考中,从递推公式推导通项公式,用 递推公式研究数列性质等问题的考查频率相当高, 往往可以占到数列考查内容的 40%50%. 与高考不同的 是,自主招生考试对递推数列的考查方式更加灵活,难度也更加高,有些问题往往需要用

2、到不动点方程与 特征方程的相关知识 . 知识储备与拓展 】数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,表示递推关系的式子叫做递推公式,由递推关系和初始 条件给出的数列叫做递推数列 .(一 递推数列的常见类型及其通项公式的求法 1. 形如 1( n n a a f n +=+的递推关系式,其通项求法为1111111( ( n n n k k k k a a aa a f k -+=+-=+,我们称这种方法为“累加法” .2. 形如 1( n n a f n a +=的递推关系式,其通项求法为3211121(1(2(3(1(2 n n n a a a a a a f f f f n n a a a -

3、=-, 我们称这种方法为“迭乘法” .3. 形如 1(1 n n a pa q p +=+的递推关系式,其通项求法为方法一:由 1n n a pa q +=+及 1n n a pa q -=+, 两式相减得 11( n n n n a a p a a +-=-, 可知 1n n a a +-是 首项为 21a a -,且公比为 p 的等比数列,先求出 1n n a a +-,再求出 n a .方法二:两边同时加上1-p q ,变为-+=-+111p q a p p qa n n ,- 2 -显然 1nqa p +-是以 11-+p q a 为首项, p 为公比的等比数列 .无论是方法一还是方法

4、二,都是将 1(1 n n a pa q p +=+转化为常见的等比数列来处理 . 4. 形如 (n f pa a n n +=+1的递推关系式,其中 ( f n 不是常数,其通项求法为若 1p =,显然 111(, 2n n i a a f i n -=+;若 1p ,两边同时除以 1n p +,变形为(111+=n nn n n pn f pa pa .令 n n na b p=,得 11( n n n f n b b p+=+,利用“累加法”可以求得(-=+=1111n i i nn pi f pa pa ,从而(+=-=-1111n i i n n p i f a pa . 5. 形如

5、 1qn n a pa +=(0, 0n p a 的递推关系式,其通项求法为两边取对数有 1lg lg lg n n a q a p +=+,令 lg n n b a =,则 1lg n n b qb p +=+,仿类型 3可以求得 n b ,从 而得到 n a 的通项公式 .(二 递推数列通项公式的两种特殊求法 1. 特征方程法【定理 1】若数列 n a 满足:112221, , (n n n a m a m a pa qa p q +=+、 是常数, *n N ,则称数列n a 为二阶线性 .对于递推数列 21n n n a pa qa +=+,定义方程 2x px q =+为数列 n a

6、 的特征方程,该方程的根称为特征根 .(1若方程 2x px q =+有两相异根 、 ,则数列通项可以设成 12n n n a c c =+, (其中 12c c 、 是待定常数 ;(2若方程 2x px q =+有两相同根 ,则数列通项可以写成 12( n n a c nc =+, (其中 12c c 、 是待- 3 -再利用 1122, , a m a m =可求得 12, c c ,进而求得 n a . 2. 不动点法不动点的概念是由荷兰数学家布劳威尔提出的,我们把满足方程 ( f x x =的 x 叫做函数 ( f x 的不动 点 .【 定 理 2】 若 ( (0, 1 f x ax

7、b a a =+, p 是 ( f x 的 不 动 点 . 若 n a 满 足 递 推 关 系1( (2 n n a f a n -=,则 (1p a a p a n n -=-,即 p a n -是公比为 a 的等比数列 .【定理 3】若 0, 0( (-+=bc ad c dcx b ax x f , n a 满足递推关系 1(2 n n a f a n -=,且初始值 11( a f a .(1若 (x f 有两个相异的不动点 p q 、 ,则qa p a k qa p a n n n n -=-11(这里 qca pc a k -=;(2若 (x f 只有唯一不动点 p ,则k pa

8、pa n n +-=-111(这里 da c k +=2 .【例 1】 (2007年复旦大学 已知数列 n a 满足 134(1 n n a a n +=, 且 19a =, 其前 n 项和为 n S , 则 满足不等式 1|6|125n S n -的最小整数 n 为 ( .A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解析 由于 134n n a a +=,则 11433n n a a +=-+,于是111(1 3n n a a +-=-,所以 1n a -是首项为 8,公比为 13-的等比数列 . 从而1211|6|(1 (1 (1-6|=|6( |,有 n n x y 恒成立 .证明 212n

9、 n n x x x +=+对应的特征方程为 2210x x -= ,特征根是 11+-. 根据定理 1 可设12(1(1nn n x =+-,同理可设 122(1 n nn y =+-. 所以 1122(12(1(1 nnn nn n x y -=+-+-.- 8 -由于 112212(1(1(3(3x x =+-=+-,于是 112142( 0222x x -=+, 同理, 1121( 06y y =+.又因为 222222(1(1 (|,|n n-+, 121(12n n+,根据指数函数的性质可知,当 n 充分大时, 11(12nn+-也充分大,即存在正整数 0n ,对任意正整数 0n

10、n ,都有 n n x y 恒成立 .【例 8】 (2002年上海交通大学 设数列 n a 满足关系式 2121(1, 2, 3, n n a a n +=-= ,若存在 N 满足1(2, 3, N a N = ,试证明:(11|1a ; (212cos2N k a -=(k 为整数 .证明 (1考虑用反证法,若 1|1a ,则由条件知23111n a a a ,即不存在 N ,使得 1(2, 3, N a N = ,矛盾,从而 1|1a .(2由于 1|1a , 于是令 1cos a =, 则 222c o s1c o s2a =-=, 2232cos 21cos 2a =-=, ,1cos

11、 21N N a -=,故 122( N k k -=Z ,即 12cos2N k a -=(k Z .评注 三角换元也是研究递推数列性质的重要工具与手段,下面再举一例加以说明: 已知 1n a a =,求数列 n a 的通项公式 .分析与解 由数学归纳法,不难证明 *02( n a n N ,故可设 2cos (0 2n n n a =(3由于当 2n 时, n P 单调递减,且有下界 0,所以 lim n n P 一定存在 .于是对 141(5 16n n n P P P n -=-两边同时取极限,可以得到 lim 0n n P =.统计意义:当投掷次数足够多时,不出现连续三次正面向上的次数非常少,趋近于零 .评注 本题第三小问中用到了高等数学中的一个结论:单调有界数列必有极限 . 在对学生的考查中注重