2021高考试题——理数(天津卷)解析版

1、2 0"洋普逋高等学校福生全国统一哮试天津卷M 学理工类第I卷考前须知：1、 每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号 .2、本卷共8小题，每题5分，共40分.一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1全集 U1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A 2,3,5,6，集合 B 1,3,4,6,7，那么集合AI殆BA 2,5 B3,6C 2,5,6 D 2,3,5,6,8【答案】A【解析】试题分析：euB 2,5,8,所以 AI euB 2,5，应选 A.考点：集合运算x 2 02设变量x, y满

2、足约束条件Xy 3 0，那么目标函数z x 6y的取大值为2xy 3 0A3(B)4C18D40【答案】C俩斤】> 1-2> 0试题分+爪不夺式*xy + 3>C所表小的只域如 '厘所小，当上二丁广:驶示绣?m蛊二2?+/- 30时，£有最大侵1乩1510考点：线性规划3 阅读右边的程序框图,A 10 B6 C43=0k+22B242x4?一3 = 0运行相应的程序，那么输出14 D 181015S的值为【答案】B【解析】试题分析:模拟法:输入S 2!0,i1 ；i 21JS 20218,25不成立；i 224,S18414,45不成立i 248,S1486

3、,85成立输出6,故选B.考点:程.序框图4设x R ，那么“x 21 是"x2x20 的A 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D )既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：<11<i<3>t3H-a-2>0«a<-2或入 >1所以 件2|承"是"J + l2a0 "的充分不必要条件,应选A.考点：充分条件与必要条件 (5)如图，在圆0中,M ,N 是弦AB的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N假设 CM 2,MD 4,CN，那么线段NE的长为(A)83(B)310(C

4、)3(D)E【答案】【解析】试题分析:由相交弦定理可知,AM MBCM MD,CNNEANNB，又因为M , N是弦AB的三等分点，所以 AM MB AN NBCNNECM MD ，所CM MD2 48丄NE，应选A.CN33考点：相交弦定理(6)双曲线2 2x y2 21 a 0,b0 的一条渐近线过点2, 3，且双曲线的一个a b焦点在抛物线y24 7x的准线上，那么双曲线的方程为2 2x y2 2 2 2x y ,x y ,x2、2(A)1( B)一 一 1 (C) 一 一 1(D) 二121 2828 213443【答案】D【解析】,7h试題分析；収曲线二牛(h的渐近鮭肓程Ky二由I?

5、渐诉舞亠 所以(X bCL匕=里 双曲讎的一个建点在抛准线方程北=-d上，所m =历、由此可解得 a 2刪双曲线方程碍峪"做选考点：1双曲线的标准方程及几何性质;(7 )定义在R 上的函数2抛物线的标准方程及几何性质.x 2 m 1( m为实数)为偶函数，记 a f(log0.53),b f log2 5 ,c f 2m ，那么 a,b,c 的大小关系为(A) a b c ( B) a c b ( C) cab ( D)c b a【答案】C【解析】试题分析：因为函数 f x2|x m 1为偶函数，所以m 0,即f x2x 1，所以1 呱 log 3a f(lOg0.53) f 叫 3

6、 1 2 921 3 1 2，b f log252l0925 1 4,c f 2m f(0) 20 1 0所以cab，应选C.考点：1函数奇偶性；2指数式、对数式的运算2 |x|, x 2,(8)函数f x2函数9 x b f 2 x ，其中b R，假设函x 2 , x 2,数y f x g x 恰有4个零点，贝U b的取值范围是(A) 7,(B),7(C)0,7 (D)了芒4444【答案】D【解析】2|x|, x 2,22x,x 0试题分析:由fx2得f(2x)2x2 ,x2,2x ,x 02x|2x ,x 0所以yf(x)f(2x)4x|2 x,0 x2，(x2)2,xf(x) f(2x)

7、2x2,2x2, x05x8,xy f(x) g(x)f(x) f (2 x) b,所以 yx g x恰有4个零点等价于方程f(x) f(2 x) b 0有4个不同的解，即函数 y b与函数y f(x) f (2 x)的图象的4个公共点，由图象可知 7 b 2.4862*15101015-2-6 -8考点：1求函数解析式；2函数与方程；3数形结合.第II卷考前须知：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分.(9) i是虚数单位，假设复数 1 2i a i是纯虚数，那么实数 a的值为【答案】 2【解析】2.试

8、题分析：1 2i a i a 21 2a i是纯度数，所以a 2 0，即a考点：1.复数相关定义；2.复数运算.10个几何体的三视图如下图单位：m,那么该几何体的体积为1516展开式的通皿为為由 6- 2r-2r - 2,所【答案】83【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积 V 12221121833考点：1.三视图；2.旋转体体积.11曲线y x2与直线y x所围成的封闭图形的面积为 .【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为0,0,1,1,所以它们所围成的封闭图形的面积Sx x2 dx1

9、2x1 3-x110230 6考点：定积分几何意义6112 在x的展开式中，x2的系数为4x【答案】以7_丄C?z3=-,所以该项系数詬' 4丿16.6考点：二项式定理及二项展开式的通项版权所有：中华资源库 ziyuanku (13)在 ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a,b,c , ABC的面积为3 15 ,b c 2,cos A1J4那么a的值为【答案】8【解析】试题分析:因为0A，所以sin A12cos A4又 S abc1 bcsin A2返 bc 3、15,8bc24，解方程组bc c242 得 b 6,c4由余弦定理得1a2 b2 c2 2bccosA 62422

10、 6 464，所以 a 8.4考点：1同角三角函数关系；2三角形面积公式；3余弦定理.(14)在等腰梯形 ABCD中，AB/DC,AB 2,BC 1, ABC 60o，动点E和F分别在线段BC 和DCuuu上,且,BEuuu UULTBC, DF1 uuur9-DC，uuuAEuuurAF的最小值【答案】2918试题分析：因为uuuuuirunr1 uuir uuir DC DC19uuirCFDFDCDC99uuuuuuuuuuuuuuAEABBEABBCuuuruuuuuuuuuuuuuuu19 uuuAFABBCCFABBCAB18uuuruuuuuuuuur19uuuuuuAEAFAB

11、BCABBC【解析】118uuir DF181 uuir9 DC， uuu AB，19 uuuAB 18uuuBC189 uuu2ABuuu 2BCLUITDC1 uuuAB218uuu Luur AB BC1941819 9182 1 cos12017 221172918 921818当且仅当F2 uuuuuur29即2时AEAF的最小值为293 18考点：1向量的几何运算；2向量的数量积；3根本不等式.三、解答题：本大题共 6小题，共80分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.2 215.(本小题总分值13分)函数f x sin x sin(I) 求f (x)最小正周期;(II)求f(x

12、)在区间-P ,P上的最大值和最小值.3 4【答案】(I); (ii) f(x)max 4,f(x)min 2【解析】试题分祈：匚列田两弟和2差的正余弦去式厦二倍甫的正余弦公式化简函数的解析式，由三祐函数性质可求最小正周期；：二)先写出函数的单调区间，目呵求函刼的最大11与最小值.试题解析；匚由，頁冲、1 -cos 2z(71、1- C(>£ 2xI 3； llcos2.+2sm2x2匕鹽店二丄池(力二442吠'所以/ (外旳最小正周朝7 = = x匸)因背/(©衽因问-?-?上是减函熟 衽区间【一22】上是曙网熱3 66 4.所以如在区间-.-±的

13、最大首为芈，最小值为3 TI12考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质版权所有：中华资源库 ziyuanku 16.(本小题总分值13分)为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手 2名；乙协会的运发动 5名，其中种子选手3名从这8名运发动中随机选择 4人参加比赛(I) 设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会 求事件A发生的概率；(II) 设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】(I)6 ;35(II)随机变量X的分布列为X

14、1234P1331147714E X【解析】试题分析:52(I)由古典概型计算公式直接计算即可；(II)先写出随机变量 X的所有可能值,求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望试题解析：(I)由，有P(A)C435所以事件A发生的概率为 6 .35(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4C5C4k5C：(k123,4)所以随机变量X的分布列为X1234P133114771413 31所以随机变量X的数学期望E X 1'23334'14 7714考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望 17. (本小题总分值13分)如图，在四棱柱ABCD -

15、 AB1GD1中，侧棱AA 底面 ABCD , AB AC, AB =1 ,AC = AA = 2, AD = CD = J5，且点m和N分别为BQ和DQ的中点.(I)求证：MN P平面ABCD ；1-，求线段A E3(II)求二面角D,-AC- B的正弦值;(III)设E为棱AB上的点，假设直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为的长【答案】(I)见解析;(II)迈；(III)07 2.【解析】试题分析：以A为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN的方向向量与平面 ABCD的法向量，两个向量的乘积等于 0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面umruuuu角的余弦值的大小

16、，再求正弦值即可；(III) 设AEAB，代入线面角公式计算可解出的值，即可求出 AE的长.试题解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, 2,0)，A(0,0,2), B1(0,1,2),C1 (2,0,2), D,(1, 2,2)，又因为 M,N 分别为 RC 和 D,D 的中点，得1M 1, ,1 ,N(1, 2,1).20 华禹衣議(北京、司I* iCiQ huaji onli n»ruuuu5(I) 证明：依题意，可得n (0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，MN 0,02uulu r由此可得

17、，MN n 0，又因为直线 MN 平面ABCD，所以MN /平面ABCD uurruurir(II) AD1(1, 2,2), AC (2,0,0)，设 n (x,y,z)为平面 AC 的法向量，那么Ir00zur设n2(x, y, z)为平面ACBj的一个法向量，那么uu uuLTn2 AB1 0uuiruu uuu ，又 ABi (0,1,2)，得 n2 AC 0y 2Z 0，不妨设 z 1，可得 (0, 2,1)2x 0.ur ur因此有cos n1, n2nin210，于是 sin s,nu10 23 1010所以二面角D1ACB1的正弦值为3 1010uuruuuu(III)依题意，

18、可设A1EA1B1，其中uuir0,1，那么 E(0, ,2)，从而 NE ( 1,2,1)，r又n (0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由得uu r cos NE,ntrrr-r-NEnuur rNE n1(1)2 (2)2 121，整理得 243又因为 0,1，解得 72，所以线段A1E的长为 72.考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.18. 本小题总分值 13 分 数列an满足an 2 qanq为实数，且 q 1，n 2,印 1& 2，且a?+直83+at,a4+a5成等差数列.I求q的值和an的通项公式;(II)

19、设 bnlog 2 a2na2n 1,n N ,求数列0的前n项和.【答案】I ann 122 ,n为奇数,n； (II)22, n为偶数.【解析】试题分析：(|)由(as + aq)-(a2+a3) = (a4+a5)-(as + aq)得 a4 a2 a5 a3先求出q，分n为奇数与偶数讨论即可；II求出数列bn的通项公式,用错位相减法求和即可试题解析:(|)由，有(&3+&4)-(&2+&3)=(创+&5)-(a3 +a4)，即 a4a?a5a3,所以a2q1) a3(q 1)，又因为 q 1，故 a3a2 2，由 a3a1q，得 q 2，当n 2

20、k1(nN*)时,k 1ana2k 12当 n 2k(n N*)时，a.na2k2k 22 ,n 1所以an的通项公式为an2 2 ,n为奇数,n22, n为偶数.版权所有：中华资源库 ziyuanku 二由:得氏=匕聖纽二召，设数列；或；的前料项和为碁那么 的用-1 2訊十XH+T两式相减得2所职数列;耳；的前并项和次4-籍/w时巴考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n项和公式3错位相减法.2 2X y19.(本小题总分值 14分)椭圆 一2+2 =1(a >b > 0)的左焦点为F (-c,0 )，离心率为a b，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2 +y2 =b截

21、得的线段的长为 C,4|FM|=(I) 求直线FM的斜率；(II) 求椭圆的方程；(III) 设动点P在椭圆上，假设直线 FP的斜率大于2，求直线OP( O为原点)的斜率的取值范围【答案】(II)1 ； (iii)【解析】试题分析：(I)由椭圆知识先求出a,b,c的关系，设直线直线FM的方程为y k(x c)，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k的值；(II)由设椭圆方程为2 2x y3c2 2c21，直线与椭圆方程联立，求出点M的坐标，由|FM可求出c，从而3可求椭圆方程.(III)设出直线FP : y t(x 1)，与椭圆方程联立，求得6 2x23(x1)22，求出x的范围，即可求直

22、线 OP的斜率的取值范围试题解析:2c(I)由有 2a3,又由 a2 b2 c2，可得 a2 3c2，b2 2c2，设直线FM的斜率为k(k0)，那么直线FM的方程为y k(x c)，由有2kck2 1，解得(II)由得椭圆方程为2x3c22y2c21,直线FM的方程为y k(x c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2 2cx5c2 0，解得3c或x c，因为点m在第一象限，可得m的坐标为2 3c,c3，由 |fm(cc)2433，解得01，所以椭圆方程为(iii)设点P的坐标为(x,y)，直线FP的斜率为y t(x 1) (x 1),与椭圆方程联立y2x3t(x 1)2y2，消去y，整理得

23、2x2 3t2 (x1)26，又由，得6 2x23(x 1)22，解得设直线OP的斜率为m，得m y，即xmx(x 0)，与椭圆方程联立，整理可得2 2x233当x, 1时，有y t(x 1)2因此m 0，于是m J2，得当x 1,0时，有y t(x 1)0，因此m 0,于是m f ；，得2 j3m ，3综上，直线OP的斜率的取值范围是，2 3 u 2,2 33 33考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3. 一元二次不等式.20.(本小题总分值14分)函数f(x) nx xn,x R，其中n N*,n 2.(I) 讨论f(x)的单调性；(II) 设曲线y=f(x)与x轴

24、正半轴的交点为 P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数 x，都有f (x) g(x)；a(III)假设关于x的方程f (x)=a(a为实数)有两个正实根 为，x2，求证：以2-为|<+21 - n【答案】(I)当n为奇数时，f(x)在(，1)，(1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增; 当n为偶数时，f (x)在(，1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减.(II)见解析；(III) 见解析.【齢斤】试题分析：心求异，分川为奇数与偶数讨论其卑数曲符旦及函数单调性即可；设占P苗举标決(阳0)，求出心的&构造函粽耳讨论歯数凤>)二/-戚力的 早

25、调性.可富尸旦玖阳)二0,艮呵证岀结论股立；(III)设g(_x) = a的根肯弓"，可证XjMz/r设抽ily =川兀)在庾蛊处的切錐P程为，舟(©,檢方程机羽的槻為叮，闻得忑；"i，由比可得可一可空时打=亠+叼，田而旳腳1枢可硏 1 一两试题解析：(I)由f(x) nx xn，可得，其中n N*且n 2，下面分两种情况讨论：(1 )当n为奇数时：令f (x)0,解得x 1或x 1，©半屋在疑(北京、独育卿肴碣蚤司 i|*i|in9 hui onlbnt Cc. Ltc当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表:X(,1)(1,1)(1,)f (X)f(x)Z1), (1,)上单调递减，在(1,1)内单调递增所以，f (x)在(2)当