整式的乘法和因式分解知识点汇总

1、WORD格式整理版整式乘除与因式分解一知识点（重点）1 .幕的运算性质：am an = am+ n （m、n 为正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加.22 3例：（2a） （ 3a ）m nmn2 .a = a（ m、n为正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘.例: （ a5）5,n n , n3. ab a b（n为正整数）（了 积的乘方等于各因式乘方的积.例:/2 3(a b)学习指练习:23ab ( 4b )(4) yz 2 y2 z 2一 2、3, “2、(5) (2x y) ( 4 xy )(3) 3ab 2a135222(6)a b 6a b c ( ac )3am a = am

2、- n （工,、都是正整数，且 > ）4.a 0 mnm n同底数幕相除，底数不变,指数相减./ 、 8 24 .a ( 3)( ab)5/、2(1) X - X*( ab)例：(2) a7552(4)( -a)-(-a)(5 )(-b) 一 (-b)5 零指数幕的概念：0a = 1（ a 工 0）任何一个不等于零的数的零指数幕都等于I.若 a b 0a, b例:（23 ）1成立，则满足什么条件?曰介一X、 导参考WORD格式整理版6 负指数幂的概念：1-p pa = a（az0, p是正整数）任何一个不等于零的数的- p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数.J1ipnpmm

3、也可表示为：n（m工0， n工0， p为正整数）7 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.24例：（1）2. 1238 单项式与多项式的乘法法则:单项式与多项式相乘， 用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.2 21例：(1) 2(52 3 2 )(2)(ab2ab)abab aba b32(3)2(-5) (232 )(4)223m nnm n2( xyzxy z)xyz9多项式与多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相

4、加.学习指导参考(1 x) (0.6 x)例：(1)(2 xy )( x y )(2)2(3)( 2m n)练习：3131 计算2x (- 2xy)( - xy)的结果是8 4 22. (3 x 10 ) x (- 4 x 10 )=WORD格式整理版2n3n 23若n为正整数，且3 x 9 = 3，则(3x )的值为nm 39154 如果(a b ab)= a b ，那么mn的值是5 a (2a a)=2 1 26. ( 4x + 6x 8) ( x )=22 7. 2n( 1 + 3mn )=8若 k(2k 5) + 2k(1 k) = 32，贝U k =29. ( 3x ) + (2x

5、3y)(2x 5y) 3y(4x 5y)=221310 .在(ax + bx 3)(x x + 8)的结果中不含 x 和x项，贝U a = , b =211.一个长方体的长为(a + 4)cm，宽为(a 3)cm，高为(a + 5)cm，则它的表面积 为，体积为。12 一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 ，若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了。10 .单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.4 23/、5 34/、/2、32、,43例：(1) 28x y 十 7x y (

6、2) -5a b c 十 15a b (3)(2x y)( -7xy )* 14x y11 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例：(1)2(3x y 6xy)6xy(2)32 23(5a b 10a b 15ab )( 5ab)练习：*11计算：(1)34 2 312 2 :7()2x 2y332y 2 ；772(3) 16 a2b 64 a b .(4),32 n4x yn22xy 3J学习指导参考(-) + J*-|(<(5) 4 1092 1032 计算:(1) 16x3 y3 1 x2 y32(2)232x y1

7、x2 y52(3)5 an 1b2213xy2213xy5221anb22 a nbn453 计算：(1) 4 x y 5 x y 46 y x 3 |x(2) 16 a b6 a1b 5a b3a b .卄3123则4.若（ax2n68my)(3xy)=4xy7a =,2m =易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误;有关多项式的乘法计算出现错误;误用同底数幂的除法法则；用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错; 乘除混合运算顺序出错。12 乘法公式:学习指导参考1if1f1 wC_aI0 Kt /k 1Ih iIIT炖 *H T JI FWORD格式整理版2 2 平方差公式：

8、（a + b）（ a b）= a b文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.2 2 2 完全平方公式：（a + b）= a + 2ab + b文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或 减去）这两个数的积的2倍.例 1 ：( 1) (7+6x)(7-6x);(2) (3y + x)(x-3y) ;(3) (-m + 2n)(-m-2n)2 2(3) (-2x+5)2例 2:(1) (x+6)(2) (y-5)2、6a 4b3343 212a b 8a b3 22a b3、9 y22 2 ); x 2x 35(x 7) (xxx025、若 9x中

9、二2mxy 16y是一个完全平方式，那么m的值是6、多项式322xx , x2x 1, x2 x 2的公因式是3 x4、已知x35 ，那么x13721xo7、因式分解：8278、因式分解：4m22mn149、计算：0.13180.0048102 2、xyx y(xy)0.002 8A，则 A =n2练习:、45323。x( x 3y 2) 22( X2y) 3( xy 2)=1aa =易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式学习指曰介一X、 导参考WORD格式整理版13 因式分解(难点)因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以

10、下几点：(1) 分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整 式，这三个要素缺一不可；(2) 因式分解必须是恒等变形；(3) 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1) 掌握提公因式法的概念；(2) 提公因式法的关键是找出公因式， 公因式的构成一般情况下有三部分： 系数一各项系数的最大公约数； 字母一一各项含有的相同字母；指数 相同字母的最低次数；(3 )提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是

11、提取公因式并确定 另一因式. 需注意的是， 提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项 数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4) 注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到"底"：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的 系数是正的.(1 )3 233 52 4例： 8a b 12ab c( 2) 75x y 35 x y2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用; 常用的公式：学习指曰介一X、 导参考平方差公式：2 .2 a b =(a + b)(a -b)2完全平方公式：a2 +2ab + b2 =(a+

12、 b)2- 222a 2ab + b =(a b)例：(1)222()2ab 0.25c29( a b)6(b a) 1(3)a x 4a x y 4x y4 ( x y) 12( x y) z 36z练习：21、 若x 2 2(m 3) x 16是完全平方式，则 m的值等于。22 rt r2、x x m ( x n)贝 U m =n =dn3、2x 3 y2与12x 6 y的公因式是4、若 x y = ( x y )( x y )( x y )，贝V m= , n=。iMip5、 在多项式 m2 n 2 , a 2 b2 , x4 4 y 2,4s2 9t 4中，可以用平方差公式分解因式的有

13、 ，其结果是 。26、若x 2( m 3) x 16是完全平方式，则 m=。7、x2()x2( x 2)( x )8已知rx x2* x2004 x 20050,则 x 2006 .-学习指导参考WORD格式整理版29、若16(a b) M 25是完全平方式 M=。10、x 2 6x2 2(x 3)， x9 (x 3)211、若 9x k2 y是完全平方式，则k=o212、若 x4x42的值为0，则3x12 x5的值是L 1 ip 1b 1 -13、若 x 2 ax1 15(x 1)( x 15)则Ia = o14、若 x y4, x2y26 则 xyo215、方程x 4x0，的解是o2易错点

14、：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误; 分解因式不彻底。曰介一X、 导参考学习指中考考点解读:整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容其考点主要涉及以下几个方面:考点1、幂的有关运算例1.（ 2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（）/八32一6/、/2、3一5（A ） aaa（B ）（a ）a8=422=24（C） aa2a（D ）（ab ） a b分析：幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算幂的运算是整式乘除运算的基础，准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则325解：根据同底数幂的乘法运算法则知a aa3 2 a ，所

15、以（A ）错；根据幂的乘Mfr方运算法则知（a 2 ） 3 a2 3a6，所以（b ）错；根据同底数幂的除法法则知8 2 6 一a aa8 2a ,所以（C）错；故选（D）.预2. （ 2009年齐齐哈尔）已知10m 2 ,10 n 3，则103m 2 n .分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则am anam n,将指数相加化为幂相乘的形式，再逆用幂的乘方的法则（am ）namn，将指数相乘转化为幂的乘方的形式，然后代入求值即可3m 2 n解：103m2 n10 10m(10 )3n 2(10)23 72.考点2、整式的乘法运算例3.（ 2009年贺州）计算:1

16、)分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算，注意符号的变化.1 3 1解：（2a） （ a 31） = （ 2a）42a) 1 =4考点3、乘法公式1 a4 2a .2例4. （2009 年山西省）计算：X 3分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项曰介一X、 导参考WORD格式整理版22 2解： x 3 x 1 x 2= x 6x 9 ( x 2x x 2)2 2 亠 二 =x 6x 9 x2x x 2 = 9x 7 .例5. (2009年宁夏)已知：a b 3 , ab 1，化简 (a 2)(b 2)的结果是.2分析

17、:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算，然后灵活变形，使其出现(a b )与ab，以便求值.Mil Mpt3 解：(a 2)( b 2)= ab 2a 2b 4 = ab 2( a b) 4 = 1 24 22考点4、利用整式运算求代数式的值例6 .( 2009年长沙)先化简，再求值：(a b)(a b) (a b) 2 2a2 ,其中1a 3, b .3分析:本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用.解: ( a b)(ab)M(a b)22a22 , 22, 2 ""2a ba2ab b2a2ab11当 a 3, b时，2ab2 3233.Ml

18、*考点5、整式的除法运算j SE 例 7. (2009 年厦门)计算：(2 x - y)(2x + y) + y(y - 6x) 一2x分析:本题的一道综合计算题，首先要先算中括号内的，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算.解：(2x - y)( 2x + y) + y(y - 6x) - 2x2 2 2=(4x y + y 6xy) 2x=(4x2 - 6xy) - 2x=2x 3y.考点6、定义新运算2 2例8. ( 2009年定西)在实数范围内定义运算“”，其法则为：aba b ,求方程(43) x 24的解.2 2分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式a b a b可知，在本题中“”定义的是平方差运算，即用“”前边的数的平方减去“ ”后边的数的平方.色0«-一学习指导参考4*WORD格式整理版解： a b a22 2b2 ， (4 3) x (4 232 ) xX2二 72 x224 .x225 .考点7、乘法公式例(3 1 ) (2009年白银市)当x 3、y1时，代数式(x y)(x2y) y的值是(2) (2009年十堰市)已知：a+b=3， ab=2，2 2求a +b的值.解析：问题(1)主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y +y