方型烤箱上平底锅最优设计摘要

1、数学建模组员：指导老师：方型烤箱上平底锅最优设计摘要众所周知在烹饪时矩形锅的热集中在四角导致食物被烤焦； 而在圆锅热烘烤 是，热量均匀分布在整个外边缘从而使食物不会被烤焦。 由于缺乏烤箱空间利用 效率，圆锅并不是最好的选择。 我们的任务是解决食物加热不均匀和容易边缘烤 焦这一难题， 提出了一种用于烘烤盘的优化设计。 我们要做的是得到平底锅的热 量分布与固定面积的烤箱中所能放的平底锅的最大数量和平底锅的形状之间的 关系，本文将通过建立相关模型，运用 Matlab 软件进行求解。问题一，为了说明在一个特定烤盘的热分布情况， 根据热传导规律对一个三 维对象的推导我们首先构造了在不同形状下的平底锅热分

2、布模型， 如方形、正六 边形、圆形等。其次，引入有限元法求解该二维传递模型的稳态解。 并利用 Matlab 提供的 PDEtool 工具得到二维热传递模型的数值解。 最后得到不同多边形烤盘温 度方差表，通过表格我们得到了可用边缘热分布的标准差来衡量烤盘热分布的均 价程度。问题二，我们分为三种情况讨论 :p=1,p=0,0p1,我们着重研究 0p1时的最 优解，在这里我们 运用遗 传算法对 正 多边形 进行排布， 然后分 别计算出 w/l 5/12,w/l 9/13,w/l 13/14时，在p=0.25,p=0.5,p=0.75,p=0.9时正四边形， 正六边形， 正八边形，圆对应的目标函数值。

3、 并依照数据画出单一变量对应的直 方图或折线图，最后得到相应的变化趋势，即动态最优解。问题三，以美食杂志社的身份写一页最符合前两题要求的平底锅的宣传广 告。通过描写平底锅的用途和圆角矩形型的平底锅的材料以及外形， 用简洁明了 的语言写出平底锅在加热和空间利用率方面比其他平底锅的优势。关键词： 热分布； 二维热传递； 遗传算法； 最优解32一 . 问题重述随着人民生活的日益富裕，大家对食物的追求也越来越多样。各种烤出来 的美食，比如烤煎饼，在一个方形的大烤箱上，可以放上多个平底锅。从我们的 生活常识中可知，如果平底锅是方形的，那在烤饼时，热量会集中在四个角上， 导致食物的四个角先被烤焦， 而同时

4、边上因受热不足却没熟透。 如果这些平底锅 是圆形的，则整个边沿受热都会均衡，烤的效果会很理想。但是，现行使用的大 部分的烤箱都是方形的，用圆形平底锅在烤箱内烤东西的话空间利用率会很低。 在深入考虑这些问题之前我们先做必要的约定：1. 烤箱是一个宽长之比值为 w 的方形烤箱；l2. 每个平底锅的面积都相同，记为 s ，也就是不管你选择什么形状的平底 锅，其面积都不能变；3. 左右两个底座架子水平地支撑着大型烤箱，烤箱面板的各处受热均匀。 在此基础上，我们将通过建立模型来求解以下问题：问题一：建立一个模型，分析不同形状的平底锅，例如圆形、方形或者圆跟 方之间其他的任意变形，烤东西时的热量分布情况。

5、问题二：在以下条件下，建立一个模型来选择最好的平底锅形状：条件 1. 能在烤箱上放最多的平底锅；条件 2. 使热量分布的均匀程度最大化；条件 3. 最好地结合条件 1 和条件 2，假设两条件分别占权重记为 p 和1 p ，请分析最优选择结果是如何随烤炉的宽长比 w 及权重 p l 的变化而变化的。问题三：以你的研究结果，以美食杂志社身份向广大民众宣传的角度，写1 页的宣传广告。需要突出你的设计和结果。二. 问题分析2.1 问题一的分析 本题研究的是不同形状的平底锅在加热食物时的热量分布， 要建立一个模型 来反映平底锅的热量分布情况， 首先我们要了解平底锅受热时与烤箱和外界空气 之间的热传递方式

6、。 在大部分温度可控的烤箱中， 由于箱内气体温度可保持恒定， 导致食物边缘烤焦的不均匀热源主要来自金属烤盘。 故本模型应着重分析烤盘的 热传递过程。接着我们可以通过热传导方程构造二维热传递模型来进一步分析平 底锅在不同外形下的热量分布。通过有限元分析法及 Matlab 软件来求得该模型 稳态解及数值解。2.2 问题二的分析本题想要选择一种平底锅的形状， 使其既能满足条件 1 所要求的在烤箱中尽 可能的利用空间， 也能满足条件 2 提出的热量分布均匀程度高， 面对这样的情况 我们需要对此问题进行最优化处理。 而对于此题的最优化问题， 我们可以运用遗 传算法进行排样优化， 寻找最优排样图。 条件

7、3要求的对于条件 1与 2的权重问 题，我们可以先建立一个关于此问题的目标函数， 在求得目标函数值最小时的同 时确定我们所需要的平底锅形状。2.3 问题三的分析此题要求以美食杂志社身份攥写一篇一页的宣传广告， 则我们在具体对平底 锅进行描写时就不能像往常写作一样用字过于生硬。 在写此篇文章时， 我们要以 宣传通过外形设计的平底锅的优点为主， 尽量要用轻松诙谐的语调让人看到此篇 文章便能抓住我们设计的平底锅的与众不同。三. 基本假设1. 假设烤箱的温度达到一定值时不再发生变化且导热性能良好。2. 假设平底锅材质均匀且导热性能良好，厚度适中。3. 假设外界环境的变化不会对结果有太大的影响。4. 烤

8、盘温度逐步增加到保持恒定的过程不是我们主要关注的问题之一，我们的模型只考虑烘烤温度达到并保持在一个稳定的水平。5. 锅的材料是均匀和出现物理学各向同性。四. 定义与符号说明符号说明k导热系数平底锅材质密度c比热容h热对流系数u x,y,z导热体温度uext外界温度qe平底锅各面法向热流密度S面积t时间Qd内热源n平面单位法向量p权重w /l烤箱长宽比Pi零件编码DF脏区标志t计数器N零件个数、平底锅数量面积剩余率i边缘温度标准差温度差异程度f目标函数值s平底锅面积五. 模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1问题一模型建立依据从我们的生活常识中可知， 如果平底锅是方形的， 那烤

9、食物时， 热量会集中 在四个角上， 导致食物的四个角先被烤焦， 而同时边上因受热不足却没熟透。 如 果这些平底锅是圆形的， 则整个边沿受热都会均衡， 烤的效果会很理想。 根据上 述现象，不同形状的平底锅的热量分布是不完全相同的。平底锅的热量主要由烤箱提供， 此题提供的烤箱是单层的， 所以外界的温度 对于平底锅的热量分布的影响不容忽视。 根据热力学的基本理论可知， 热传递的 方式有热传导， 热对流和热辐射。 考虑本题的具体情况， 此时的平底锅与烤箱之 间的热传导方式为热传导和热对流。具体考虑平底锅接受的热量传导方向时， 依据烤箱为单层， 此时平底锅的受 热面可以近似看成锅的底面。此时的平底锅热流

10、示意图如图 1 所示。平底锅是由导热性良好的铁制成，且锅厚为 2mm，则在烤箱中的平底锅各 个面接受的热流密度相同。 但实际上平底锅的不同部分的热量不一致的， 这主要 是由平底锅与空气之间的热对流以及平底锅金属材料之间的热传导造成的。已知热传导方程为c U U Qd .td这方程中各个量表示为： 表示平底锅的密度； c 表示平底锅的比热容；U 表示平底锅的温度； 表示平底锅的热传导系数； Qd 表示平底锅的内热源；222.222xyz对于平底锅，我们可以把它看成单层平壁的稳定热传导， 且假设其材质均匀， 导热系数视为常量 （或取平均温度下的导热系数 ），根据图 1 假设在平底锅底部 的温度只沿

11、着壁厚度方向变化，是一维热传导，等温面为垂直于 x 轴的平行面。在这些条件的基础上，我们可得导热量 Qd 为QA(T1 -T2 )T1 T2 T bR A其中 R b ； A为导热面积，即垂直于热流方向的表面积； b为平底锅的 A 厚度。 由此可得平底锅单位时 间和面积下的传导热量为 QT1 T2 ,既A b 1 2为了求解出不同形状的平底锅的热量分布情况， 我们将建立模型来反映平底 锅在受热稳定时这一情况。在此种情况下，可知此时的平底锅的热量变化率为U 0,t 。此时传热方程为 U Qd ，也可表示为UT1 T2 。tb 依据现实情况， 在烘烤食物时处于平底锅边缘的食物容易烤焦， 这很好的说

12、 明了平底锅的边缘温度要比内部温度高。 而引起这一现象的原因主要是平底锅在 烤箱上加温时， 不仅锅的底部会受热而且锅的侧面也同样具有温度。 在这种情形 中，锅的侧面也会向锅的底部边沿传导热量。 而具体在烧烤时， 食物的热量主要 从平底锅底部获得， 所以对于平底锅热量的分布可以近似简化为其底部热量的分 布情况。已知偏微分方程问题如果不是定义在全空间的话必然在一个区域上， 而区域 可以有各种形状此种边界条件称之为第二类边界条件。 对于此题的偏微分方程想 要研究其边界热量情况， 我们可以采用第二类边界条件来进行。 单位时间内通过 单位面积的热流量定义为热流密度，记为 q 。通过第二类边界条件可知，此

13、时平底锅底部边沿的热流密度 qe为qeU q x, y,z,tn5.1.2问题一模型具体建立过程 经过上述分析过程，我们可以把原先平底锅的热量关于时间和三维立体空间 的关系简化成热量关于时间和二维空间的关系模型。基于事实依据与相关知识可得， 不同形状的平底锅的热量分布情况的模型可 表示为：Text T qbUextq。qeq0。而平底锅各参数与边界条件如下表，以此为标准状态表 1 标准状态下各物理量参数值物理量参数值50/(W /(K m)b2100/ (W /(K m2)Text330/Kq0100/ (W / (s m)在模型求解的过程中，在保持看盘面积不变的情况下，我们将多边形的边数 n

14、 从 4 逐一增加，利用 Matlab 编程绘出各个多边形的，并求得各多边形 的顶点坐标，然后在 PDEtool 工具中绘出多边形。为了解决偏微分方程，我 们需要获得边界条件。每个形状的具有它自己的边界条件，我们可以得到了 各种不同的解决方案。这个解决方案，我们不需要得到解析解，与精确解， 而我们只是想找出相对每个形状的热分布。因此，我们可以利用 Matlab 的PDEtool 工具来通过与初始值的一些参数设置得到数值解， 并显示每一种形状 的温度分布，由上述已知数据可以利用 PDE 画出各种形状的平底锅热分布图， 如下图所示。（1）方形 PDE 求解图 2 方形平底锅热分布三维示意图图 3

15、方形平底锅热分布三维投影图图 4 方形平底锅边缘温度曲线图由图 3，4 可知，从中心到边缘观察，色彩变得越来越鲜艳，在四角显着深 红的颜色， 那么温度也是如此的显示， 也即由中心到边缘逐渐上升。 这样的结果 是准确阐述了在问题重述中所说的现象一致，即四边形的棱边和顶角的温度相 同，但四个顶角附近高温区域更大， 所以在烤箱内烘焙蛋糕时， 四角最容易烤焦， 而这个图的中心处温度较低。 因为该平底锅区域的热量来自五个方向， 而从底部 的热量均匀的平面的每一个网格， 而其他四个方向不同， 因而造成热量被集中在 四个角落。（2）六边形 PDE 求解图 5 六边形平底锅热分布三维示意图 图 6 六边形平底

16、锅热分布二维投影图 从图 5，6 可知，该形状的热分布也类似于方形的热分布，即温度也是由中 心到边缘逐渐上升（3）八边形 PDE 求解图 8 八边形平底锅热分布二维投影图图 7 八边形平底锅热分布三维示意图4）圆形形 PDE 求解图 9 圆形平底锅热分布三维示意图 图 10 圆形平底锅热分布二维投影图 从圆形的热分布图中可以看出，圆形的边缘温度分布比较均匀。 在保持面积不变的情况下， 我们依次做了从正四边形到正十二边形及圆的热 分布图，然后得到边缘温度曲线的变化规律，如图 11 所示。图 11 不同形状烤盘的边缘温度曲线图并计算了不同多边形烤盘的温度方差表，如下表 2 所示表2 不同多边形烤盘

17、温度方差表正多边形边数（m）整体温度方差（ w ）边缘温度方差（ m2 ）边缘温度标准 差（ m ）标幺值44.73812.29131.5137153.18230.69530.83420.551063.05340.34160.58450.386172.73420.17160.41420.273682.61590.09610.31000.204892.55830.07430.27260.1801102.50890.05350.23130.1528122.46550.02010.14180.0937（圆）2.29680.00000.00000从表 2 可以看出，随着多边形边数的增多， 整体温度方差

18、和边缘温度方差均 逐渐减小。同时，随着多边形边数增多，整体温度方差趋于一个恒定值，边缘温 度方差趋于 0。边缘形状决定了边缘分布，同时影响着整体热分布的平均程度。 边数越多，边缘越光滑，整体热分布越平均。因此，可用边缘热分布的标准差来 衡量烤盘热分布的均匀程度。然后利用表 2 得到数据拟合得到多边形标准差拟合曲线。我们利用 matlab 拟合工具箱对这些数据进行了拟合以后， 建立一条可以反映趋势的曲线， 可以发 现在这个曲线图中温度分布的标准差一边呈衰减形势一边随拟合曲线趋于稳定， 最后必能趋于均匀，拟合图如图 12 所示。图 12 多边形标准差拟合曲线由图中可知温度分布的均匀程度以圆形最佳，

19、 当边数较少时呈现一个衰减的 状态，本模型及结果很合理的解释了方形烤盘边缘受热不均匀的问题， 同时揭示 了烤盘形状由多边形向圆形逼近时，边缘热分布逐渐平均的变化规律。5.2 模型二的建立与求解5.2.1 模型的建立对于条件一， 烤箱内可以放置最多的平底锅可以看成一个最优布局问题。 为 了问题的解决， 我们采用基于并行遗传算法的矩形件排样优化模型， 利用遗传算 法对待排零件进行编码， 将矩形件正交排样问题转化为排列问题。 然后采用一种 新的解码排样算法基于最低水平线的改进算法， 将每一个体编码转化为排样 图，进行适应度评价，以驱动遗传进化，最终寻找出最优排样图。对于条件二， 若要实现热量分布的均

20、匀程度最大化， 就需要结合模型一中的 边缘温度标准差来衡量烤盘热量分布均匀程度的可行性。为了选择合适的平底 锅，我们对两个条件的权重 p和(1-p)进行综合分析，建立一个目标函数，在烤盘 宽长比 w /l 和权重p变化时，求得目标函数最小值同时确定平底锅的形状。结合题目要求和模型一可知， 热量分布的均匀程度随平底锅形状的变化而变 化。为优化平底锅，需要考虑平底锅的面积剩余率和温度差异程度。1. 面积剩余率NA面积剩余率： 1 NA ，其中：A表示平底锅的面积； N表示平底锅的数量； ss表示烤箱的面积。 越小，表示烤箱面积利用率越高。根据镶嵌原理， 矩形和正六边形可以实现平面的无间隙覆盖且不重

21、叠， 因此 可以使烤箱的面积利用率最大。对于其他正多变形，会在以后的讨论中分析。2. 烤箱温度差异程度烤盘温度差异程度：ni i ，其中： i 为第 i 种多边形的边缘温度标准N 0 i差； ni 为第 i 种形状烤盘的数量； 0 为正方形的边缘温度标准差，设定为基准 值。然后将方差标幺化，使之成为无量纲量。 越小，表示烤盘各部分温度差异 性越小，热量分布越均匀。根据模型一知，正多边形边缘的热量分布平均程度与其边数的平方成反比， 所以圆形烤盘的热均匀程度最高，矩形的热均匀程度最低。3. 目标函数目标函数为：NAni imin p (1 p) min R* p(1 ) (1 p) i i ，s0

22、 N其中， R为修正因子，在计算中我们取值为 1。基本约束条件为：s NA 0s.t. . ni N,ni Z下面根据不同条件进行优化。（ 1） p 1时，即将平底锅数量最大化 此时只考虑平底锅的数量，若要使平底锅数量最多，必须使用紧密排布，所 以使用矩形平底锅能满足要求。其最大数量为： Nmax s 。A（2）p 0 时，即使热量分布程度最均匀 此时只考虑热量分布均匀程度， 因此全部使用圆形平底锅可以使热量分布最 均匀，其数量 N N max s 。max A（3） 0 p 1时此时要综合考虑两个因素，所以使用权重 p 和（1 p）来衡量用户的偏向度 目标函数为：NAni imin p （1

23、 p） min p（1 ） （1 p） ， s0N约束条件为：s NA 0s.t. n4 n6 n8 n N,ni Z 。 i4, 6, 8 ,令烤箱面积恒定为 A 754.8372cm2 ，平底锅面积恒定为 s 30cm2 ，5.2.2 模型的求解1前提条件（1）烤箱的宽度 w一定，长度 l 理论上无限长，这里设置一个较高的常量 （ 2）矩形个数有限，设为 N。（3）排样满足BL原则，即每一个排入矩形件不得超出板材范围 （w l范围内）, 也不得与其他已排入矩形相干涉， 排入过程中尽量向下向左移动， 直至不能再移 动为止。2.遗传编码本文采用十进制编码方式，染色体长度与待排零件数 N相同，染

24、色体中每个 基因对应着一个零件编号。 把所有零件的编号按排放顺序排列成串， 即构成一条 染色体（一个体）： P P1，P2， ，PN ，相对应的表现为一种排样图。其中， P为 整数，有正负之分，且 1 pi N ，N表示零件的编号， P为负值时表示零件作 90 度旋转后再排放。 通过交叉和变异操作改变 P 的顺序和正负号， 就改变了零件的 排放顺序和排放方向，从而产生出不同的排样图。3.解码排样算法 运用基于“最左最下” BL 准则的改进后的最低水平线算法。引进脏区标志 DF（DF=0表示板材中未排人的区域， DF=1表示板材中已排入区域 ），提出如下基 于最低水平线的改进算法：Stepl：设

25、置初始板材脏区标志为 DF=0，并设置初始零件最高轮廓线和板材 最低水平线为板材底边。Step2：每当要排入一个零件 P 时，就对前面已排入的 i一1个零件按其在板 材中定位后矩形上边界的 Y 值从小到大排序，每个 Y 值对应一条水平线，这些水 平线与板材以及其中已排零件相交，得到一个脏区标志 DF=0的水平线段组集合 HLineSet，其中高度 Y相等的为一个水平线段组 HLine ，每组包含若干条水平线 段 Segmen，t 这些线段按左端点 值从小到大顺序存储在水平线段组中。 首先选取 最低水平线段组的第一条线段 （即最左边的一段 ），测试该线段的宽度是否大于或 等于要排入零件的宽度：（

26、1）如果该线段的宽度大于或等于要排人零件 P 的宽度，则将该零件在此位 置排放，设置该零件排放区域脏区标志 DF=1，更新零件最高轮廓线，并清空当 前水平线段组集合，准备排入下一个零件。（2）如果该线段的宽度小于要排人零件 P 的宽度，从零件 P 所在位置起向后 搜索合适排入的零件，即在 P P1，P2， ，PN 中搜索： 如果有零件 P 的宽度恰好等于该段水平线的宽度 W，则将零件 Pi插人到 P 之前排入，此时个体编码更新为 P P1，P2， ，Pj, Pi， ，Pj 1,Pj 1， ，PN ，设置 该零件排放区域脏区标志 DF=1，并更新零件最高轮廓线，清空当前水平线段组 集合； 如果没

27、有宽度相等的零件， 则在 P Pi 1， ，Pj, ，PN 中搜索到零件宽 度小于 的第一个零件 Pj ，将零件 Pj插入到 Pi之前并排人，设置该零件排放区域脏区标志 DF=1，更新个体编码和零件最高轮廓线，并清空当前水平线段组集合； 如果没有找到可以排人的零件， 则选择最低水平线段组中下一条线段进行 上述判断。 若最低水平线段组中所有线段均再找不到能够排入的零件， 则将最低 水平线段组提升为其在当前水平线段组集合中的下一个线段组， 再次进行上述判 断。重复Step3：直至能排入该零件。重复上述过程，直至所有零件排放完毕。4适应度函数适应度函数为：F P H P Aera h P * w 。

28、其中，H P H h(P) ， h(P)为排样高度， H为事先设定的板材高度值，其值应确保使 h( P)的值为正。 Aera 为可再利用余料的面积，是板材的宽度，h P *w 为排样高度以下矩形板材的面积。5基于遗传算法的求解过程步骤1：初始化种群设定遗传代数的计数器 t=0，对n个待排零件的序号进行数学的排列组合随机 产生 3m个编码个体，构成初始种群。步骤 2：解码评价适应度遗传算法经过对种群中个体进行选择， 交叉，变异操作后， 需要对新一代种 群进行适应度评价， 适应度值的计算就需要对染色体进行解码， 即将染色体串还 原为零件在板材上的排布图。 本文采用基于最低水平线的改进算法进行解码求

29、出 当前种群中每个染色体的适应度函数值，并将其按适应度函数值由大到小排序。步骤3：选择算子对3m个个体构成的初始种群 (此时 t=0)，根据个体适应度函数值由大到小排 序，选择排在前面的 m个个体构成第一代操作种群。同时记忆适应度函数值最大 的个体为精英个体并保存。 对于第t代种群的 m个个体，按适应度函数值大小， 进 行“轮盘赌”方式的比例选择 。然后进行精英保留：记忆当前代适应度值最大 和最小个体， 用上一代保存的精英个体替换当前代适应度值最小个体。 同时判断 当前代适应度最大个体是否优于上一代精英个体， 若是则改变精英个体为当前代 适应度值最大个体，否则不改变。步骤4：交叉算子对进行了选

30、择运算的当前种群中的 m个个体以概率 Pc随机的两两配对， 进行 交叉运算，产生 m个个体构成的子代种群。这里采用的交叉方法是单点交叉和双 点交叉两种。这里以随机数 0或者 1来决定采用哪种交叉方法。交叉后所产生的子个体与父个体一起接受适应度评价， 选择适应度值大 的两个个体替代原父代个体。步骤5：变异算子对进行了交叉操作后产生的 m个子代个体，本文先后进行两种变异。第一种 是旋转变异，以概率 Pm随机选取染色体中任意一个位置后，变异该位置零件 的旋转标志， 使零件旋转 90度。第二种是位置变异， 其包括位置互换变异和位置 倒序变异两种。 这里以随机数 0或者1来决定采用哪种位置变异方式。 以

31、较小的概 率Pm ，在 l到n范围内随机产生两个整数 1，2，对当前个体中位于 1，2的两个零 件对调即为位置互换变异，对当前个体中位于后 1， 2之间的零件顺序反向即为 位置倒序变异。步骤6：停止准则可以设定停止准则为最大繁殖代数 MAXGEN ，也可以设定为排样利用率达 到某一预定阀值 。本文设定两种停止准则来验证算法效果。 准则 1：最大进化代 数 MAXGEN 2000 时停止；准则 2 ：排样利用率 U 90 时停止。重复执行上述遗传操作 （选择，交叉，变异 ），直到最好解的适应度值达到设 定的要求或最大进化代数，则终止进化，输出最优个体及其对应的排样图。遗传算法流程如图 13所示。

32、图 13 遗传算法流程图5.2.3模型具体的求解数值 由于烤箱的宽长之比并没有固定的数值，所以接下来我们讲着重对烤箱款 宽长比为 w/l 5/12,w/l 9/13,w/l 13/14进行讨论，其中 f 为我们所求的目标 函数的最小值。（1）当w/l 9/13 时，s 22.86cm* 33.02cm 。此时目标函数值变化情况如 表 3 所示。表3 目标函数值变化情况表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772240.76160.52310.28470.1416w/l9/1363.3981200.34090.29560.25040.223282.4

33、962150.25460.30430.35410.38393.0902150.10100.20190.30290.3634（2）w/l5/12时，s17. 74cm * 42.56cm 。此时目标函数值变化情况如表4 所示。表4目标函数值变化情况表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772210.79140.58270.37410.2489w/l5/1263.3981140.40050.41490.42920.437982.4962140.26450.32420.38390.41973.0902120.13080.22180.33270.47083

34、） w/l 13/14 时，s 26.48cm* 28.51cm 。此时目标函数值变化情况如表 5 所示。表5 目标函数值变化情况表maNf(p=0.25)f(p=0.5)f(p=0.75)f(p=0.9)45.4772200.80130.60260.40380.2846w/l 13/14 63.3981160.34090.37510.36960.366382.4962160.24460.28450.32430.34823.0902160.09100.18210.27310.3277从表 3，表 4，和表 5 中我们可以看出，四边形的平底锅在空间节省率方面 效果最佳， 其他多边形的平底锅随着他

35、们边数的增加， 具体在烤箱内的摆放数量 先递减后趋于稳定。 当条件 1和条件 2的权重发生变化时， 不同的烤箱宽长比下 的 f 值不同，这表明好平底锅的形状时要看具体情况而定的。（4）单一变量下对应的目标函数值变化情况取 p=0.5 时，改变 w/l 的值后， 各正多边形的目标函数值的变化情况如图 14所示。图 14 目标函数值分布直方图取w/l=9/13时，改变 p值后，各正多边形目标函数值的变化情况如图 15所示图 15 目标函数值分布折线图由上边两个图可以看出，当长宽比 w / l不变时，权重 p的变化使最优解和排 布方式发生了变化；当权重 p不变时，长宽比 w /l 的变化使最优解和排

36、布方式也 发生了变化。对于家庭而言， 追求的是质量而不是数量， 所以应使热量分布均匀程度最大 化，因此建议采用圆形平底锅。 对于企业而言， 在产品数量最优化同时也要使热 量分布较为合适以至于不会过多的影响食品质量， 因此我们尽量寻求一个局部的 较优解。在已有数据中进行筛选，发现正八边形平底锅最为合适。5.3 问题三的广告设计基于第一问和第二问的模型，我们可以大致得出如图 16 所示的平底锅。图 16 圆角矩形平底锅平底锅的广告设计：平底锅是一种用来煎煮食物，低锅边并且向外倾斜的铁制平底煮食用器具。 现在厂商普遍改用比较轻的铝作为制造物料。 平底锅的作用有很多， 比如他适合 作为焙、烘、蒸、烤或

37、炒海鲜、肉类和家禽类佳肴，煮蔬菜或便于用手指取食的 健康小吃。 平底锅的使用方法简单， 只需短短几分钟， 就能烹调出各式各样的佳 肴。面对平底锅如此强大的功能， 本次介绍的平底锅在此基础上更上一层楼。 圆 角矩形平底锅是一种稀有品质与不朽传奇的化身， 它拥有谜一般的钢材配方， 是 一种极至生活品质与尽善尽美精神的经典象征。怀揣着卓越的创造精神和为追求尽善尽美的心理， 圆角矩形平底锅始终保持 着锅身与人体工程学的完美结合这一特性。 他将四个直角改为弧度的设计让人眼 前一亮，极具视觉的美感， 让人们在烹饪的同时体会到了圆角矩形平底锅带来的 快乐，给我们原本平淡的生活带来了一抹亮丽的色彩。现在很多人

38、都在为食物粘锅和烤焦而烦恼， 本来一盘好菜因为种种原因变得 缺失了美感， 更有甚者让人体的健康遭受到了威胁， 圆角矩形平底锅的出现为你 解决所有烦恼。 圆角矩形平底锅独特的圆弧角形状， 创意的剪裁设计， 符合平底 锅的不同几何形状的热量分布在一定条件下随着边数的增多和光滑度的增加， 平 底锅的整体热分布越平均。 在这一科学原理的理论支持下， 圆角矩形平底锅真正 做到了拒绝食物的粘锅与烤焦， 食物在圆角矩形平底锅的加热下保证均匀受热保 持其原有的风味。 圆角矩形平底锅比普通平底锅更完美的体型设计， 让大家吃得 安心吃得健康。跟亲朋好友聚会时， 去野外露营时， 在家给家人准备营养餐时， 你还在为平

39、 底锅的质量和如何节省烹饪时间而烦恼吗， 圆角矩形平底锅是你的不二选择。 圆 角矩形平底锅的独特体型符合了大部分烤箱的要求， 在一定表面积的烤箱上圆角 矩形平底锅的弧度角设计让其尽可能的增加了了烤箱的有限空间的利用率， 在有 限的范围内体现了他比其他形状的平底锅在放置数量上的优势， 做到了用心做好 锅寸寸皆有用的设计理念 , 给人们的生活带去了舒适与便捷。用圆角矩形平底锅，愉悦你的世界。爱生活，爱圆角矩形平底锅。全新的体验从这里开始，你还在等什么，圆角矩形平底锅，你值得拥有六 . 模型的稳定性分析对于问题一所给出的各种形状的平底锅的温度方差，这些数据都是基于平底 锅的材质是铁制的， 而现在市场

40、上有很多的平底锅都改为铝制的。 对于这一现象 的出现，我们可以看到原先在问题一中出现的 值将由原来的 50w/K.m 变为 250w/K.m。此时我们可以看到如表 6 所示。表6 不同形状铝锅的温度方差表正多边形边数整体温度方差边缘温度方差边缘标准差（m）( w )（ m2 ）（ m ）40.20360.09840.313760.13010.01400.1184从表 6 中我们不难看出，当平底锅的材料变化时他的温度方差也会跟着发生 变化。但同时我们也可以看到问题一所得出的随着多边形边数的增多， 整体温度 方差和边缘温度方差均逐渐减小，这一规律在平底锅的材料发生变化时仍然符 合。这表明我们的第一

41、问所建立的模型的误差是很小的，模型的稳定性很好。七. 模型评价与推广7.1 模型的优点模型 1：我们利用热传递理论，结合烤箱的恒温工作原理进行合理化假设， 在传导的基础上建立了含热对流因素的烤盘传热方程。通过简化并求解其稳态 解，得出了烤盘四角过热的原因以及变化规律， 由于同时考虑了热传导和热对流， 因而结果更具说服力。 除此之外， 模型中采用了有限元思想， 将难解的数学问题 用数值解法求解，求解程序编写思路简单，容易实现。模型2：运用遗传算法对正多边形进行排布，准确得到烤箱所能容纳平底锅 的最多数量。在建立目标函数时，利用修正因子 R对两个指标进行的修正，使得 两个指标随自变量的变化速度近似

42、相同，以方便加权优化。7.2 模型的缺点模型 1：在求解前，我们将三维传热模型简化为二维传热模型，求得的热分 布与实际结果存在些许误差。 采用有限元的思想， 所求的解的精度和划分的矩形 网格数有关， 但当网格数较多时， 计算的矩阵相应增大， 是计算机求解耗时增加 甚至无法求解，而这个矛盾又无法调和。模型 2：忽略了部分正奇数多边形，如正五边形，正七边形，正九边形。同 时也忽略了边数 m 10 的情况，因此优化结果局限在有限种图形的分析。此外， 由于长宽比 w/l和权重 p的动态变化的额，所以不能确定哪种平底锅最合适。参考文献1 隗平平，刘斌 .基于并行遗传算法的矩形件排样优化 . 2011,3

43、:78-82.2 李大潜.数学建模及其应用 . 2013,2:62-71.3 熊静，张薇 . Matlab PDE-tool在热传导问题中的应用 . 2009,4:42-44.4 J.Kidawa-Kukla:Temperature distribution in a rectangular plate heated by amoving heat source, International Journal of Heat and Mass Transfer. 51:865-872.附录Matlab 编程产生正多边形图：clear;clc;n=4; %边数theta=pi/n;a=sqrt(1

44、/n*tan(theta); r=a/sin(theta);A=zeros(2,n);theta1=theta;for t=1:nA(1,t)=r*cos(theta1);A(2,t)=r*sin(theta1);theta1=theta1+2*theta;endA(1,:)=A(1,:)-A(1,1);A(2,:)=A(2,:)-A(2,1); plot(A(1,:),A(2,:)PDEtool产生方形图程序：function pdemodel pde_fig,ax=pdeinit;pdetool( appl_cb ,9);set(ax, DataAspectRatio,1 2.0999999999999996 1);set(ax, PlotBoxAspectRatio,1 0.666666666666666