建筑力学5弯曲内力学习

1、第四章弯曲内力一、教学目标和教学内容1、教学目标掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念;熟练掌握用截面法求弯曲内力;熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图;利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图;掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。2、教学内容平面弯曲等基本概念;截面法及简便方法求弯曲内力;剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图;用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图;叠加法绘制剪力图和弯矩图。二、重点难点1、平面弯曲的概念;2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则;3、剪力图和弯矩图;4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系;5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。三、教学方

2、式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。四、建议学时7学时 五、实施学时 六、讲课提纲1、平面弯曲的概念及梁的种类平面弯曲的概念简单回顾轴向拉、压:图6-1受力：Fp作用在横截面上，作用线与杆轴线重合。变形；沿轴线方向的伸长或缩短。&Fp剪切:3图6-2受力：Fp作用在杆的两侧面上，作用线丄轴线。变形：两相邻截面（力作用部位，二力之间）发生相对错动。扭转:T(C图6-3受力：T作用在垂直于杆轴的平面内（横截面内）。变形：相邻截面发生相对转动。弯曲：讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围; 杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）图6-4 载荷作用在对称平面内在此前提下，可讨

3、论杆件弯曲的受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内:3-X 1图6-5变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。何谓梁?凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁的种类:简支梁FpFa.pAy图6-6悬臂梁23A同定端图6-7外伸梁u V IF If VA外巾图6-8多跨静定梁Fp附幅梁图6-9超静定梁Fp2、梁的内力及其求法 梁的内力一剪力与弯矩 确定约束反力U1U1aL图 6-11 内力分析 用截面法沿m-m截面截开（任取一段）与斤和八组成的丿丿偶T：衡F.图 6-12按平衡的概念标上Fq,M。Fq-与横截面相切一剪力M 内力

4、偶矩一弯矩 内力值的确定用静力平衡条件:送Fy=0Fa-Fq =0 得 Fq =Fa2m=0Fa £ -M =0 得 M = Fa（O-截面形心）剪力、弯矩的正、负号规定:剪力：当截面上的Fq使该截面邻近微段有做顺时针转动趋势时为正，反之为负。Fqn1-rfv1(+ )FqFqL1图 6-13弯矩：当截面上的弯矩使该截面的邻近微段下部受拉，上部受压为正（即凹向上时为正），反之为负。求指定截面上的剪力和弯矩111Fp=3KN<7=lKNinH V H 扭 II U HTTySr G2111z/ ?2mF.2111图 6-15求图示梁截面A、C的内力: 解：求反力:Fa =5kN，

5、 Fb =4kN校核：S Fy =0 Fp+ qX6-FA-FB =03+ 1X6-5-4 =0 （无误）求指定截面上的内力:截面A左（不截到Fa）：送 Fy=0 Fp+ FqA左=0Fqa 左一Fp = 3kNz2in/F如/（使该段有逆时针转动的趋势）EMo =0FpX2+MA 左=0图 6-16Ma左=3 2 = 6kN -m（上拉下压）截面A右（截到Fa ）：MKN一 Fp 一 Fqa左中 Fa = 0FQA左=5-3 = 2kN2ni几=5KN图 6-17M A右=32 =-6kN m截面C左（不截到Mi）:送 Fy =0Fa-F p q%2 Fqc 左=0ZM 0=0Fp x4 F

6、Ax2+qx2x1+Mc左=0图 6-182Fy =0Me 左=3x4 + 5x2-1x2x1=-4kN ”m截面C右（截到Mi）:；Ur=2RN- niFp=3KN = lKKlnFa Fp qx2 F qc 右=0F QC右2mF.-5 KN2111SMo =0FpX4-FAX2 + qx2x1 + M1 + Mc 右=0Mc右=-3X4+5X2-1X2X1-2图 6-19小结基本规律求指定截面上的内力时,既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段 进行分析。Fq、在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（Fq、M）假设为正号。最

7、后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的 内力方向改过来）。 梁内任一截面上的剪力 Fq的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有向 上的外力会使该截面上产生正号的剪力， 而所有向下的外力会使该截面上产 生负号的剪力。 梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边(或右边)所有外力(包括力偶)对于这个截面形心的力矩的代数和。若考虑左段为脱离体时,在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯

8、矩，而所有向下的力会使 该截面上产生负号的弯矩。另外，若考虑左段梁为脱离体时，在此段梁上所有顺时针转向的外力偶 会使该截面上产生正号的弯矩，而所有逆时针转向的外力偶会使该截面上产 生负号的弯矩。3、剪力图和弯矩图为了知道Fq、M沿梁轴线的变化规律，只知道指定截面上的Fq、M是不够的，并能找到FQmax、Mmax的值及其所在截面，以便对梁进行强度，刚度 计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。剪力方程和弯矩方程梁内各截面上的若用沿梁轴线的坐标Fq、M 一般随横截面的位置不同而变化，横截面位置X来表示，则梁内各横截面上的 Fq、M都可以表示为坐标x的函数，即Fq = Fq(X)剪力方程M = M(X)

9、弯矩方程在建立 Fq (X)、M(x)时，坐标原点一般设在梁的左端。剪力图和弯矩图根据Fq(x)、M(x)，我们可方便地将Fq、M沿梁轴线的变化情况形象地 表现出来，其方法是横坐标X-横截面位置纵坐标Fq或M -按比例表示梁的内力+ Fq、+ M画在横坐标的上边-Fq、 M画在横坐标的下边剪力图、弯矩图的特点：(举例说明)例题6-1 :(a)(b)(c)XFpbFfHFpdb(e)图 6-20解：求约束反力整体平衡，求出约束反力:注意;约束反力的校核分段列Fq(x)、M(x)定坐标原点及正向原点：一般设在梁的左端;正向：自左向右为正向。定方程区间即找出分段点;分段的原则：载荷有突变之处即为分段

10、点。定内力正负号截面上总设正号的剪力、弯矩。三定后即可建立Fq(x)、M (x)列 Fq(Xi)、M(Xi):AC段：（根据图b列方程）FpbFq(X1)= Fa = l(Ovxiva)FpbM (xJ =Fa "Xr =X1CB段：（图c）FpbFq%) = Fa -Fp = -Fp(a<X2<l)M(X2) = Fa 伙2 Fp(X2 -a)Fpb=咲2 -FP(X2 -a)(a* <l)绘Fq、M图据式、作Fq图，如图(d)所示。据式、作M图，如图所示。确定FQmax、M max据Fq图可见,当a>b时，FqFpamaxl据M图可见,c截面处有,Fpab

11、maxl右 a=b=l/2,则 M max =Fpl特点之一:在集中力作用处，Fq图有突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力的大小；竿+Fpa线斜率有突然变化）= F（a+b）=Fp;图有一转折点，形成尖角。（M图的切例题6-2hfoAc777bzz/B图 6-21AC段:Fq(Xi) =FaMol(ovxi wa)M(Xi) =FaXiMo(0 Wxi<a)CB段:27Fq(X2)= Fa =¥(aW2<l)(a<x2)M(X2) = F A 吠2 - M o 牛 X2Mo若a>b,则集中力偶左侧截面上有最大弯矩Moamax 特点之二:在集中力偶作用下，弯

12、矩图发生突变（不连续），突变的绝对值等于该集中力偶矩的大小；罕+-Mob=Mo ；但剪力图没有突变。（Fq图连续,并不改变斜率）。例题6-3AB吐(Fq)图 6-22qlFq(x) =Fa -qx = -qx2qx2 qlx(Ovxvl)M(X)= Fa ”X 22qx(0 $书由Fq、M图可见:支座处:Fq=0 处:Fqmaxql2ql2max 8特点之三:从例题8-1 （集中力）、例题8-2 （集中力偶）、例题8-3 （均布荷载） 可以看到：在梁端的铰支座上，剪力等于该支座的约束反力。如果在端点铰 支座上没有集中力偶的作用，则铰支座处的弯矩等于零。例题6-441CM)Fq(x) = -qx

13、2qxM (x)=-2在固定端处:Fqmax=qiql2max 2图 6-23特点之四:在梁的外伸自由端点处，如果没有集中力偶的作用,则端点处的弯矩等于零；如果没有集中力的作用，贝剧力等于零。特点之五:在固定端处，剪力和弯矩分别等于该支座处的支座反力和约束力偶矩。特点之六:最大剪力、最大弯矩及其位置。最大剪力发生位置：梁的支座处及集中力作用处有FQmax，例题6-3及6-4最大弯矩一般发生在下列部位;集中力作用的截面处例题6-1集中力偶作用的截面处例题6-2Fq=O处，M有极值 例题6-3悬臂梁的固定端处 例题6-4 （外伸梁的支座处往往也有Mmax）例题6-510KNrrjTTTjFq )（

14、肌）Fb=7.5KN2mZ Im/ 1.5m1 5in/ /图 6-24特点之七:在梁的中间铰上如果没有集中力偶作用，则中间铰处弯矩必等于零，而剪力图在此截面处不发生突变。1 F Q )Ff ¥例题6-6 再分析例题6-1 ;集中作用在1/2处/Z"2/C图 6-26再分析例题6-3 :简支梁承受均布载荷JLJLjfjLJLJLJL * t E7777(M)特点之八:对称结构、对称载荷，Fq图反对称，M图对称，据此特点，下面这道 题即可方便作出Fq、M图（只要列出一半的剪力、弯矩方程即可作图）lOKNiOKN(Fq)(M)图 6-25q(x) 10 q(x) =5x(Ovx

15、vl)1AC 段：Fq(x) =Fa X =10-2.5x22(0 *2)1 x5 3M(X)= Fa 咲一一(5x) ”x =10x - - X32 3根据特点之八，可画出整个梁的 Fq、M图例题6-7T7F占3ZC(ZaCt/CT F E=+)33(+ )-)1F.(M)特点之九:对称结构，反对称载荷，Fq图对称，M图反对称。特点之十:梁中正、负弯矩的分界点称为反弯点，反弯点处M=0，构件设计中确定反弯点的位置具有实际意义。4、q(x)、Fq(x)、M(x)之间的微分和积分关系。留心例题6-1到例题6-4 ;特别是例题6-3、例题6-4，可以发现:警Jfq(x),dxdFQ(x)dx= q

16、(x)。是否普遍存在着这样的关系?图 6-27q(x)、Fq(x)、M (x)之间的微分关系。取dx 一段讨论，任设Fq(x)、M (x)均为正值。22：Fy =0 Fq(x) +q(x)dxFq(x) +dFQ(x) =0譽 q(x)dx式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力Fq(x)对x的一阶导数dFQ(x)dx，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度q(x)。式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度q(x)，就是剪力图上相关点处的斜率。SMo =0dx-M（X）-FQ（x）dx -q（x）dx + M （x） +dM （x） =0 2略去高阶微量dM（x）=FQ（x）dxdx式的物理意义：梁

17、上任一横截面上的弯矩M(x)对X的一阶导数dM(X) 等于该截面上的剪力Fq(x)。式的几何意义：任一横截面处的剪力Fq(x)，就是弯矩图上相关点处的 斜率。对式的两边求导，则dx2dx式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩M (x)对X的二阶导数2d2M（X）dx2，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度q( X)数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此:式的几何意义：可以根据 M(x)对X的二阶导数的正、负来定出M(x)图的凹向。根据q(x)、Fq(x)、M (x)之间的微分关系所得出的一些规律:若q（x） =0dx-dFQ(X)=q(x)=0，即 Fq(x)=常数Fq图为一水平直线；又v

18、dM.FQ（x） =常数，即M图的斜率为一常数 dx M图为一斜直线。并且 当FqA0时，M图为上升的斜直线（/）;当FqS时，M图为下降的斜直线（）.若q（x） Yo （即分布荷载向下）叱= qV0dxFq图为一下降的斜直线（）又¥*0dx M图下降。2再.d M2（x） =q Yodx M图为一凹向下的曲线（门）若q（x） A 0 （即分布荷载向上）¥=q>0dxFq图为一上升的斜直线（/）又 vdM=F0dx M图上增。再叫=q>0dx M图为一凹向上的曲线（U）若 如勺=Fq（x）=0 （即悬臂梁、外伸梁在自由端作用集中力偶M,而dx梁上又无q、Fp作用)则M图的斜率为零，M图为一水平直线。若-Fq-o, M图在该处的斜率为零时， dx则在此截面上M为一极值。令址 dM(X)LL十dM(x) LL若'=+F Q TFQ或=F Q T+Fqdxdx(即分段列内力方程的分段点，Fq变号)则M在该处必有极值。当十FqT -Fq时，M有极大值;当-FqT +Fq时，M有极小值。q(x)、Fq(x)、M (x)之间的积分关系.dM(x)-一 = q(x)dxFq(x) = Jq(x)dx若梁上任有两点：a和b,则Fq =FQa -FQb = gqgdx几何意义；任何两截面(b，a)上的剪力之差，等于此两截面间梁段上的荷载图的面积；T7