导数的综合大题与其分类

1、导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点要有利用导数研究函数的单调性、 极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等.体现番赞论、数 形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的S.题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的蒯点是凝论.(1) 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能定导数等于零 的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系逛m仑(2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基

2、础，根据函数的单调性确定函数的极值点.(3) 最值讨论策略：图彖连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值迸統为赫彌在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值.已知函数 f(X)=x , g(x) = alnx(aR).(1)当a鼻一2时，求F(x) = f(X) g(x)的单调区间;(J1啟X)= f(X)+g(x),且h(x)有两个极值点为Xi, X"其中X1G0,'，求h(xi) h(x2)的最小2值.审题程肋;第一步：在定义域内，依据F' (x) = 0根的情况对F'(X)的符号讨论;第二步：整合讨论结果，确

3、定单调区间;第三步：建立X】、左及a间的关系及取值范围 第四步：通过代换转化为关于xM或xj的函数，求出最小值.I规范解省H)由题意碍X)=xalnx,"ax+ lx其定义域为(0, +oo),则(x) =2,X令 m(x) =x2 ax+1,则=a" 4.当一2WaW2时，AWO,从而F' (x)NO, F(x)的单调删可从0, +-)；2 一 44 aaa+a当a2时，$0,股（X）= 0的两根为xl =22WOIRD格式x2=,专业资料整理,+8,7 2 - 4,2 一 4a F(x)的单调翅0轨/2zkFaaa+aF(x)的单调翅図221(2)时 X)= X

4、 alnx,Xxe (0, +8)"+ ax+1求导得，h' (x)=£卞lax2 + = 2,XXX破(x)=Q的两根弁别1,应，则£ Xi X2 17 jl + x2 = a,£-而有a=!xi_1X1令 H(x)=h£o 1；11 f=x1_X11=2 X xlns 1XX In(x) = 2：-nnx =X当 xGO,xlnx-xI X21 xl+ xlnx z时，H' (xXO,r、二 H(x)在 0,rrprrprrprrprrprrprrp 戸戸戸戸戸戸戸 rrprrprrprrprrprrprrp 戸戸戸戸戸戸戸

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23、又 H (xi) = h (xi) h=h(xi) h(x2),Xih(xi) h(X2)Lin= H1= 51n2-32解题反思本例(1)中求F(x)的单调区间，需先求出F(x)的定义域，同时在解不等式F' (x)>0时需根据方程Xax+l = 0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“的取值作为分类讨 论的依据.在中求出h(xj h(xj的最小值，需先求出其解析式.由题可知XI,比是h' (x) = 0的两根，可得到X|X2=1, Xi+x2=-a,从而将h(Xi)-h(X2)只用一个变量X1导出.从而得到H(xJzl=h(xi) h这样将所求问题转化为研究新函数H(

24、x) =h(x) 一 hX1；上的最值问题，体现转为与化归数学思想.答题模板解决这类问题的答题模板如下:求定义域求出函数的定义域.求导数准确求出函数的导数.根据参数的取值范围结合极值点与讨论单调性给定区间的位置对导函数的符号进行分类讨论，确定函数的单调性.讨论极值最值根据函数的单调性确定极值、最值的取得情况.整合结论根据分类讨论的结果对结论进行整合做到不重不漏.题型专练21n(l +X). 1.设函数 f(X)= (1 + x) (1)求f(x)的单调区间'-ax- 1在区00,3上的最小值.(2)当0放2时，求函数g(x)=f(x)X解(l)f(x)的定义域(一1, +8).T f(

25、X)= (l + x)2 21n(l + x), xE (丄，+8),2f' (X)=2 (1 + x) = 1+x2xx+ 2x+ 1.由 f' (X)>0,得 x>0；由 f' (X)0,得一l<x0函数f(x)的单调翅区闻(0, +8),单调翅区闻(一1,0)由题意可飙X)= (2 a)x21n( + x) (x> 1),2 axa则(X)= 2a1 + x.V 0<a<2, A2-a>0,令 g' (X)= 0,得 x =2a二函数g(x)在0,上为减函数，+8上为增函数.2-a za3当0«3, B|

26、 0<a<时，在区00,3上,22-ag(x)在 0,a上为减函数，在2-aa,3-t为增函数,2-aa 2g(X)min g=a 121n.2-a2-a_ a3当N3,即 <a<2时，g(x)在区00,3上为减函数,2一 a2g(x)n.in = g(3) =63a21n4.32综上所述，当oa时，g(x),in=a21n2-a2当 <a<2 时，g(x) min= 6 3a 21n4.2北京卷（19）（本小题分）已知函数f （ X）二eVosx-x.（I ）求曲线y二f（X）在点（0,匚（0）处的切线方程（II）求函数f（X）在区00,JI00()2值严

27、最大值和最小(19)(共 13 分)=XX _轍 <i)(X)ecosxx ,所以f(X)e(cosxsinx) bf (0)0.又因创0）1,所反曲线yf（xT在点（07f （0）处的切线方福yl.XXX(|金(X)e (cosxsinx) 1, b(x) e(cosxsinxsinxcosx) 2esinxJIx(0,)时，h(x)0, 2所以h（x）在区简0,2即 f（X）0.兀所以对任意0,有h(x)上(0)0,2_JI上单调递减所以函数f（x）在区间0,2JI因此f（x）在区间LO,J2JI JI fO. 22上的最大值対0）1,最小值为21. (12 分)已知函数3f(x)a

28、xaxxln.K(x)0.（1）求 a；)Nef (x)2.（2）（i就臥f（x）存在唯一的械大）值点 0且（21.解:（1）fx的定/獄0,+ =ax-a-lnx,则二xgx, fxO 等价于 gxO1因为gl二0, gxO,故 g' 1=0,而 g' xa, g' 1二&1，得 al若 a二1,则X二11当OVxVl时，g*O侔单调递减当x>l时,WOIRD格式g x>0, gx单调递t斷以X二1是gx的极小值点，故专业资料整理综上，a二12111/ Q.221n (2)由(1知 _fxxxxxfxxx当 xO, H札 h',V0；当&q

29、uot;又heU"所以h划>0, <0, 10()爹(8畀严1 一（L（X, +臥FxO,所以hx柱（）（0，；*唯一零点xO,在）（0身丿单调递减，在弋£丿单调递增匕+丿有唯一零点1,且当xOxW，8丄>0；餾丄0, 1时，Whx<0,|ix>0.因为xhx,所以X二xO是f（X）的唯一极I 1 =由f里附辱胛），严f迁（1X）由X得00, 1（-）工因为X二Xo是f（x）在（0,1）的最大值点，由 10, 1,' 10（）（药 e；50>题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点 题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点

30、的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画岀函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分 析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.典例2已知函数f(x)= (x + a)e其中e是自然对数的底数，aeR.(1)求函数f(x)的单调BI2的零点个数，并说明理由.(2)当时，试确定函数g(x)=f(X &)X 审题程脐 第一步：利用导数求函数的单调0 第二步：简化g(x) = O,构造新函数;第三步：求新函数的单调性及債 第四步：确定结果. XGR,规范解錄1)因为f(x) = (x + a)e所以 £

31、(X)= (x+a+ l)e故 f(X)的单调逋SS-g, a 1)、单调b +8(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点.理由如下: 由 g(x) =f(Xa)X2=0,得方程显然x= 0为此方程的一个实数解, 所以x=0是函数g(x)的一个零点.X- = X. 当xHO时，方程可化简为e设函数F(x) = e+11a.L(X)的变化情况如X当X变化时，F(x)和令 F' (x)=0,得 XxJ X,则(x) = e8 , a) a (a, +8)F' (x)-0 +F(x)即F（x）的单调m. +8）,单调還卧8所以 F(x)的最小值 F(x)min=F(a) = 1 &a

32、mp; 因进 1,所以 F (x)rain=F (d) = 1 30, 所以对于任孫R, F(x)>0, xJ = x无实数解 因此方程e 所以当xHO时，函数g(x)不存在零点.综上，函数g(x)有且仅有一个零点.典例3 21. (12 分) 已知函数 f(x)axaxxlnx,Kf(x)O.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点<ef (x)2OC21.解：()(l)(f尊的定义域0,+逖二ax-f-nx,理二X岸J fxO 等您 ygxO 因划=0, gxO,故 g* 1=0,而 g' xal, g' l=al,得 al右?则(gjx 二11 .

33、当 0<x V 1 时，g' xVO, gx 单调递减当 x> 1 R'Xgxgl二0综上，a二1fxxx*xf)C5K21n,' ()221n (2)由(1)知hx2x2nx,i!'J (x)2当 xC(时)h" xVi当又所以hx祖8>0, <0, 102"亠 ()V X丿X, +时，lfx)>o(所 j hx 在hxVO,当 xl, + 时，hx>0扌，g x>0, gx单调递t斷以X二1是gx的极小值点，故0C单调递减在气;有唯一零点烁在+fr有唯一零点且当xO, X 时，XXo, 1hx&g

34、t;0；冷时，因的xhx,所以X二xO是f（X）的唯一极大值点 由f' x°爲扌脇仗D，故fxXlx）(5由制)F)因为X二Xo是f(x)在(0,1)的最大值点，由12fxfee(°亍()=-所以/一/eVfx%)解题反思在本例(1)中求f(x)的单调区间的关键是准确求出f'去，从而产生丢解情况.研究et=x的解转化为研究函数F(x) = eJ 从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握.答题模板解决这类问题的答题模板如下:(X),注意到e%即可.(2)中由g(x) = 0得xe- = x解此方程易将X约-X的最值，从而确定F(x)零点，这种通过构造

35、函数、研究函数的最值把函数的零点、方程的根、两函数图象的I«交点问题相互转化.I等价转化-构造函数V解决问题-构造新的函数解决函数零点、方程根、两i«« 函数图象交点问题.1利用导数研究新函数的单调性、极值和最Ia4 值等性质，有时可画出函数图象.I得出结论一利用极值和最值，结合图象得出结果.题型专练3+bx2+(C一3a12b)x+ d的图象如图所不.2. (2017 -浙江金华期中)已知函数f(x)=ax求C, d的值；_求函数f(x)的解析式;(2) 若函数f(X)在x=2处的切线方程为3x+y- 11=01(3) 在(2)的条件下，函数y =f(x)与y

36、=3f' (x) + 5x+m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.2+ 2bx+c 3a2b.解函数f（X）的导函数为f' （X）= Saxd= 3,(1)由图可知函数f(x)的图彖过点(0, 3),且f' (1) = 0,d = 3.得 <3+2+7-2=。，解叫“32由(1)得，f(X)=ax+bx (3a + 2b)x+ 3, 所以 f' (X)= 3ax" + 2bx-(3a+2b).由甲輕f(x)在x=2处的切线方程为3x+y-ll=0,f，2=_3,8a+4b-6a-4b + 3 = 5,所以12a+ 4b 3a 2b = 3,I

37、 a It 解得Ib=6,3所以 f(X)=x6x+ 9x+ 3.3-6r + 9x+3,所以 f' (x)=3x-12x+9.由知f(x) = x 函数y=f(X)与y= Jf,(X)+5x+m的图象有三个不同的交点,g" (X)+0 0 +极小值等价于X3 6x+ 9x+ 3=(X" 4x+3) + 5x+m 有二个不筹实根,价于 g(x) =X 7x"+8x-m的*1象与渤有三个1E占一J 八、0 E )1 为 g W 3x 14X+ 8 (3x2)(X 4),222Z、X 8,333, 44(4, +oo)68 Iu27当且仅当一血 g(4) =

38、16 m,268=2768时，g(x)图彖与X轴有三个交点，解得一16水所以m的取值范围为一 16,276827.m>0,g4= 16m<0oC +oO21. (12 分)已知函数f) ae"'+(a - 2)e''+(a - 2)e X.WOIRD格式(1)讨论f(X)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.21解：(1) f(x)的定义域为(,),ZXXXXf(X)2ae(a2)el (ael) (2el),专业资料整理（十字相乘法）(i )若aO则f(X)(/,所拟f(X)在(,)单调递球-He+oC(ii )若aO>则由

39、f(X)a得 当X&1佔陥f(x)O；当攵(1皿,)时，f (月0”所以雄X)在(,血)单调递减，在(Ini)单调递增(2) (若300由(1)知，f(x)至多有一个零点.(ii )若sOa由(1)知，当xlna Ht-f(x)取得最小值，最小值为1(观察特殊1)f (Tna) llro _一 +a当alW，由于f(lna)O,故Hx)只有一个零点;_丄+ llnaO a,丄 +<当 a(0, 1)时，iinaOa当花,)廿由于>,即f(rFia)O,潑f(x)没有零点;,即 f (Ina)O. <V -=卫一-+>-+>X f (2)ae(a2)e22e

40、20 ,故 f(x)在(,Ina)有一个零点.3nilnnnn设正整数 n 满足 >inG)_ ，人 f(nWaeoa2)neoffeon.0 r "_ 2由于ln(31TW,因此f(x)在(1晌)有-个零点.aoc综上.a 的取值围他，1)题型a用导数证明不等式题型概览证明f(x)<g(x), X e (a, b),可以直接构造函数F(x)=f(x) g(x),如果F' (x)<0,则F(x)在(a, b)上是减函数, 同时若Fg)W0,由减函数的定义可知，xe (a, b)时，有F (xXO,即证明ffTx)<g(x).有时需对不等式等价变形后间接

41、构造.若 上述方法通过导数不便论F'(X)的符号，可考虑分别窥f(x)、g(x)的单调性与最值情况，有时需对不等式衢轮典例3X（2017 -陕西西安三紀知函数f （x） =求曲线y = f（X）在点P2,丿处的切线方程;eX.(2)证明 J f(X)>2(X Inx) 审题程眇第一步：求f'（X）,写出在点P处的切线方程;第二步：直接构造g（X）= f（X） 2（Xnx）,利用导数证明gQnmin/ V 程为X e 规范解錄rn因创x）=,所以f'（x）=eee2 =xx44(X2),即 e2、f' （2）=,又切点術"x-z-4y=£

42、Q1e ,所以切线方2(2)证明 J 设函数 g(x) = f(X) 2(x Inx)=Xe2x+21nx, xG (0, +8),（X）=eX 1XX 2xx 12, xW (0, + 8)2-2+设 h（X）= eJ 2x, xW (0, +8),则（X）= e”一2,令 h' (x)=0, 拆 ln2当 xG (0, ln2)时，h' (X)<0；当 xG (ln2, +8)时，h" (x)>0所以 h(x)*=h(ln2) = 2 21n2>0,故 h (x) = eX 2x>02xx 一 1令 g' (X)= e2=0, &#

43、174;=1XWOIRD格式当 xW (0, 1)时，g" (X)<0；当 xG (1, +8)时，gf (x)>0.所以 g(x)n=g(l) =e 2>0,故 g(x) =f(X) 2(x lnx)>0,从而有 f (x)>2(x Inx)-解题反酬例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数g(x).求g(x)的最值来完成.在求g(x)的最值过程中，需蘇讨(X)的正负，而曲g'(X)的式子中有一项e-2x的符号 不易确定，这时可以单釦2x这一项，再重新构造新函数h(x) = e-2x(x>0),考虑x)的正负

44、问题，此专业资料整理题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向.答题模板解决这类问题的答题模板如下:合理转化一把不等式冋题直接转化为函数的最值冋题.把不等式进行等价转化，构造新的函数.构造函数有时要变形,切记变形的依据是能够通过-1导数研究函数的单调性和最值.确定最值I由函数的单调性，确定新函数的最值.判断单调性利用导数研究新函数的单调性.得出结论一利用新函数的极值或最值，得出结论.题型专练3. (2017 福建漳州质检)已知函数f(X)= aeXblnx,曲线y = f(X)在点(1, f (1)处的切线方程为y=fl 、-e求a, b；

45、(2)证明：f(X)>0.解(1)函数f(x)的定义域为(0, +8).1-bTf' (x)=ae,由题意得 f(l)=, F (1) =xe 1ae=, e 所以<ae b=b= 1.所以F (x) = 0在(0,+ 8）上有唯一实根 且xoe （1,2）.从而当x=xb时，f（x）取极小值，也是垠小值xO =1（X）0,当 xe （xo, +8）时，F由 f' (xo) = 0,得 e.W 2 = Inxo.Xo故 f(X)Nf (xo) =ex0" Inx1+ xo 2>2Xo1Xo 2=0,所以 f(X)>0.-Ill -XoInx.由

46、知f（X）=2 1X-因为 f" （X）= e 在（0,+ 8)上单调递增艮(1X0, f' (2)>0,4、2017高考三卷6丛（12分）已诂函疣fix）二xlfdnx.（1迟若®（2）锻为整数，单封d昭& 0& 總的最3111、值.1+1+)2noC ( 00 2221 解：（1） fx的定义域0,+.若aO,因为若a>0,由1f X11fain,所以不满足题意;二-+2V0' axa知，当xO, a时，f' xVO；当xa,+时，F x0，所以fx在0, a单调递XX减，在&+单调递增故X二3是fx在x0,+

47、的唯一最小值点 由T- fio,所以当且仅当沪1时，fxO.故a=l(2)由(1)知当 xl,+时，xllnx> 0而,所以m的最小值为3111 l+l+l+>223222（12 分）己知函数f (x)=lnx+dx"+(2a+l)x.< -1>讨论f（X）的单渝:+oC(2) Sa< 0 时，【解析】(1) /(x) =3毛趣丄 l)x + l S+lXx + l)XX騎轨*）卢囹勁珊奔缈审离te则巳）在（°，） 当a<0时，则/（X）在（0厂f-）单调递増，在（-丄才艾）单调递减.2ala由知，当XO时，/（X） =/（-）,则y=-

48、l = O,解得21,t二在（Q1）单调递增，在a+x）单调递减,+oC2a軸递增，在(,)輕递减；(2)详见解),题型四利用导数研究恒成立问题题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便丁分离裁芻厢便于 求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.la典例4己知函数 f(X)=21nx mxr g(x) =xX(a>0)(1)求函数fOd的单调01(2)若 m=2,对？Xi, X2W 2, 2e2都有g(Xi)Nf(X2)成立，求实数a的取值范围.2e审题程第一步:利

49、用导数判断f(x)的单调性，对m分类论第二步:第三步:求函数的导数并判断其单调性进而求僚(最值);第四步:确定结果对不等式进行等价转化，粽Xi) 2f (xj转化为g(x)Ri&f(x)411规范解錄1) f(X)= m,21nx mx, x>0,所以 fl (x)=2x当mWO时，f' (X)>0, £(幻在(0, +8)上单调墉当 m>0 时，由 f' (0) = 0 得 x=;由2mx>Df' x4o,x>01得x>2nL综上所述，当mWO时，f'(X)的单调翅図，+8)；当m>0时，f(x)的单

50、调翅®WOIRD格式专业资料整理2m单调邇図+ co11 1若 ni=,则 f(x)=,x.21nx 2e2e2都有 g(xi) Nf (xj 成立, 对?Xi， x£ 2, 2e 2都有 g(x)minNf (x)s 等价于对?xG 2, 2e由(1)知在2, 2e±f(x)的最大值为f(e) =ag' (x) = l+2>0(a>0),xe 2, 2e,函数 g(x)在2, 2刃上是增函数，g(x).in=g(2) = 2-,函数g(x)在2,2e?上是增函数，g(x人n=g(2) = 2X确定最值一依据新函数的单调性确定最值情况.答题模稠

51、解b这类问题的答题模®下得出结论整合结论一得出结果注意区间开闭.3. 4.已知 f(X)= xlnx, g(x) =X 对一琳(0, +8), 2f(x)$g(x)恒成立，求实数a的取值范援12(2)证明J 对一堆(0, +8), lnx>x 恒成立eexax3对一妊(0, +8)恒成立,解(1)由题意知2xlnx2 XS!菸 21nx+ x+徐 X)=21nx + x-fX(x>0),则(X)=x+ 3x 12,12当xw(o, 1)时，h' (x)0, h(x)单调递减当XF (1, +8)时,h' (x)>0, h(x)单调递增,所以 h(x)min= h (1) =4,对一堀(0, +8), 2f(X)$g(x)恒成立,所以aWh(x)品=4.即实数的取值范4(2)证明(问饰明clnx>x2e(xG(O, +8). e又 f(X)= xlnx, f' (Z) = lnx+ 1,1 jf, r (xxo, f(x)单调递减e当 xWO,+ 8 时，f，(X)O, f(X)单调递增，所以 f (x)min= fife)=2+&),e(xG (0,efllj (x) =