2019届百校联盟top20三月联考(全国Ⅱ卷)数学(理)试题解析

1、绝密启用前2019届百校联盟top20三月联考（全国ii卷）数学（理）试题学校:姓名:班级:口弓：注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上、单选题A.C.已知集合 A x|2x 3 0, B x|x(xx|0x 2B.D.2) 0,则x|2x|0AI答案：B由题求出A, B两个集合，再进行交集的运算即可解:3- ，czA x| x2 , B x|0 x 2,所以 A3B x|2， x故选：B.点评:本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算,属于简单题2 .设复数z满足iA. 32B. 102C.D. 2答案：B根据复数的基本运算法则进行化简得到

2、z,再求出其共轲复数 z,利用求复数的模的公式计算即可.解:所以z1 3.2 2则|Z|0.2故选：B.点评：本题主要考查复数的除法运算，共轲复数的概念，复数模长的计算，比较基础.3 .下列函数中，既是偶函数，又在 (0,)上单调递增的是()一、,2.，、1A.f(x)1 XB.f (x)X XCf(x)10g1|X|D.f(x)2 以2答案：D结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可.解： 2A选项：f(x) 1 x在(0,)上单调递减；1B选项：f (x) x 一为奇函数； xC选项：f(x) 10g1 x在(0,)上单调递减； 2D选项满足题意.故选：D.点评：本题主要考查了函数

3、奇偶性及单调性的判断，属于基础试题.24 .已知双曲线C： x2 -y- 1, F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的 3直线与另一条渐近线交点M .则FM ()A. 23B.、.3C. 2.2D. 4答案：A求出双曲线的渐近线方程，求出过点 F作与渐近线垂直的直线，联立求出交点M ,然后求解距离即可.解： 解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程:则过点F作与渐近线垂直的直线为:,3y T x所以与另一条渐近线方程：yJ3x的交点M1,J3 , F 2,0 ,所以FM故选：A.点评:本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查,属于基础题.5.如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，

4、则围成该几何体的各面中，直角答案：DC. 3D. 4由三视图还原几何体，可知该几何体为三棱锥,其中侧棱P4底面ABC进步得到该几何体的各面中，直角三角形的个数.解:由三视图还原该几何体的直观图如图所示,其中PA底面ABC , ABBC,则该几何体的各面中，直角三角形的个数为4个.故选：D.点评: 本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原几何体，是中档题.p是Ab上6 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，扇形AOB的圆心角为3-,半径为1.4一点，其横坐标为 2-2.,则sin BOP答案：CB. _33C.D. 3_J6由题意求得点P坐标,根据三角函数的定义写出sin POA、cos P

5、OA,再计算sin BOP 的值.解:，一八22由题意可知P 3根据三角函数的定义sinPOA1,cos 3POA2.23则 sin BOPsinPOA.3sin 一 cos4POA cos3.一sin4POA4.26故选：C.点评:本题考查了任意角的三角函数值计算问题,也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题.7 .正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶如图，连接正六面体各面的中心， 就会得到对偶的正八面体.在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是（）1A6答案：AC. 14D.求出总体积以及符合要求的体积，代入几何概型的计算公式即可.解: 设正

6、方体的棱长为 2,则正方体的体积Vi 8 ,正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为22，1 2则正四棱锥的底面积为 2,高为1,体积为一2 1,3 3 2 4则正八面体的体积V2 2 , 3 3则此点取自正八面体内的概率：4V231.P M 86故选：A.点评：本题考查了利用体积之比求解几何概型问题，属于中档题8.执行如图所示的程序框图，若输出 S的值为4,则输入a的值可能为（）3/ 幡 An/A. 4B. 10C. 79D. 93答案：D4，一 一由题中的程序框图知，该算法是一个以4为周期的函数，若输出S的值为-,则得出相3应的k值，再由k a输出，即可得出 a值，再判断选项得出解:

7、_41程序运行如下：S 3,k 1； S ,k 2； S -,k 3； 32S 2,k 4； S 3,k 5；，此程序的S值4个一循环.若输出S的值为4 ,则相应k的值为4kl 2 kl N ,3因为k a时，输出S,则输入a的值为4ki 1 kiN .故选：D点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定S值的周期规律及跳出循环的k值是解答本题的关键，属于中档题.x y 2,9 .设X, y满足不等式组 y x a,且一的最大值为1,则实数a的值为()x 42y 0,A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B作出不等式组对应的平面区域，将目标函数一y-看成可行域内的点 P(x, y)与

8、点x 4Q( 4,0)连线的斜率，利用数形结合即可得到结论.解:结合可行域可知a 2,一表示可行域内的点 P(x,y)与点Q( 4,0)连线的斜率，x 4aa直线x y 2 0与直线y x a的交点为点A(1 - ,1 一),22aa1 -,y 1 时,22一 一 1取到最大值-, 2a2a 422,所以实数a的值为2.故选：B.点评:本题主要考查线性规划的应用,根据的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.10.设 0,tan( 2tanA. 2B. 2a答案：B由题意，利用三角恒等变换化简tan(cosC.D.tan得出 coscos() cos(解：),再根据角的取值范围,即可得出正确的

9、结论sin(由题意可知一- cos(sincos1cos等式两边同时乘以cos()cos得,sin(a)coscos(a)sincos(),则sincos(),即 cos(一 2)cos(),因为0故选:B.点评:本题主要考查了三角函数恒等变换，以及运算求解能力与转化思想，是中档题.211.已知椭圆C :二2 a2yr 1(a b 0)的右焦点为F ,点A, B是椭圆C上关于原 b2点O对称的两个点，且uur uuu |AO| |AF |, fa fb0 ,则椭圆C的离心率为(A. .3 1B. 2 , 3C -2D.答案：A,uuu uuu由FA FB 0得 AFB 90，将左焦点与 A B

10、连接起来，由椭圆的对称性可得四边形庆兄852为矩形，|AO| |AF|,可得a, c的关系，进而求出离心率.解：uuu uuu因为FA FB 0,所以 AFB 90 ，因为 |AO| | AF |,所以 | AB| 2|AF |,故 ABF 30,设椭圆C的左焦点为F1，根据椭圆的性质，四边形 AF1BF为平行四边形,且 AFB 90 ,所以四边形AF1BF为矩形, 在直角三角形 AFF 中， AFF 30 , |AF1| J3c, |AF| c,根据椭圆的定义，AF1 | AF | 2a,即J3c c 2a,则椭圆C的离心率e - 73 1.点评：a的取值范围是(本题考查了椭圆的定义及其几何

11、性质，属于中档题12 .若函数f(x) alnx ex有极值点，则实数A. ( e, )B. (1,e)C. (1,)D. (0,)答案：D先求出导函数f (x),再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求出a的取值范围.解:a v由题意知 f(x) alnx ex(x 0), f (x) ex, x当a 0时，函数f (x)在区间(0,)上单调递减，无极值点;设两个函数在第一象限的交点的横坐标为xo,a当 x 0,小 时，一e , f (x) 0,x函数f (x)在区间0,x0上单调递增，a x - a x _当 xx0,时，一e , f(x) e 0,xx函数f (x)在区间 ,上单

12、调递减, 故当a 0时，函数f(x)有一个极大值点故选：D.点评：本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题二、填空题13 .在(x2 1)6的展开式中，含x3项的系数为 .(用数字填写答案) x答案：20r6 r试题分析：由题意可得 Tr 1 C； x21C；x12 3r ,令x12 3r 3, r 3, T4 C3x3 20x3,综上所述，x3的系数为20,故答案为20.【考点】1、二项展开式的通项公式； 2、二项展开式的系数14 .甲、乙、丙、丁 4人站在一栋房子前，甲说：“我没进过房子”；乙说：“丙进去过”；丙说：“丁进去过”；丁说：“我没进过房子”，这四人中只

13、有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是 .答案：甲本题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是真话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是进过房子的那个人故答案为：甲.点评: 本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，分析判断能力，是基础题uuur 2 uuu uur uur415 .在 VABC 中，A 60 , AB 3,BD BC , AD BC,则 AC 33答案：2根据向量加法的三角形法则表示出uuurAD，Buu,再代入数量积即可求解.解：uuur uuu uuurAD AB BDu

14、ur 2 uuur AB BC3uuu 2 uuur uuuAB 2(AC AB)1 uuu 2 uuir -AB -AC , 33uur uur uuu BC AC AB，uuir uurAD BC1 uuu 21 uuruuur2uur1AB1ABAC2AC33312 o设 AC x ,则 3 x x2 23解得x 2.故答案为：2.点评：本题考查了平面向量加法的三角形法则，以及数量积的运算问题，是基础题16. VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b c a(cos B cosC),若VABC的周长的最大值为 4 4J2，则答案：4由已知结合正弦定理，余弦定理化简可求得A 9

15、0 ,然后结合锐角三角函数的定义将周长的最小值表示出来,结合已知即可求解a的值.解:因为 b c a(cos BcosC),根据余弦定理可得a22. 2a c b2ac2. 22a b c2ab整理得 2b2c 2bc2 a2b bc2 b3 a2c b2c c3,即 b2c bc2 a2b a2c b3 c3 ,因式分解得(b c) b2 c2 a20,所以 b2 c2 a2,即 BAC 90 ,VABC的周长 a b c a asin B acosBa1 .2sin(B -)a(1 、.2) 4 4 % 2,一时，取等号，则a 4.4故答案为：4.点评: 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，

16、锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于 中档题.三、解答题anan 的前 n 项和为 Sn, a1 1, a2 一， 2an 1( n N 且 n 23 an 1(i)证明:工为等差数列;an(n)求数列的前n项和Tn.答案：(I)见解析；(II ) Tn (n 1)31 1 3(I)对题干中的递推公式进行变形转化,口 1可得an 11 c . 口 ，1、 2 ,进一步计算可证得 anan为等差数列；3n(II )根据(I )的结论计算出数列j的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前an项的和Tn.解：a(I )因为-2an 1 , an 1所以 an an 12anan 1 ,即anan

17、 12anan 1 ,等式两边同时除以anan 1 ,得工12(n 2),且工工2, an 1ana2a1所以数列为首项为1 ,公差为2的等差数列an1_. 3nn(n)由(I)得 一 2n 1 , (2n 1)3", anan则 Tn 1 3 3 32(2n 1)3n ,3Tn 1 32(2n 3)3n (2n 1)3n 1,-得:2Tn 3 2 323n(2n 1)31 19 1 3n113 2 (2n 1)3n 11 341n)3n 16,故 Tn (n 1)3n 1 3.点评：本题主要考查由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法求数列前n项和，考查了转 化思想，逻辑推理能力和

18、数学运算能力.本题属中档题.18.如图，四棱锥A BCDE中，底面BCDE为直角梯形，ED / BC , EDC 90 ,EB EC 2夜，AB AE ED 2, F 为 AB 的中点.8 g+(I)证明：EF /平面ACD ;(n)若AC 2J3,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.答案：(I)见解析；(II ) 22 11(I )取BC的中点G连接FG EG证明四边形EGCDJ平行四边形，得EG/平面ACD 再证明FG/平面 ACD可得平面 EFG/平面ACD从而得到 EF/平面ACD(n)求解三角形证明 BA!AE,取BE的中点H,连接AH HC证明AHL平面BCDE以 H为坐标原点，

19、以过点 H且平行于CD勺直线为x轴，以过点H且平彳T于BC的直线为y 轴，HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面AC曲一个法向量，再求出直线BC的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面AC所成角的正弦值.解： 解：证明：作BC中点G ,连接FG,EG ,则ED GC ,又Q ED/ GC , 四边形EGCD为平行四边形，故 EG PCD ,则 EG/ 平面 ACD ,又Q F为AB的中点，FG PAC ,则FG /平面ACD ,又 FG I EG G ,平面 FEG / 平面 ACD ,Q EF 平面 FEG ,EF / 平面 ACD(II)QED/BC, EDC 90,

20、EB EC 2近,ED 2,BC 2ED 2DC 4 ,则 BE EC,又QAB AE 2, BE2 AB2 AE2，则 BA AE ,作BE中点H ,连接AH , HC ,AH 72, HC 标，又QAC 273, AC2 AH2 HC2,即 AH HC ,又 AH BE , AH 平面 BCDE .以H为坐标原点，以过点 H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得 C(1,3,0), D( 1,3,0), A(0,0,V2), B(1, 1,0),uuruur一CD ( 2,0,0), CA ( 1, 3,72),r

21、设n (x y z)为平面ACD的一个法向量，v uuivn CD 0, 2x 0,则 v uuv 即Lri CA 0, x 3y、2z 0,r 2 一可得 n0,1,V2 ,3r直线BC的方向向量a (0,1,0),设BC与平面ACD所成角为，r r . J a”2则 sin |cosn,a | -rr-,|n|a|11综上，直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 也2.点评：本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.19 .近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值FL进行衡量，

22、如下表所示.某花卉生产基地准备购进一套新型的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图.曰生产一 6 3 5 4 (37755555320 ,5 4 0 n 0 0 D 7*421 i 2 0综合指标FL10,1920,3940,59质量等级三级二级一级（I）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）；（n）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查， 其中来自新型生产线4元,的样品个数为 X ,求X的分布列;（出）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为

23、产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：三级花二级花一级花销售率228539单件售价12元16元20元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产量3000件.因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50桃部处理完.如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？答案：（I ）新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；则X的分布列为X0123P52815281556156(III )该生产基地需要引进该新型生产线(I)由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产

24、线的综合指标值相对来说更为集中;(II )由题意得等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量 X的取值为0, 1, 2, 3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布歹U;(m)由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为3心-一，二等品的概率30为P21611,一等品的概率 P3 - , 30000件产品中，三等品、二等品、一等品的件 3030数的估计值分别为 300件，1600件，1100件，求出单件产品利润，得到该生产基地需要引进新型生产线.解:(I)由茎叶图可以看出，新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值；生产线的综合指标值相对于新型生产线来

25、说更为集中(II )由题意可知,等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的 5个，新生产线的3个，随机变量X的取值为0, 1, 2, 3,C3P(X 0) C5一,P(X 1)28C3C52C831528P(X 2)c2c5C831516，P(X 3)CC3156，(m)由茎叶图可知，该新型生产线加工的产品为三等品的概率1611二等品的概率P2 30 , 一等品的概率P3 30 ,31.30 10300 件,1600 件,故3000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为1100 件,三等品日销售总利润为23300 - 2 300 - 455480 (元)，二等品日销售总利润为2

26、11600 - 6 1600233160003(元)，888000等品日销售总利润为1100 8 10 88000 (元)，993000 4.88 （元）16000 88000480 -39故产品的单件平均利润的估计值为4.88元，高于4元，综上，该生产基地需要引进该新型生产线.点评：本题考查平均值、离散程度的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查茎叶图、古典概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20 .已知抛物线C:x2 4y,直线l：y kx 1与抛物线交于 A, B两点.41(I)若k 一，求以AB为直径的圆被 x轴所截得的弦长； 2(n)分别过点A, B作

27、抛物线C的切线，两条切线交于点 E,求VEAB面积的最小值答案：(I) 4；(II ) 42设庆国，), B(X2,y2),联立直线y kx 1和抛物线的方程 x 4y ,运用韦达定理，(I)运用弦长公式可得 AB ,以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；2x(II )对y 已求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E4到直线AB的距离，弦长|AB ,再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值.解：设 A %,% ,B x2，y2 ,上 x2 4y2由联乂伶：x 4kx 4 0,y kx 1由韦达定理得： x1 x2 4k , x1x24,1(I)当 k 时，xix22,

28、yiy 3, | AB | .1 k2 x1 x2 2 4x1x211J22 4 ( 4) 5，3设AB的中点为M ,则M(1,-),以x轴所截得的弦长为AB为直径的圆被m4 ；xx . x(II )对y 求导得y ,即kAE , 422直线AE的方程为y y1 x1 x x1 ,2x11 2即 y x x1 ,24同理，直线BE的方程为y x2x 1x2, 24xo解得yox1x2设E x0,yo ,联立AE与BE的方程,2k,即 E(2k, 1),1,2k 21r点E到直线 AB的距离d ,2J1 k2 ,1 k2| AB | J1 k2J(4k)2 16 4 k2 1 ,所以AABE的面

29、积S 1|AB|d 1 4 k2 1 2J_k" 4 1 k2 2 4, 22当且仅当k 0时取等号，综上，4ABE面积的最小值为4.点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程 联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化 简运算能力，属于中档题.21.已知函数f (x) e x ax.1(i)若a讨论函数f(x)的单倜性；2(n)若方程f(x) x 0没有实数解，求实数 a的取值范围.答案：(I) f(x)在(，ln2)单调递减，f(x)在(ln 2,)上单调递增；(II ) (1 e,1(I)先对函数求导，结

30、合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；(11)由3、 (1 a)x 0没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解.解：1. .、 x 1(I)当a 时，f(x) ex x,函数的定义域为 r,22所以 f (x) e x - e-2 , 22ex令 f (x) 0 ,得 x In 2 ,又因为函数y ex 2单调递增，所以在(，ln2)上，f (x) 0, f(x)单调递减；在(ln2,)上，f (x) 0, f(x)单调递增.(II )方程f (x) x 0没有实数解，即方程e x (1 a)x 0没有实数解，设函数 g(x) e x (1

31、a)x,/、 x 、(1 a)ex 1g (x) e (1 a) x，e(i)当a 1时，g(x) e x 0,函数g(x)没有零点； 1A(ii)当a 1时，函数g(x)单调递减，g e1a 1 0 ,且g(0) 1 0,函a 1数g(x)有零点；(iii )当2 1 时，令 g(x) (1 a)e一1 0,则 x ln(1 a), e当 x (, ln(1 a)时，g (x) 0, g(x)单调递减；当 x ( ln(1 a),)时，g (x) 0, g(x)单调递增；当 x ln(1 a)时，g(x)min g( ln(1 a) (1 a)(1 ln(1 a),令(1 a)(1 ln(1

32、 a) 0,得1 e a 1,即函数g(x)没有零点，综上所述，若函数 g(x)没有零点，即方程e x (1 a)x 0没有实数解，故实数a的取值范围为(1 e,1.点评：本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题._x 2 t cos22.在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程是(t为参数).以y tsin坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 ：2与x轴的正、负半轴分别交于A,B两点.(I) P为C1上的动点，求线段 AP中点的轨迹C2的直角坐标方程；(n )直线l与C2分别交于点M ,N ,且M在N的左侧，VBMO的面积是 NMO面积的2倍，求tan 的值.答案：(I) x2 y2 2x 0；(II)tan 5(l)直接利用中点坐标关系式，参