考研数学三2009真题及分析

1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）函数的可去间断点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）无穷多个【答案】C【解析】则当x取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即0，1（2）当时，与等价无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。参见水木艾迪考研数学春季基础班教材考研数学通用辅导讲义（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材大学数学强化

2、29916、17 等例题。 【答案】A意味选项 错误。再由存在，故有，故a=1，D错误，所以选A。（3）使不等式成立的的范围是（）（A）（0，1）（B）（1，）（C）（，）（D）（，）【答案】A【解析】原问题可转化为求成立时x的取值范围，由时，知当时，故应选A（4）设函数在区间-1,3上的图形为 则函数为（）【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。由的图形可见，其图像与x轴及y轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数，由于有第一类间断点，只能为连续函数，不可导。时，且为常数，应有单调递增且为直线函数。时，且单

3、调递减。时，单调递增。时，为常值函数。正确选项为D。【答案】D。（5）设、B均为2阶矩阵，分别为A、B的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为（）（A）（B）（C）（D）（6）设A，P均为3阶矩阵，为P的转置矩阵，且A，若，则为（）（）（）（）（）【答案】B【解析】由于分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆，根据公式，故答案为B。【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的逆矩阵等。（7）设事件A与事件B互不相容，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【解析】因为A，B互不相容，所以P(AB)=0（A），因为不一定等于1，所以（A）不正确

4、；（B）当P(A),P(B)不为0时，（B）不成立，故排除；（C）只有当A，B互为对立事件的时候才成立，故排除；（D），故（D）正确。（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y的概率分布为PY=0=PY=1=，记为随机变量Z=XY的分布函数，则函数的间断点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【解析】由于X，Y独立。（1）若z<0，则，（2）若z0，则z=0为间断点，故选（B）【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。二、填空题：9-14 小

5、题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）=_。【答案】【解析】（10）设，则=_。【解析】由，故代入x=1得，（11）幂级数的收敛半径为_。【答案】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P的弹性=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加_元【答案】12000【解析】所求即为因为，所以所以将代入有=12000。（13）设，若矩阵相似于，则=_【答案】2【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0。而为矩阵的对角元素之和，所以。（14）设为来自二项分布总体B(n,p)的简单随

6、机样本，和分别为样本均值和样本方差。记统计量，则=_。【答案】【解析】由三、解答题：15-23 小题，共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分为9分）求二元函数极值。【解析与点评】考点：二元函数的局部极值问题。，驻点为。则在驻点，二元函数存在极小值参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-19题、基础班2009 模拟试题2-（3）题，还可参见【水木艾迪考研】大学数学同步强化299106，107，108 等，考研数学三十六技例16-5，以及考研数学通用辅导讲义-微积分例 11.10，例 11.11，11.20。（16）（本题满分10

7、分）计算不定积分【解析】令得原式（17）（本题满分10分）计算二重积分，其中【解析】由得，所以（18）（本题满分11分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数在a,b上连续，在（a,b）可导，则存在，使得。（II）证明：若函数在x=0处连续，在内可导，且则存在，且。【解析与点评】（I）过与的直线方程为取辅助函数，则；在a,b上连续，在（a,b）内可导，且。由罗尔定理，存在，使，即，或。（II）任取，则函数满足：在闭区间0,x上连续，开区间内可导，由拉格朗日中值定理可得：，使得，两边取时的极限，注意到，可得于是存在，且导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其是拉格朗日微分中值定理

8、本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪考研数学通用教材-微积分（清华大学出版社）。（19）（本题满分10分）设曲线，其中是可导函数，且，已知曲线与直线及所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程。【解析】旋转体的体积为曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t求导可得（V）继续求导可得，花间可得，解之得在（V）式中令t=1，则，代入得。所以该曲线方程为：（20）（本题满分11分）设（I）求满足的所有向量；（II）对（I）中的任一向量，证明：线性无关。【解析】（I）解方程，

9、。故，其中为任意常数。解方程，故，其中为任意常数。（II）证明：由于。故线性无关。【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。（21）（本题满分11分）设二次型（I）求二次型的矩阵的所有特征值；（II）若二次型的规范形为，求a的值。【解析】（I）。所以二次型的矩阵A的特征值为a-2,a,a+1。（II）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0，当a=2时，三个特征值为 0，2，3，这时，二次型的规范形为。【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。（22）（

10、本题满分11分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（I）求条件概率密度（II）求条件概率【解析】（I） 得其边缘密度函数故即（II）所以所以（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。（I）求PX=1|Z=0。（II）求二维随机变量( X，Y)的概率分布。【解析】（I）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以PX=1|Z=0=。（II）X，Y取值范围为1，1，2，故，Y X 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1