(完整word版)高中数学选修2-2推理与证明单元测试卷

1、章末检测一、选择题1 .由 i=i2,i+ 3 = 22,1 + 3+ 5= 32,1 + 3 + 5+ 7=42,，得到 1 + 3+ (2n1)= n2 用的是（）A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特殊推理答案 A2 .在4ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF/ BC,这个问题的大前提为（）A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EF / BC答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为 ABC的中位线；结论： EF / BC.3.用反证法证明命题“也是无理数”时，假设正确的是（）A.

2、假设也是有理数C.假设/或血是有理数答案 DB.假设43是有理数d.假设V2+V3是有理数解析应对结论进行否定，则V2+V3不是无理数，即 J2十43是有理数.4.若A是 ABC的一个内角,1cos A>2,则A的取值范围是（）9B. 0,兀A. 0, 6一 兀C. 6'答案 B1解析 : A是 ABC的一个内角， ，AC（0,兀）又cos A> 且y= cos A在（0,兀上是减函数，,OvAvM 35 .已知 f(x+1)= 2f j , f(1) = 1(xC N*),猜想 f(x)的表达式为()f x -H 24A.2x+2C.1x+ 12 D- 2x+ 1答案 B

3、解析当 x=1 时，f(2) =2f 1fl +22f 222当 x= 2 时，f(3) = =,'J f 2 +2 4 3+12f 3当 x=3 时，f(4)=-3= ，f 3 +2.2，故可猜想f(x) = ,故选B.x+ 16 .设有两个命题：关于x的不等式x x+1 a 1 + ax x 1 + a'+2ax+4>0对一切xC R恒成立；函数f(x)= (5 2a)x是减函数.若命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是()A.(巴 2B.(巴 2)C.2 , +8)D.( 2,2)答案 A解析 若为真，则A= 4a216V0.即一2v a<2;若为真

4、，则5- 2a > 1,即av 2.当真 假时，无解；当假真时，aw2. x7 .在R上定义运算。：xOy = 2.若关于x的不等式(x-a)O(x+1-a)>0的解集是集合x|-2<x< 2, xCR的子集，则实数a的取值范围是()A.2,2 B.1,2 C.1,2)D. 2,1答案 Dx ax a解析 由定义知(x- a)O (x+ 1 - a)=x aa >0, a < 0 的解集为x|av xv a+1,也就是x|2w xw 2的子集, x 1 + a x 1 + aa > 2,解得2WaW1.1 + a<2,8.对“a, b, c是不全

5、相等的正数”，给出下列判断：(a b)2 + (b c)2+ (c a)2w 0；a = b与b=c及a= c中至少有一个成立；awc, bwc, aw b 不能同日成立 .其中判断正确的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案 B解析 若(ab)2+(bc)2+(ca)2 = 0,则a = b=c,与"a, b, c是不全相等的正数"矛盾， 故正确.a= b与b= c及a= c中最多只能有一个成立，故 不正确.由于“a, b, c是不全相 等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确.19.数列an满足ai = 2,1a-1一肃则a2 015等于

6、(1A. B.-1 C.2 D.3答案 B解析a1 =an+1= 1 ,2ana2= 1 = - 1, a3= 1 = 2, a4 = 1 一 =力, a1a2a3 2a5= 1 =1, a6= 1 a4-=2, a5an+3k= an(n N*, kC N*)a2 015= a2 + 3x671 = 32= 1.10.定义在 R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),且f(x)在(2, +8)上为增函数.已知X1 + X2<4且(X12) x2 2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值()A.恒小于0B.恒大于0C.可能等于0D.可正也可负答案 A解析不妨设x1-2<0

7、, x2-2>0,贝U x1<2 , x2>2, 1- 2<x2<4 x1,1 - f(x2)<f(4 x1),即一f(x2)> f(4 x1),从而一f(x2)>-f(4-x1)= f(x1),f(x1)+ f(x2)<0.二、填空题11 .观察下列等式：(1 + 1)=2X 1(2+ 1)(2 + 2)=22X 1X3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3)=23x 1X3X5按此规律，第n个等式可为 .答案 (n+ 1)(n+2)(n+3)n+n)=2n 1 - 3 “ 5(2 1)12 .f(n)= 1+1 ：+ + N*),经计

8、算得 f(2)=3, f(4)>2, f(8)>|, f(16)>3, f(32)>7 推测 2 3n222当n>2时，有.一 一 2 + n答案f(2n)>2(n>2)解析 观测f(n)中n的规律为2k(k=1,2,),2+ k不等式右侧分别为 十，k= 1,2,2+ n.f(2n)>-2-(n>2).13.用数学归纳法证明:2n1 + + + "1+2 1+2+31+2+3+n n+1时，由n= k至ij n= k+1左边需要添加的项是答案k+ 1 k+ 2解析由n= k到n= k+ 1时，左边需要添加的项是12. 一 一 .

9、 .=1 + 2+3+ + k+ 1 k+ 1 k+214 .设S, V分别表不表面积和体积，如 ABC的面积用S*bc表布，二棱锥 OABC的体积用Vo-abc表示，对于命题：如果 O是线段AB上一点，则|oB| OA+|OA| oB=0.将它类比到 平面的情形时， 应该有：若O是4ABC内一点，有Saobc (OA+Saoca OB + S"ba OC=0.将它 类比到空间的情形时，应该有：若 O是三棱锥A- BCD内一点，则有 .答案 Vo-bcd OA+Vo-acd OB+Vo-abd OC + Vo abc OD= 0三、解答题15 .设a, b, c三数依次成等比数列，而

10、 x, y分别为a, b和b, c的等差中项，试证：+；=2.证明 依题意，a, b, c依次成等比数列，即a=b.b c由比例性质有=,又由题设x=亘芋，y="c, a+ b b+ c22eh a , c 2a , 2c 2b , 2c 2 b+ c.因而 + = , , +, , = , , +- =.=2.x y a+b b+c b+ c b+cb+ c1c16.证明：对于任息头数 x, y,都有x4+y4 >2xy(x + y)c证明 要证 x4+y4>2xy(x+y)2,只需证 2(x4 + y4) > xy(x+ y)2, 即证 2(x4+ y4) &g

11、t; x3y+ xy3+ 2x2y2.只需x4 + y4 >x3y+xy3与x4+y4> 2x2y2同时成立即可. 又知 x4 + y4 2x2y2= (x2y2)2> 0 显然成立，. 只需再证x4+y4>x3y+xy3即可.而 x4+ y4- x3y- xy3 = (x- y)(x3- y3),x y 与 x3 y3 同号，(x- y)(x3-y3) >0,即 x4+y4>x3y+xy3成立，1c对于任用、头数x, y,都有x4 + y4>2xy(x+ y)2.17 .如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，E,F分别为 AiB, AiC的中点，点

12、D在BiCi上，AiD，BiC.求证：(i)EF/平面ABC;(2)平面 AiFD,平面 BBiCiC.证明(i)因为E, F分别为AiB, AiC的中点，所以 EF / BC,又EF?平面ABC, BC?平面 ABC,所以EF /平面ABC.(2)因为三棱柱 ABC AiBiCi为直三棱柱，所以 BBi,平面 AiBiCi, BBi± AiD,又 AiD± BiC,所以AiD，平面BBiCiC,又AiD?平面AiFD ,所以平面AiFD，平面BBiCiC.18 .已知 ABC 中，A ： B ： C= i ： 2 ： 6.求证:a _ a+ bb a + b + c.只需证 a2+ab+ac= ab + b2,即证 a(a+ c) = b2由正弦定理，只需证 sin A(sin A+sin C) = sin2