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文档简介
1、第5练数学文化明晰考情1.命题角度:近几年,为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用,在数学中出现了数学文化的内容,内容不拘一格,古今中外文化兼有.2.题目难度:中档难度.鬓修核心各个击破考点一 算法、数列中的数学文化 【方法技巧(1 (1)和算法结合的数学文化,要读懂程序框图,按程序框图依次执行(2)数学文化中蕴含的数列问题,要寻找数列前几项,寻找规律,抽象出数列模型1 .如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 a, b分别为14,18,则输出的2为()CW1 /检入先/A.4B.2C.0D.14答案 B解析由题意可知输出的a是1
2、8,14的最大公约数2,故选B.2 .(2018 石嘴山模拟)张邱建算经是中国古代的数学著作,书中有一道题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺布”,则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为()1A.216B.2916C. 31答案 B解析 依题意设每天多织 d尺,依题意得 $0=30X5+ 30;29 d= 390,解得d=16. 2293.(2018 葫芦岛模拟)20世纪70年代,流行一种游戏一一角谷猜想,规则如下:任意写出一个自然数n,按照以下的规律进行变换:如果n是个奇数,则下一步变成 3n+1;如果n
3、是个偶数,则下一步变成n,这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字,最后必然会落在谷底,更准确的说是落入底部的4-2-1循环,而永远也跳不出这个圈子,下面程序框图就是根据这个游戏而设计的,如果输出的i值为6,则输入的n值为()A.5C.5 或 32B.16D.4或5或32答案 C解析 当n=5时,执行程序框图,i =1, n= 16, i = 2, n = 8, i =3, n=4, i =4, n=2, i =5, n=1, i =6,结束循环,输出i =6;当n = 32时,执行程序框图,i =1, n= 16, i = 2, n = 8, i =3, n=4, i =4, n=2,
4、 i =5, n=1, i =6,结束循环,输出i = 6.易知当n=4时,不符合,故 n=5或n=32,故选C.4 .名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a, b分别为5,2 ,则输出的n等于()A.2C.4B.3D.5答案 C一,15当n = 2时,45a=T, b=8,满足进行循环的条件,解析 当n=1时,a=, b=4,满足进行循环的条件,当n = 3时,当n = 4时,135a=b= 16,满足进行俯环的条件,.故输出的n值为4.405a=, b= 32,不满足进行循环的条件,退出循环
5、5 .九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6 个单位,递减的比例为40%.今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与 m的值分别为()A.20%,369B.80%,369C.40%,360D.60%,365答案 A解析 设“衰分比”为 a,甲衰分得b石,b 1-a2=80,由题意,得 b 1 a+b1 a = 164,b+80+ 164=m解得 b= 125, a=20% m= 369
6、.6 .(2018 浙江)我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,x+ y+z= 100,鸡母,鸡雏个数分别为 x, y, z,则1当z= 81时,x=5x+3y+3z=100,y=答案 8 11x+y + 81 = 100,解析方法一由题意,得15x+3y+3X81= 100,x+y=19,x=8,即解得5x+3y=73,y= 11.方法二10081= 19(只),81 + 3= 27(元),100 27= 73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁,则5X19= 95(元).因为 95
7、73= 22(元),所以鸡母:22+(5 3) =11(只),鸡翁:19 11 = 8(只).考点二 三角函数与几何中的数学文化【方法技巧】 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系,通过分析图形特征建立数学模型,转化为三角函数或几何问题.7 .我国古代数学名著九章算术在“勾股” 一章中有如下数学问题:“今有勾八步,股十五步,勾中容圆,问径几何?”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步,则其内切圆的直径是多少步?则此问题的答案是()A.3步B.6步C.4步D.8步答案 B解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15,则得其斜边长为17,设其内切圆半径为r,8r 15r 17
8、r 1则有万十 三+一屋=* 8X15(等积法),解得r=3,故其直径为6步.8 .如图是我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为4,大正方形的面积为100,直角三角形中较小的锐角为a ,则tan a等于()A.3B.3C.5D. 14 85答案 A解析 由题意得,大正方形的边长为 10,小正方形的边长为 2,2= 10cos a 10sin a ,. . 1一 cos a sin a 5又a为锐角,易求得tan a =3.49 .(2018 全国出)中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头,凹进部分叫卯眼,图中
9、木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()|帕设方向A.箫觇方向答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选B.8 -3“哥势即同,则积不10 .我国南北朝时期数学家、 天文学家一一祖的I提出了著名的祖的I原理: 容异”.“哥”是截面积, “势”是几何体的高, 意思是两等高几何体, 若在每一等高处的截 面积都相等,则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“哥势同”,则该不规则几何体的体积为()兀A.4 一 2C.8 兀D.8 2兀答案 C解析 由三视图知
10、,该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱V正方体=23 = 8, V半圆柱=2(兀XI 2)x2=兀,,二视图对应几何体的体积V= 8 兀.根据祖附I原理,不规则几何体的体积V' = V= 8-71.11 .(2018 蚌埠模拟)我国古代数学名著 张邱建算经 中有如下问题:“今有粟二百五十斛 委注平地,下周五丈四尺,问高几何?”意思是:现在有粟米250斛,把它们自然地堆放在平地上,形成一个圆锥形的谷堆,其底面周长为5丈4尺,则谷堆的高为多少?(注:1斛=1.62 立方尺,兀=3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩,则该外罩的直径约为()A.5尺B.9尺C.10.6 尺D.21.2
11、尺答案 D解析 设谷堆的高为h尺,底面半径为尺,则2 71r = 54, r=9.粟米 250 斛,则体积为 250X 1.62 = 1X 兀><9 2Xh, h= 5. 3谷堆内接于一个球状的外罩,设球的半径为R尺.则 R2=(h-R)2+r2,解得 R-10.6(尺). .2 M21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行.若用2c和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道i和n的长轴长,给出下列式子:adC
12、1 = a2+C2; a1 c= a2C2;Ci c2八一<一; ca2>a1C2.a1 %其中正确的式子的序号是A.B.C.D.答案 D解析 由题图知 2ai>2a2,2ci>2c2,即 a>a2, c>c2,ai+c>a+C2,不正确.; ai Ci = | PF| , a2 C2= | PF|,.二 ai ci = a2 C2, .,.正确. 2222.ai>a2>0, Ci>C2>0, . ai>a2, ci>c2.又: ai ci= a2 C2,即 ai + C2 = az+ Ci, 2222即 ai +
13、C2+ 2aiC2= a2+ ci + 2&ci, 2222ai Ci + C2a2+2aiC2= 2a2Ci,即(aiCi)( ai+ci) (a2C2)( a2+C2)+ 2aiC2= 2&ci,整理得(ai ci)( ai - 82+ ci - C2) + 2aiC2= 2a2Ci.ai>ci, ai>a2, ci>C2,aiC2<2a2Ci,即 ca2>aiC2,,正确.Cia2 aiC2 r Ci C2 人 一,: Cia2>aiC2, ai>0, %>0,>,即一>一,不正确.故选 D.aia2 aia2a
14、i a2考点三 概率、统计与推理证明中的数学文化【方法技巧U (i)概率、统计和数学文化的结合,关键是构建数学模型 (2)推理证明和实际问题结合,要根据已知条件进行逻辑推理,得到相应结论13 .我国古代数学名著 九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米i534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.i34 石B.i69 石C.338 石D.i365 石答案 B解析由系统抽样的含义,该批米内夹谷约为28254Xi534= i69(石).14 .数学与文学有许多奇妙的联系, 如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可 以逆读.数学中有
15、回文数,如 343,i252i等,两位数的回文数有 ii,22,33 ,,99共9个, 则三位数的回文数中,偶数的概率是 ()1A. 94B.91 C. 109 D. 10答案解析三位数的回文数为 ABAA共有1到9共9种可能,即1B1,2B2,3 B3,B共有0到9共10种可能,即A0A A1A, A2A, A3A,共有 9X10= 90(个);其中偶数为 A是偶数,共4种可能,即2B2,4 B4,6 B6,8 B8,B共有0到9共10种可能,即ADA, A1A, A2A, A3A,其有 4X10= 40(个), 40 4.三位数的回文数中,偶数的概率P=芯=d90 915.(2018 永州
16、模拟)我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方:将1,2 ,,9填入3X3的方格内,使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地,将连续的正整数1,2,3 ,,n2填入nxn的方格内,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做 n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为N (如:在3阶幻方中,N>= 15),则N。等于(A.1020B.1010c.510D.505答案 D解析 n阶幻方共有n2个数,其和为-2=吗0, n阶幻方共有n行,n2 n2+ 1, 2 n n2+1每行的和为=",n210X 102+ 1Nio=2= 505.“今有池方一
17、丈,葭生16.(2018 贵港市联考)九章算术勾股章有一 “引葭赴岸”问题:其中央,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是:有一水池一丈见方,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深,该植物有多长?其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A.B.23。.1229 29 12 13答案 A解析如图所示,设水深为x尺,由题意得(x+2)2=x2+52,求解关于实数x的方程,可得212129x = 即水深为彳尺,又葭长为彳尺,则所求问题的概率为_ 21P= 2.故选 A.2917.(2018 北京朝
18、阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”).今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是()A.甲B.乙C.丙D. 丁 答案 A解析 由四人的预测可得下表
19、:中奖人预测结果甲乙丙丁甲VXXX乙VXVV丙XXVV丁XVXV由分析可知,中奖者是甲值准高考蜡会发力等一人,宫赐金1 .南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题:“今有十等人,每以等次差(即等差)降之,上三人,得金四斤,持出;下四人后入得三斤,持出;中间三人未到者,亦依等次更给.问:每等人比下等人多得几斤? ”(4 A. 397B.787C.765 D. 81答案解析设第十等人得金 ai斤,第九等人得金 比斤,以此类推,第一等人得金 3。斤,则数列an构成等差数列,设公差为d,则每一等人比下一等人多得 d斤金,4ai + 6d= 3,3ai + 24d = 4,ai + a2+ a3+ a
20、4=3,由题意得a8+ a9+ ai0= 4,7解得d=, 78每一等人比下一等人多得三斤金.782 .(2018 山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升,共支米四百三石九斗二升,问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升,共发出大米40392升,问修筑堤坝多少天”,在该问题中前5天共分发了多少升大米?()A.1170B.1380
21、C.3090D.3300答案 D解析 设第n天派出的人数为an,则an是以64为首项,7为公差的等差数列,则第 n天修 筑堤坝的人数为 Sn=ai+&+ an=64nH 2*7,所以前5天共分发的大米数为 3(S + S2+S3+S4+S5) =3(1 +2+3+4+5) X64+ (1 +3+6+10)X7= 3300(升).3 .中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,
22、请问第二天走了()A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里答案 B1 解析 设等比数列an的首项为ai,公比为q=2,.1ai 126由题意得1= 378,21解得 a= 192,则 az=192x 2= 96, 即第二天走了 96里,故选B.4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是()(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)A.1寸C.3寸答案 CB.2寸D.4寸解析 如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面
23、半径为 6寸,高为18寸.,积水深9寸,1.,水面半径为2(14+6) =10(寸),则盆中水的体积为 ;兀X 9(6 2+ 102 + 6X 10) =588兀(立方寸).3一,一一 588兀 ,,平地降雨量等于丫2=3(寸).兀X 14故选C.5.(2018 吉林调研)算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽 酒” “李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借 问此壶中,原有多少酒? ”,如图为该问题的程序框图, 若输出的S值为0,则开始输入的S值为()3 A.
24、-4C.8答案 C解析 模拟程序的运行,可得当i = 1时,S= 2S 1, i =1满足条件i <3,执行循环体;当i=2时,S= 2(2 S- 1) 1, i=2满足条件i<3,执行循环体;当i=3时,S= 22(2 S-1)-1-1, i =3不满足条件i <3,退出循环体,输出 S= 0, .22(2 S- 1) -1 -1 = 0,7S= 8.6.(2018 聊城模拟)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方 图”,该图是由四个全等的直角三角形组成,它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形
25、内随机取一点,则此点取自小正方形内的概率是()1 A. 10答案 D、32+12=JT0,小正方形边长为2,故概率为2X2 2诉X而 5解析 不妨设两条直角边为3,1 ,故斜边,即大正方形的边长为7.(2018 南昌模拟)欧阳修在卖油翁中写道“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆盖其口, 徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面,中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴落入孔中的概率为()A.白B.9兀C.;D."9兀 16兀答案 B4 22解析 由题息可得直径为 4cm的圆的面
26、积为 % X - = 4 % (cm ),而边长为1cm的正方形的面积为1xi=1(cm2),根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P= 1-,故选B.4兀8 .(2018 辽宁瓦房店模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下 问题:“今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺,问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长、宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少?”若以上的条件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为()A.128兀 平方尺B.138兀 平方尺C.140兀 平方尺D.142兀 平方尺答案 B解析设四棱锥的外接球半径为r尺,则(2r)2= 72+ 52+ 82= 138,,这个四棱锥的外接球的表面积为4兀产=138兀(平方尺).故选B.9 .原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”,当时有位父亲,为 了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的
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