2020版高考数学一轮复习圆锥曲线的综合问题习题(理)(含解析)

1、第7节圆锥曲线的综合问题应用能力提升7777；【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线的位置关系2,3,4,8弦长和中点弦问题1,5,7定点、定值问题11,12最值、范围、存在性问题6,9,10,13基础巩固(时间:30分钟)1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(C )P(A) 2(B)p(C)2P(D)无法确定P解析：当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短,这时x=2 ,所以y= ± p,|AB| min=2p.选C.2.(2018 兰州一中模拟)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第T T一象限)，若力目=*

2、E,则直线1的斜率为(A )F 1(A) .(B)(C)(D)2解析：设过抛物线y2=4x焦点F的直线1:x=ty+1交抛物线于A(xi,y 1),B(x2,y 2)两点，I因为点A在第一象限且 "=3田，所以 yi=-3y 2>0,/ =联立 口 = ly + 】得 y2-4ty-4=0,71 +12y小 4G则I当为=- 3%= - 4解得-7 -即直线1的斜率为工故选A.3.若直线y=kx+2与双曲线x2-y 2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(D )(A)(-空 遮(C)(-| 3 10) (D)(-,-1)y = Am + z.解析：由限？ -= G得(1-

3、k 2)x 2-4kx-10=0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(xi,y i),B(x 2,y 2),选D.解得-3 <k<-i.即k的取值范围是(-3 ,-i).5y2= x于A,B两点(异于坐标原点4.(2018 广西三市第二次调研)过点(2,1)的直线交抛物线O),若OAL OB,则该直线的方程为(B )(A)x+y-3=0(B)2x+y-5=0(C)2x-y+5=0 (D)x+2y-5=0解析：观察选项知AB不垂直于x轴，设AB:y-1=k(x-2) 与y2=±x联立化为2ky2-5y+(5-10k)=0,6- 10/c5所以 y1 - y2=,y1+y2=

4、_A,2 22 J力 三力x1=,x 2=,由 OALOB,所以 x1x2+y1y2=0,44 5-10/c 5-lD/c所以 25(y 1y2) 2+y1y2=0 即 25(上化) 2k =0,1 1解得k=-2或2,当k工时直线过原点，舍去, 所以k=-2,只有选项B满足.选B.5.(2017 安徽马鞍山三模)已知椭圆E:。*/ a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(D )(A#W+=1工y(B) +=1x2 y2(C) 27+18=1(D) 18+9 =1解析:设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2

5、),直府yz + 7 = Iffl2 b2一21弓mI _1线AB的斜率k= 1 - 3岳,口“/(勺+巧)& -惠2)0 +1为)两式相减得+=0,1+力乂%一力)即 +： 0-，-2=0?1 1+2+h2-2x ( 2 ) x 2 =0，即 a2=2b2,又 c2=9,a 2=b2+c2,x2 y2y2=2px(p>0)上任意一点,M解得a2=18,b 2=9,方程是1"+9=1，故选D.6.(2018 昆明一中模拟)设。为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 是线段PF上的点，且|PM|二2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(A )U2 2(A) 2(B) 3(C)

6、 3(D)1解析：由题意可得设 P(二4 ,y 0),(y0>0),可得7.(2018 山西省六校第四次联考)已知抛物线 C:x2=8y,直线l:y=x+2 与C交于M,N两点，则|MN|=.必=映解析：ly = X + 2 ,所以(y-2) 2=8y,所以 y2-12y+4=0,所以 y1+y2=12,y y=4.因为直线l:y=x+2,过抛物线的焦点 F(0,2),所以 |MN|=(y i+2)+(y 2+2)=y i+y2+4=16.答案：168.(2018 大庆一模)已知抛物线 C:y2=4x,过其焦点F作一条斜率大于 0的直线1,1与抛物线 交于M,N两点，且|MF|二3|NF

7、|,则直线1的斜率为.解析：抛物线C:y2=4x,焦点F(1,0),准线为x=-1,分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为 C和D,作NHL CM,垂足为H,设|NF|=x,则 |MF|=3x,由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x,|MF|=|CM|=3x,所以 |HM|=2x,由|MN|=4x,所以/ HMF=60 ,则直线MN的倾斜角为60° ,则直线1的斜率k=tan 60 ° 4A答案：卜斗能力提升(时间：15分钟)9.(2018 云南玉溪模拟)已知点F1F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点那么I S+P，的最小值是(C )(A)0(B

8、)1(C)2(D)2解析：因为。为F1F2的中点，所以叫+P&=2"可得|%+P&|=2|曲， 当点P到原点的距离最小时,| 0P|达到最小值 |P2%同时达到最小值.X2因为椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得2+y2=1,所以 a2=2 且 b2=1,可得 a= ? ,b=1,因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|口|最小值为b=1,所以|比1+2产牛2| 0P的最小值为2,故选C.10.(2015 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到 直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 .解

9、析：双曲线x2-y 2=1的一条渐近线为直线 y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行，且两直线之l°-JJ_ 也| a _2 -1间的距离为1 + O 1) = 2 .因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点，所以点P到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点 P到直线x-y+1=0的距离恒大于2，即g 2，可得c的最大值为x2 y211.(2018 海淀区校级三模)如图，已知椭圆C：d+=1(a>b>0)的上顶点为 A(0,1),离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)若过点A作圆M:(x+1) 2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆 C相交于B,D

10、两点 (B,D不同于点A),当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说 明理由.口昌卫解：(1)因为 e=fl=v" = 2 ,x2故所求椭圆C的方程是2+y2=1.(2)设切线方程为y=kx+1,则得& +好=，即(1-r 2)k2-2k+1-r 2=0,设两条切线的斜率分别为k1,k2,于是k1,k2是方程(1-r 2)k2-2k+1-r 2=0的两实根，故 k1 k2=1.设直线BD的方程为y=mx+t,r y = rnx + lr由仅+犷=2,得(1+2m2)x2+4tmx+2t 2-2=0,-4mt 2t2- 2所以 x1+x2= + &

11、#39;m一，x 1x2=1 1 2m ,1为一1=1,又k永2： 即(mxi+t-1)(mx 2+t-1)=x 1x22(t2- 1)-4»nt?(m2-1)x 1x2+m(t-1)(x 1+x2)+(t-1) 2=0所以椭圆C的方程为8：+ =1.?(m2-1) 1 + 2m*+m(t-1)1 +2m*+(t-1)2=o? t=-3.所以直线BD过定点(0,-3).jr2 y212.(2018 广东省海珠区一模)已知椭圆C：d+B'=1(a>b>0)的焦距为 胸，且过点A(2,1).(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点 A的直线l:y=kx+m 与C交于P,

12、Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0, 证明：直线PQ的斜率为定值. 解：因为椭圆C的焦距为2洞,且过点A(2,1),4 1所以 +' =1,2c=2卜空.因为 a2=b2+c2,解得 a2=8,b2=2,(2)证明：设点 P(x1,y1),Q(x 2,y 2),y 1=kx1+m,y2=kx2+m,消去 y 得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m_8=0,(*)Hkm贝U x1+x2=-卜二',x仅2=丑:卜,因为 kpA+kAQ=0,% - 1 力-1即 =-,化简得 x1y2+x2y1-(x 1+x2)-2(y 1+y2)+4=0.即 2kx1x2+(m-1-2k

13、)(x 1+x2)-4m+4=0(*).2仪4m2 - 8) skm(m -1 - 2k)代入得 4"2 + 1 -4/ + 1-4m+4=0,整理得(2k-1)(m+2k-1)=0,1所以k=E或m=1-2k.若m=1-2k,可得方程(*)的一个根为2,不合题意，所以直线PQ的斜率为定值,该值为2¥匕 成13.(2018 西城区一模)已知椭圆C：u'+b'=1(a>b>0)的离心率为2 ,以椭圆C的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A是椭圆C的右顶点，点B在x轴上，若椭圆C上存在点P,使得/APB=90，求点B横坐 标的取彳1范围.解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得。=2 ,ab=2且 a2=b2+c2.解得 a=2,b= -. 22x y所以椭圆C的方程为4 + 2=1.(2) “椭圆C上存在点 P,使得/ APB=90 ”等价于“存在不是椭圆左、