2013年全国高考理科数学试题和答案--新课标1

1、绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)数学(理科)注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第 ii卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的(1)已知集合A xx2 2x 0 , BR

2、(C) B A(D) A B4(C) 4(D)一5拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,(A) AI B(B) AUB(2)若复数z满足3 4i z 4 3i4(A)4(B)-5(3)为了解某地区中小学生的视力情况,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(A)简单的随机抽样(B)按性别分层抽样(C)按学段分层抽样(D)系统抽样22(4)已知双曲线C：与丫2 1(a a2 b2/A、1, 、(A) y -x(B) y4(5)执行右面的程序框图，如果输入的0,b0)的离心率为 工5 ,则C的渐近线

3、方程为211-x(C)y x(D) y x32t 1,3 ,则输出的s属于(B) 5,2(C) 4,3(D)2,5(A)3,4(6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如不计容器的厚度，则球的体积为(B)(D)866 7t 3cm32048 冗 3cm3 设等差数列 an的前n项和为Sn,若Sm 12, Sm0 , Sm i 3 ,则m(A) 3(B) 4(C) 5(8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) 16 8 7t(B) 8 8 几(D) 6(C) 16 16 几(D) 8

4、16 冗(9)设m为正整数,2my展开式的二项式系数的最大值为2m 1a, x y 展开式的二项式系数的最大值为b ,若13a 7b ,则m =(A) 5(B) 6(C) 7(D) 822(10)已知椭圆E ：与% 1(a b 0)的右焦点为F (3,0),过点F的直线交椭圆E于 a bA、B两点。若AB的中点坐标为(1, 1),则E的方程为22(A)二 L 145 3622(B) y- 136 272(C) 272 y182 x (D) 18(11)已知函数f(x)2xln(x2x, 0 什,右1),x 0f (x) ax ,则a的取值范围是(A) ,0(B) ,1(C)2,1(D)2,0(

5、12)设 ABnCn的三边长分别为an , bn , Cn , AnBnCn的面积为Sn , 0 1,2,3若 th G ,bG2a1，an1 an, bn 1cnan,Cn1ban,则22(A) Sn为递减数列(B) Sn为递增数列(C)S2n 1为递增数列，S2n为递减数列(D)&01为递减数列，S2n为递增数列第n卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题，考生依据要求作答。二.填空题：本大题共 4小题，每小题5分.(13)已知两个单位向量 a , b的夹角为60 , c ta (1 t)b.若b c=0,则 t=.21(1

6、4 )右数列 an的刖n项和为Sn an 一，则数列an的通项公式是 33an =.(15)设当x 8时，函数f(x) sin x 2cosx取得最大值，则 cos =.(16)若函数f(x) (1 x2)(x2 ax b)的图像关于直线x 2对称，则f(x)的最大值 为.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)如图，在 4ABC 中， ABC = 90 , AB 33 , BC 1,P为 4ABC 内一点，BPC = 901(I)若 PB ,求 PA ;2(n)若 APB = 150 ,求 tan(18)(本小题满分12分)PBA.如图，三棱柱 ABC

7、AB1cl 中，CA CB, AB AA , BAA1 =60(l)证明 AB，AC;(n)若平面 ABC，平面AAB1B, AB CB ,求直线 AC与平面BB1cle所成角的正 弦值。(19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 n.如果n 3,再从这批产品中任取 4件作检验，若都为优质品，则 这批产品通过检验；如果 n 4,再从这批产品中任取 1件作检验，若为优质品，则这批产 品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%即取出的产品是优质品的概率都为 -,且各件产品是 否为

8、优质品相互独立.2(I)求这批产品通过检验的概率；(n)已知每件产品检验费用为 100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X (单位：元)，求X的分布列及数学期望。(20)(本小题满分12分)已知圆M ： (x 1)2 y2 1 ,圆N ： (x 1)2 y2 9 ,动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C .(I)求C的方程；(n) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A, B两点，当圆P的 半径最长时，求 AB .(21)(本小题满分12分)已知函数f(x) x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲线y f(x)和曲线y g(

9、x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 y 4x 2.(i)求 a , b , c , d 的值;(n)若x 2时，f(x) kg(x),求k的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一道作答， 并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号 右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选 考题的首题进行评分.(22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图，直线 AB为圆的切线，切点为 B,点C在圆上，/ ABC的角平分线BE交圆于点E, DB垂直BE交圆于D.(I)证明：DB DC ;(n)设圆的半径为 1, BC J3 ,延长CE交AB于点F

10、 ,求4BCF外接圆的半径.(23)(本小题满分io分)选修x4：省cosy参数方程已知曲线C1的参数方程式(t为参数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极强标案in曲线C2的极坐标方程为2sin .(I)把Ci的参数方程化为极坐标方程；(n)求Ci与C2交点的极坐标(0, 02几)(24)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数 f(x) 2x 1 2x a , g(x) x 3.(i)当a 2时，求不等式f (x) g(x)的解集;(n)设a 1 ,且当x a 1、一，一)时，f (x) g(x),求a的取值氾围. 2 22013年普通高等学校招生全国统一

11、考试理科数学答案一.选择题B D (3) C(7) C 1(8) A (9) B(4) C(5) A(6) A(10) D(ID D(12) B二.填空题(13) 2(14) -2尸(i5)-06) 16三,解答题(17)解二(I )由已知得, /尸8c = 6。，所以=在APBA中，由余弦定理得以1 = 3 + 1.2乂右工1830二1.424故以=立，2UI)设取=也由已知得融7旧之在下由中，由正弦定理得,化简得/ss& = 4疝10, s iiilSO0 51M30。- a)所以tana二更.即tanZP&f二且.44(】幻解：(I)取的中点。连结QC,。4，4%因为a=CA,所以。CJ

12、L/8.由于=/组|=60,故声为等边三角形，所以。4，/比因为CCnO4=O,所以工平面Q4C.又4CC平面CMC,故从B工4C.(II)由(I )知0CJLN8, 0A.1AB.又平面Z8C_L平面X/I百5,交线为ABt所以 OC_L平面,故/5), b(-1,0,0).则前=(1,0,百),而l =(-i,V5,o)，卒=(0,-6,6).设力= (x.v,2)是平面6BCC的法向量.则卜上二Q即十二。，可取力(Gi,-D.n BB = 0.-X + 43y = 0.故 cos),芈径为R.(I )因为圆尸与圆M外切并且与圆内切，所以|PA/十| PA/ = (+4)+ (为一火)不为

13、十3=4,由椭圆的定义可知,曲线C是以为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为石 的椭圆(左顶点除外，其方程为=，士 = 1 (x-2).43(ID对于曲线C上任意一点尸(丁,y).由于|尸MTM = 2R-2W2,所以AW2, 当且仅当ES尸的圆心为(2,0)时，夫=2.所以当圆尸的半径最长时，其方程为(x-2)s + /=4.若/的倾斜角为90。，则/与7轴重合，可得4=2右.若/的倾斜角不为90。，由ahK知/不平行于彳轴，设/与x轴的交点为0=3,可求得6-4,0),所以可设/二x + 4).由/与圆时相切得 J辿L=l, 0V1 + VWf34 = . 4当上二匹时，将卜=正丫 +企代

14、入二 = 1,并整理得7/，氏-8 = 0, 4443解得 七二士了.所以|48卜/5或|乂.(21)解：(I ) 由已知得/(O)=Z g(0) = 2, /*(O) = 4, gXO) = 4.而 /(x)=2j+a g(X)Mc(cz+d，c),故 Zs2,(f = 2a = 4,zZ4-c = 4.从而 a = 4.b = 2,c = 2, d = 2.(H)由(I )知./(x)=xx + 4x + 2, ga)= 2e* + l). 设函数尸00 =枚(外一/(力=2出a + 1)-Y - 4x-2 ,则 r(r) = 2JccJ(x 2)- 2x - 4 = 2(x 2XK* -

15、1) .由题设可得久0)。，即令广(0 = 0得%: -lnh 0=-2.(i )e: 则一2%W0.从而当xw (-2,芍)时，F(x) 0.故当丈2-2时，尸(幻20,即/(幻WAg(x)恒成立.ii若火=6?,贝|尸(幻=2/(七+2Xe,-eC).从而当x-2时，F(x)0,即F(x) 在(-2,3)单调递增.而尸(-2)=0,故当工2-2时，尸(工)20,即/(幻幅3)恒成立.(iii)若4e，则尸(-2)=-2如-+2 = -26(七一/)连结0E,交BC于点G.由弦切角定理得，BE:/BCE.而 ZX8E = NCBE,故 NCBE = ZBCE, BE = CE. 、/ !又因

16、为。b_L6,所以 DE 为直径，ZZX?E = 90o, 、次由勾股定理可得O8=DC. (II)由(I)知，CDE = BDE , DB = DC C故力G是8c的中垂线，所以8G = .设DE的中点为。.连结80则/8OG = 60。.从而乙48E = /C=/CHE =30。, 所以CFJ.BF,故RtaCF外接图的半径等于虫.2(23)解:(I)将“丁*。消去参数人化为普通方程(1。-5=25, y = 5 + 5sm/即 G2 必+/-口一】0,416 = 0.将. c 代入 /+/-8x-ly+l6 = 0得ypsindp1 - 8pcos d-lOpsin? + 16 = 0.所以G的极坐标方程为夕 一80cos夕一lO