(山东专用)2020年高考数学一轮复习专题14导数的应用(2)研究函数的极值与最值(含解析)

1、专题14导数的应用(2)一研究函数的极值与最值一、【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数y=f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f' (x)>0 ,则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f' (x)<0 ,则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f' (x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.注意：函数f(x)在区间(a, b)上递增，则f' (x) >0, "f' (x)>0在(a, b)上成立"是"f (x)在(a, b)上单调递增”的充分不必要条件.二、【典例精练】考点一利用导数解决函

2、数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1 1】 已知函数f (x)在R上可导，其导函数为 f' (x),且函数y= (1 x)f ' (x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f (2)和极小值f( -2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由题图可知，当 x<2时，f' (x)>0;当一2<x<1时，f' (x)<0;当1<x<2时，f' (x)

3、<0;当x>2时，f' (x)>0.由此可以得到函数f (x)在x=2处取得极大值，在 x = 2处取得极小值.【解法小结】由图象判断函数 y=f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y=f' (x)的图象与x轴的交点，可得函数y = f(x)的可能极值点；(2)由导函数y=f' (x)的图象可以看出y = f' ( x)的值的正负，从而可得函 数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例1 一 2】(2015山东高考)设函数 f x ln x 1 ax2 x ,其中a R.(D讨论函数f x极值点的个数，并说明理由;(n)

4、若 x 0, f x 0成立，求a的取值范围【答案】(I )：当a 0时，函数f x在 1,上有唯一极值点;当0 a 8时，函数f x在 1,上无极值点；98 .一 .一.当a 时，函数f x在 1,上有两个极值点;9(II ) a的取值范围是 0,1 .【解析】函数f x ln x 1 a x2 x的定义域为1,1- 2ax2 ax 1 a2ax a x 1x 12.令 g x 2ax ax 1 a, x 1,(1)当 a 0时，g x1 0, f x0 在1,上恒成立所以，函数f x在 1,上单调递增无极值;(2)当 a 0时，a2 8a 1 a a 9a 8当0 a 8时， 0, g x

5、 0 9所以，f x 0,函数f x在 1,上单调递增无极值;当a 8时， 09设方程2ax2 ax 1 a 0的两根为x1,x2(x1 x2),1因为为 x2-2.11所以，x1, x2441由 g 11 0可得：1 x1-,4所以，当*«-LxO时,言a&FaO,幽数/日)单调演型j当XW (马巧)时,g(x)<O=/F(jt) <0 ,邳句单调递减;当XE (孙他)时,g(X)>Oj(JC)A。,函船里调递增5 因此画效打可有两个极值点.(3)当 a 0时，0由g 11 0可得：X11,当X1, x2时，g X 0, f X 0,函数f X单调递增；当

6、X X2,时，g X 0, f X 0,函数f X单调递减;因此函数f X有一个极值点.综上：当a 0时，函数f X在 1,上有唯一极值点；当0 a 8时，函数f X在 1,上无极值点；9、“8 .一 .一.当a 时，函数f x在 1,上有两个极值点；9(II )由(I )知，(1)当0三口时，函她/(公在(0,中工)上单调逮蟠,因为/(0) = 0所以F 丁七+8)时，/(力。，符合题意3(2)当 8 a 1 时，由 g 00,得 X2 09所以，函数f X在0,上单调递增，又f 00,所以，X 0, 时，f X 0,符合题意；(3)当a 1时，由g 0 0,可得x2 0所以X 0,X2时，

7、函数f X单调递减；所以，当x 0,X2时，f x0不符合题意；(4)当 a 0时，设 h x x ln x 11 x因为 x 0, 时，h x 1 0x 1 x 1所以h x在0,上单调递增，因此当x 0, 时，h x h 00即：In x 1 x可得： f x x a x2 xax21 a x1.2 当 x 1 一时，ax 1 a x 0 a此时，f x 0,不合题意.综上所述，a的取值范围是 0,1【解法小结】 运用导数求可导函数 y=f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y=f(x)的定义域，再求其 导数f' (x);(2)求方程f' (x)=0的根；(3)检查导数f

8、' (x)在方程根的左右的值的符号， 如果左正右负， 那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例 1 3 (2018 北京卷)设函数 f(x) =ax2-(4a+1)x + 4a+3e x.若曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线与x轴平行，求a；若f(x)在x= 2处取得极小值，求 a的取值范围.【解析】因为 f(x) = ax2-(4 a+1)x + 4a+3e x,所以 f' (x) = ax2 (2 a+1)x+2e x.f ' (1

9、) = (1 -a)e.由题设知f' (1)=0,即(1a)e = 0,解得a= 1.此时 f (1) =3ew0.所以a的值为1.f ' ( x) = ax2 (2a+ 1) x + 2e x= (ax1)( x 2)ex.若 a>1 贝U当 xC -, 2 时，f' (x)<0 ； 2a当 xC (2 , +8)时,f ' (x)>0.所以f(x)在x= 2处取得极小值.41 1一. 一 一1右 aw 2，贝U 当 xC(0, 2)时，x- 2<0, ax1w2x1<0,所以f ' (x)>0.所以2不是f(x)的

10、极小值点.一一 1综上可知，a的取值氾围是 2, +°0 .【解法小结】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为 。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.考点二利用导数求函数的最值【例2】(2018全国卷II )已知函数f (x) =ex - ax2.(1)若 a=1,证明：当 x>0 时，f (x) >1;(2)若f (x)在(0, +8)只有一个零点，求 a.【解析】证明：(1)当a=1时，函数f (x) =ex- x2.则 f' ( x)

11、 =ex - 2x,令 g (x) =ex - 2x,贝U g' (x) =ex - 2,令 g' ( x) =0,得 x=ln2 .当 e (0, ln2 )时，h' ( x) v 0,当 C ( ln2 , +8)时，h' ( x) >0, h (x) > h (ln2 ) =e1n2 - 2?ln2=2 - 2ln2 >0,.f (x)在0, +8)单调递增，f (x) > f (0) =1,解：(2), f (x)在(0, +8)只有一个零点？方程ex-ax2=0在(0, +8)只有一个根，八|exL ,、? a=一彳在(0, +

12、°°)只有一个根，即函数y=a与G (x)=e2的图象在(0, +°°)只有一个交点.18ex(x-2)G ：.:-当 xC ( 0, 2)时，G' ( x) v 0,当e ( 2, +8)时，G' ( x) >0,G (x)在(0, 2)递增，在(2, +8)递增，当一0 时，G (x) 一 +8,当一 +OO时，G (x) 一 +8,2 .f (x)在(0, +8)只有一个零点时，a=G (2) =£_.4【解法小结】1.利用导数求函数f(x)在a, b上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a, b)内的极值；(2)求函

13、数在区间端点处的函数值f(a), f(b)； (3)将函数f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值考点三 利用导数求解最优化问题【例3】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水3一 -一一一， v 一，一 员下潜的平均速度为 v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为 +1(升)，在水底作业10个单位时间，v每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的

14、平均速度为2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式;(2)若c<v<15( c>0),求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少【解析】(1)由题意，下潜用时60(单位时间)，用氧量为一十 110160 3v2 60 _*7=而+下(升)，水底作业时的用60 120120180 一氧重为10X0.9 =9(升)，返回水面用时 "=7(单位时间)，用氧重为一X 1.5 = 一(升)，2因此总用氧量240 v+ 9(v>0).(2) y'=0 得 丫=102,6v 240

15、 3 (v2 000 ) 人=一一2,令 y50 V25v' y,3 当0<v<10,2时，y <0,函数单倜递减;当v>1032时，V, >0,函数单调递增.若c<1032 ,函数在(c, 10赤上单调递减，在(10 3/2, 15)上单调递增,当v= 1032时，总用氧量最少.若 01032,则y在c, 15上单调递增，.,.当v=c时，这时总用氧量最少【解法小结】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y=f (X),并确定其定义域；(2)求函数的导数f' (x),解方程f' (x)=0;

16、(3)比较函数在区间端点和f' (x) = 0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点【思维升华】1 .求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值 归根结底都是对函数单调性的研究.2 .研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3 .解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函

17、数的最值【易错注意点】1 .求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域2 .已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验3 .由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.三、【名校新题】1 .(2019 辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)=x3-3x-1,在区间3,2上的最大值为 M最小值为 N,则 M- N=()A. 20B. 18C. 3D . 0【答案】A【解析】f，(x) = 3x2-3= 3(x-1)( x+1), .f(x)在(一00, 1)和(1 , +oo)上单调递增，在(一1,1) 上单调递减，又=

18、f ( -3) =- 19, f( 1) = 1, f(1) =- 3, f (2) =1, .1. M= 1, N= 19, Ml- N= 1 ( 19) = 20.2.(2019 湖北襄阳四校联考 )函数f(x) =：x2+xln x3x的极值点一定在区间()A.(0,1)内B .(1,2)内C.(2,3)内D .(3,4)内【答案】B【解析】函数的极值点即导函数的零点，f' (x)=x+ln x+1 3=x+ln x2,则f ' (1) = 1<0, f ' (2) =ln 2>0 ,由零点存在性定理得f' (x)的零点在(1,2)内，故选B.

19、 ，1 32. 一， 4 一3.(2019 皖南八校联考)已知函数f(x) =3x + bx+cx +bc在x= 1处有极值一则b=()A. - 1B . 1C. 1 或1D . 1 或 3【答案】A24【解析】f ( x) = x+2bx+c,因为f (x)在x= 1处有极值一 3f'1=1+2b+c=0,14b= - 1,所以 f 1 =3+ b+c+bc=解得 c 3 故选 A.2 =4b + 4c>0,4. (2019 广州高中综合测试)已知函数f (x) =x3+ax2+bx+a2在x= 1处的极值为10,则数对(a, b)为()A. ( -3,3)C. (4, - 1

20、1)【答案】CB . ( - 11,4)【解析】f ' ( x) =3x2+2ax+b,依题意可得1=0,1= 10,3+2a+b=0,即1 + a+ b+a-10 消去b可得D . ( - 3,3)或(4 , - 11)a= 4, b= 11.a= - 3当时，f ' ( x) = 3x 6xb=3a= - 3.a - a- 12= 0,解得 a= 3或 a= 4,故b= 3+ 3=3(x-1)2>0,这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选 C.5.(2019安庆二模)已知函数f(x)=2ef' (e)ln x x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为(

21、)eA.2e -1B. -1C.1D.2ln 2e【解析】由题意知，门产x(e)一!，f ' (e) = 2f' (e) - 1,则 f ' (e) = 1. ee因此 f ' (x) = 2 令 f ' (x) = 0,得 x= 2e. x e .f (x)在(0 , 2e)上单调递增，在(2e, +°o)上单调递减.f (x)在 x=2e 处取极大值 f(2e) = 2ln(2e) -2=2ln 2.6.(2019 郑州质检)若函数y= f(x)存在n1( n C N*)个极值点，则称 y=f(x)为n折函数，例如f (x) =x2为2折函

22、数.已知函数f (x) = (x+1)exx(x+2)2,则£(*)为()A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数【答案】C【解析】f ' (x) =(x+2)ex-(x+2)(3 x+2) =(x+2)(e x-3x-2)，令 f ' (x) = 0,彳导 x= 2 或 ex= 3x+ 2.易知x= 2是f(x)的一个极值点，又ex=3x + 2,结合函数图象，丫=与丫=3*+2有两个交点.又e2w3( 2) + 2= 4.函数y = f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.7 .(2019 江西阶段性检测)已知函数y=ax工在x=1处取得极值，则 a=

23、.x【答案】2因为y= a+Z,所以当x=1时，a2=0,所以a=2,经验证，可得函数y=2x4在x = 1处取得xx极值，因此a=2.8 . (2019 “超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f(x)=tx3-3x2+2x+t在区间(0 , +°o)上既32有极大值又有极小值，则 t的取值范围是9【答案】0, 782【解析】f (x) = tx3x+2,2由题意可得f (x) = 0在(0 , +8)上有两个不等实根，即 tx -3x+2=0t W0,在(0 , +8)有两个不等实根，所以3>0,2t >0-9解得0<t<.8 =9 8t >0,

24、9 .若函数f(x)=2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1, k+1)内存在最小值，则实数 k的取值范围是【解析】因为f(x)的定义域为(0, +8),又因为f' (x)=4x1,所以由f ' (x) = 0解得x=J由题意 x2k- 1<-<k+ 1,3得 2 解得1wk<2.k-1>0,10 .传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm缩到4 cm,且知在这段变形过程中，当底面

25、半径为 10 cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体 积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为 cm.【答案】4【解析】设神针原来的长度为a cm , t秒时神针的体积为 V(t) cm3,则V(t)=兀(12t)2 (a+20t),其中 0WtW8,所以 V, (t) = 2(121)( a+20t)+ (12 1)2 20兀.因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10=12 t,解得t = 2,此时V' (2) =0,解得a=60,所以 V(t)=兀(12 t)2 (60 + 20t),其中 0W t W8.V' (t) =60 兀(12t)(2 t),当 t (

26、0, 2)时，V' (t)>0,当 tC(2, 8)时，V (t)<0,从而 V( t)在(0 , 2)上单调递增，在(2,8)上单调递减，V(0) =8 640兀，"8) =3 520兀，所以当t = 8时，M t)有最小值3 520% , 此时金箍棒的底面半径为 4 cm.11. (2019 哈尔滨模拟)已知函数f(x) = ln x ax(aCR).1 一当a=2"时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】(1)当a=1时，f(x) = ln x-1x,函数的定义域为(0 , +8)且fz (x)=1-=-2x,2

27、2x 2 2x令 f ' ( x) = 0,得 x= 2,于是当x变化时，f' (x) , f(x)的变化情况如下表x(0, 2)f' (x)十f(x)2(2 , +8)0一ln 2 -1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值= f(2) =ln 2 1,无极小值.(2)由 知，函数的定义域为(0, +8),11 axf (x) =- a=(x>0). x x当awo时，f' (x)>0在(0 , +8)上恒成立，即函数在(0, +8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a>0 时，当 xC 0, 1 时，f' (x)&g

28、t;0, a当 xC时，1( x)<0,a故函数在x = 1处有极大值. a综上可知，当 awo时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y=f (x)有一个极大值点，且为 x = -. a12.(2018 天津卷选编)设函数 f (x) =(x-ti)( x-t2)( x-t3),其中 tl, t2, t3CR,且 tl, t2, t3 是公差为 d的等差数列.若t2=0, d=1,求曲线y = f (x)在点(0, f(0)处的切线方程；(2)若d=3,求f (x)的极值.【解析】(1)由已知，得 f(x)=x(x-1)( x+ 1)=x3-x,故 f' (x) = 3

29、x21.因此 f(0) =0, f' (0) = 1,又因为曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y-f (0) = f' (0)( x-0),故所求切线方程为 x+y=0.(2)由已知得 f (x)=(x-t2 + 3)( x-t2)( x-t2-3) =(x-t2)3-9(x-t2) =x3 3t 汉2+(3t2 9) x12+9t 2.故 f ' (x) = 3x26t2x + 3t29.令 f' (x) = 0,解得 x= 12- /3,或 x= 12+ 3.当x变化时，f ' (x) , f(x)的变化情况如下表：Br疝/ 1瓜

30、、% 1(%+疹 + ;、)00极k值4极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2 5)=(3)39X(一、3)=63;函数 f(x)的极小值为 f(t2+3) =(3)3 9X，3=6-J3.13.设 f (x) =xln x ax2+ (2a 1) x(常数 a>0). 令g(x) = f ' (x),求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数 a的取值范围【解析】(1)由 f' (x)=ln x2ax+2a,可得 g(x) = ln x 2ax+2a, x (0 , +oo).1c1-2 ax所以 g (x) = x2a=x.又 a>

31、0,当xe。， 时，g' (x)>0,函数g(x)单调递增, 2a当xe1W，+°0 时，g (x)<0,函数g( x)单调递减.，函数y = g(x)的单调递增区间为c 1 一，一、，°,泊，单倜递减区间为1,-4- oo2a，十(2)由(1)知，f ' (1) = 0.当。另时，2a>1，由知，-1，、八(M在0, 2a内单调递增,1可得当 xc(0, 1)时，f'(x)<0,当 xe 1, 2a时，f' (x)>0.，、，1，、所以f (x)在(0, 1)内单倜递减，在 1,无 内单倜递增2a所以f(x)在

32、x=1处取得极小值，不合题意11 - 1当a=3时，丁 = 1,f (x)在(0,1)内单倜递增，在(1,+8)内单倜递减，所以当xC(0,+8)时，1(x)w0,2 2af(x)单调递减，不合题意.当 a>1 时，0<1<1,当 xC 1, 1 时，f' (x)>0 , f(x)单调递增，当 xC(1, +8)时，(x)<0, f(x) 22a2 a单调递减.所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意. 1综上可知，实数 a的取值范围为2, +814. (2019 广东五校联考)已知函数f(x)=ax+ In x,其中a为常数.(1)当a=1时，求f(x)

33、的最大值;(2)若f(x)在区间(0 , e上的最大值为一3,求a的值.【解析】(1)易知f (x)的定义域为(0 , +8),1当 a= 1 时，f(x) = x+ln x, f (x)=1+ -= x令 f ' ( x) = 0,得 x= 1.当 0<x<1 时，(x)>0 ;当 x>1 时，>(x)<0.f (x)在(0, 1)上是增函数，在(1 , +8)上是减函数f ( x) max= f (1) = 1.当a=1时，函数f(x)在(0 , +°°)上的最大值为1.(2)(x) = a+? xC(0, e,卜 e，+ 8

34、 .若a>-则f z (x) >0,从而f (x)在(0 , e上是增函数, e f (x) max= f (e) =ae+1>0,不合题意.若 a<-,令 f ' (x)>0 得 a+->0,结合 x (0 , e,解得 0Vx<1； exa1，一一a, e上为减函数,令 f' (x)<0 得 a + 1<0,结合 xC (0 , e,解得一1<xwe. xa-41 ，-从而f (x)在0,-上为增函数，在 a''' f ( x) max= f a = 1+ln令一1 + ln !=3,得 In - = - 2, aa即 a= 一 e2.919-e<-e，-e 为所求.故实数a的值为一e2.15. (2019 合月日质检)已知函数f (x) = excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；兀(