复变函数与积分变换第6章

1、第六章第六章 积分变换的预备知识积分变换的预备知识 本章介绍几个以后经常要用到的典型本章介绍几个以后经常要用到的典型的函数，以及函数的卷积和序列的卷积，的函数，以及函数的卷积和序列的卷积， 1 1 单位阶跃函数单位阶跃函数2 2 矩形脉冲函数矩形脉冲函数6.1 6.1 几个典型函数几个典型函数 3 3 d d 函数函数Otu(t)0t.Otu(t)6.1.1 6.1.1 单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数(简称阶跃函数简称阶跃函数, 又称又称Heaviside函数函数)定义为定义为 1, 0;( )0, 0.tu tt 显然显然, u(t)在在t=0处从处从0跃变为跃变为1.延迟

2、延迟t0的阶跃函数为的阶跃函数为 0001, ;()0, .ttu tttt 利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式表示表示. 例如设例如设12030( ), 0;( )( ), 0;( ), .x ttx tx tttx ttt 于是可以用阶跃函数表示为于是可以用阶跃函数表示为 120( )( )1( )( ) ( )()x tx tu tx t u tu tt121320( )( )( ) ( )( )( ) ().x tx tx t u tx tx t u tt30( ) ()x t u tt6.1.2 6.1.2 矩形脉冲函数矩形脉冲函数宽度为宽度

3、为t t , 幅度为幅度为 的矩形脉冲函数为的矩形脉冲函数为 (0)E E , ;2( )0, t.2Etp tt tt tt t ot2t t2t t E( )p tt t.6.1.3 6.1.3 d d 函数函数 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中, 除了连续分布量之外，除了连续分布量之外，还有集中作用在一点的量还有集中作用在一点的量. 例如，点电荷、点热源、例如，点电荷、点热源、质点、单位脉冲等质点、单位脉冲等. 下面分析在原点处分布单位质下面分析在原点处分布单位质量的情况量的情况. 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻域域-e e ,e

4、 e之内之内, 这时这时-e e ,e e内的每一点的密度内的每一点的密度1,2e e e e 1, , ;( )2 0, , .xxxe ee ee e e ee ee e 很自然很自然, 原点处分布单位质量的质点情形可认原点处分布单位质量的质点情形可认为是上述情形当为是上述情形当 时的极限时的极限, 并用并用d d (x)表示密表示密0e e 度分布的极限度分布的极限. 在直观上可以看作在直观上可以看作 , 0;( ) 0, 0.xxxd d 根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应根据密度的定义，密度函数在区间内的积分应该是在此区间上分布的总质量该是在此区间上分布的总质量. 因此，应有因

5、此，应有 ( )d1.xxd d 针对这类问题针对这类问题, 20世纪世纪30年代年代, 英国物理学家英国物理学家Dirac引进了满足以上性质的引进了满足以上性质的“函数函数”, 称为称为“d d 函数函数”, 并且要求对任何连续函数并且要求对任何连续函数f (x), 都有都有 ( ) ( )d(0).x f xxfd d 但是但是, 从古典意义下的函数积分概念来看从古典意义下的函数积分概念来看, 这这 些都是不合理的些都是不合理的. 因为因为 不是确定的数不是确定的数, 它表明变量它表明变量 的变化趋势的变化趋势, 所以所以, d d (0)=+ 无意义无意义. 而积分值与函而积分值与函数在

6、个别点的值无关数在个别点的值无关, 这样这样, 除一点外除一点外, 处处为零的处处为零的函数积分也应为零函数积分也应为零. 从而从而, d d 函数的上述性质在古典函数的上述性质在古典意义下都不可能成立意义下都不可能成立, 也是不合理的也是不合理的. 因此因此, 在很长在很长一段时期一段时期, d d 函数没有被数学家们接受函数没有被数学家们接受. 但以但以 Dirac为代表的物理学家们继续使用这个为代表的物理学家们继续使用这个“怪怪”函数函数. 因为因为 这个结论完全符合物理实验的结果这个结论完全符合物理实验的结果, 物理学家们觉得物理学家们觉得它是一个它是一个“很好用很好用” 的有力工具的

7、有力工具. 直到直到20世纪世纪50年代，年代， 法国数学家法国数学家L. Shwartz建立了广义函数的理论建立了广义函数的理论. 在他在他 的理论中，的理论中，d d 函数已不是通常意义下的函数函数已不是通常意义下的函数, 而属于而属于 更广泛意义下的函数更广泛意义下的函数, 从而为从而为d d 函数建立了坚实的函数建立了坚实的理论基础理论基础, 并且也使得这一类函数在数学的其他分并且也使得这一类函数在数学的其他分支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用支、物理学及其他工程技术中得到了广泛应用. 这些理论的建立是以泛函分析为基础的这些理论的建立是以泛函分析为基础的, 下面下面仅作简单概括的

8、介绍仅作简单概括的介绍. d d 函数不是通常意义下的函数，而是满足一定函数不是通常意义下的函数，而是满足一定条件下的函数在新的意义下的极限条件下的函数在新的意义下的极限, 这类极限称为这类极限称为弱极限弱极限.设设 是当是当 时时, 在在 ( )xe ed d0 x 0lim( )0,xe ee ed d (,) 上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数f (x), 有有 0lim( ) ( )d(0).x f xxfe ee ed d 特别地，当特别地，当 时，时， ( )1f x 0lim( )1.x dxe ee ed d 满足这些条件的函数满足这些

9、条件的函数 称为称为d d 逼近函数逼近函数. d d 函函 ( )xe ed d数数d d (x) 就是这类就是这类d d 逼近函数的弱极限逼近函数的弱极限. 所谓弱极限所谓弱极限, 就是对任何无穷可微函数就是对任何无穷可微函数f (x), 由极限式由极限式 0lim( ) ( )d(0)x f xxfe ee ed d 所确定的新的元素所确定的新的元素, 把这样的新元素记为把这样的新元素记为d d (x), 并且并且 规定规定d d (x)的积分的积分(已不是通常意义下的积分已不是通常意义下的积分)为为 ( )d1.xxd d 除了上面已提到过的函数除了上面已提到过的函数1, , ;( )

10、2 0, , xxxe ee ee e e ee ee e 外外, 还有很多不同的还有很多不同的d d 逼近函数，例如逼近函数，例如 11sin( ) (0),xHxxe ee ee e 221( ) (0)Kxxe ee ee e e e 等都是等都是d d 逼近函数，其弱极限都是逼近函数，其弱极限都是d d (x). d d (x)是具有以下性质的广义函数是具有以下性质的广义函数(d d 函数又称为函数又称为单位脉冲函数单位脉冲函数, 或称为或称为Dirac函数函数)： (1) 即即d d 函数是偶函数函数是偶函数. ()( ),xxd dd d (2) 特别地，特别地， ( ) ( )d

11、(0)x f xxfd d ，( )d1xxd d ，其中其中f (x)是任意连续函数是任意连续函数. 更一般地更一般地 00() ( )d().xxf xxf xd d (3) d d (x)是无穷可微函数是无穷可微函数, 其导函数其导函数 也是广也是广( )( )nxd d义函数义函数, 使得对任意无穷可微函数使得对任意无穷可微函数 f (x), 有有 ( )( )( ) ( )d( 1)( )( )dnnnx f xxx fxxd dd d ( )( 1)(0).nnf (4) 其中其中 u(t)是单位是单位 ( )( )d ,tu txxd d ( )( ),u ttd d 阶跃函数阶

12、跃函数. 6.2 6.2 卷积的概念与性质卷积的概念与性质 1 1 函数的卷积函数的卷积2 2 序列的卷积序列的卷积6.2.1 6.2.1 函数的卷积函数的卷积定义定义6.1 设函数设函数 和和 都是都是 上的上的 1( )f t2( )f t(,) 绝对可积函数绝对可积函数, 积分积分12( )()df x f txx 称为称为函数函数 和和 在区间在区间 上上的卷积的卷积. 记记1( )f t2( )f t(, ) 为为 或或 , 即即 12()( )fft 12( )( )f tf t 121212( )( )()( )( )()d .f tf tfftf x f txx 如果如果 t0

13、 时时, 则卷积变为则卷积变为 12( )0, ( )0,f tf t 12( )()( )f tfft 012120( )()d( )()dtfx f txxfx f txx12( )()dtfx f txx 120( )()d .tfx f txx 12( )()dfx f txx 这是这是 上的卷积公式上的卷积公式.0,)例例6.1求求 和和 在在 上的上的1( )f tt 2( )sinf tt 0,) 卷积卷积. 解由解由 上的卷积公式上的卷积公式0,)12( )( )sinf tf ttt 0sin()dtxtxx 00cos()cos()dttxtxtxx sin .tt 卷积具

14、有下面一些性质卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义这里假定所有的广义积分均收敛积分均收敛, 并且允许积分交换次序并且允许积分交换次序):(1) 交换律交换律 1221( )( )( )( ).f tf tf tf t 证明证明 由卷积的定义由卷积的定义1212( )( )( )()d .f tf tf x f txx 令令 则则 并且并且 ,txu dd ,xu 1221( )( )( )()df tf tf u f tuu 2121( )()d( )( ).f u f tuuf tf t (2) 分配律分配律 1231213( ) ( )( )( )( )( )( ).f tf tf t

15、f tf tf tf t证明证明 由卷积的定义由卷积的定义123( )( )( )f tf tf t1213( )()d( )()dfx f txxfx f txx123( )()() dfxf txf txx 1213( )( )( )( ).f tf tf tf t(3) 结合律结合律 123123( )( )( )( ) ( )( ).f tf tf tf tf tf t证明证明 由卷积的定义由卷积的定义123( )( )( )f tf tf t 123( )()() dfxf txf txx 123( )( )()dd .fxf u f txuux令令 则则 并且并且 ,xut tdd

16、 ,ut t 123( )( )( )f tf tf t123( )()()dd ,fxfx f txtttttt再交换积分次序可得再交换积分次序可得123( )( )( )f tf tf t123( )( )()dfff ttttttttt 123( )()d()dfx fxxf ttttttt123( )( )( ).f tf tf t(4) 与单位脉冲函数的卷积与单位脉冲函数的卷积设设 f (t)是是 上的连续函数上的连续函数, 则则 (,) ( )( )( ).f ttf td d 证明证明 由卷积的定义以及由卷积的定义以及d d 函数的性质可得函数的性质可得 ( )( )f ttd

17、d ( ) ()df xtxxd d ( ).f t 6.2.2 6.2.2 序列的卷积序列的卷积定义定义6.2 设设 和和 是两是两1( )f n 2( )0, 1, 2,f nn 个无限序列个无限序列, 并且并且 和和 均绝对收敛均绝对收敛. 1( )nf n 2( )nfn 序列序列 12( )() (0, 1, 2,)kf k fnkn 称为称为序列序列 和和 1( )f n2( )f n的卷积的卷积. 记为记为 或或 12()( )ffn 12( )( ),f nf n 即即 1212()( )( )()(0, 1, 2,).kffnf k fnk n 在工程中常用有限序列的卷积在工

18、程中常用有限序列的卷积. 设设 111111( ), 1, 2, , 1 ,f nnnnnnN 222222( ), 1, 2, , 1f nnnnnnN 是两个有限序列是两个有限序列, 记做记做 ( )(), (1), (2), , (1)iiiiiiiiiif nf nf nf nf nN(1, 2),i 这里正整数这里正整数N1和和N2分别叫做序列分别叫做序列 和和 的的 1( )f n2( )f n序列长度序列长度, n1和和n2是整数是整数. 在序列的卷积公式在序列的卷积公式1212()( )( )()(0, 1, 2,).kffnf k fnk n 中中, 当当 或或 时时, 取取

19、 1iinnNinn ( )0 1,2),if ni（得到有限序列得到有限序列 和和 的卷积公式为的卷积公式为 1( )f n2( )f n11111212()( )( )()nNk nffnf k fnk 12121122(, 1, 2)nnnnnnNnN，11221122112221122112211222112211221122211122111221112()()()(1)()(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(2)()(2)(1)(2)(1)(1)()(1)(1)(1)(f nfnf nfnf nfnNf nfnf nfnf nfnNf nfnf nfnf nfnNf nNfn

20、f nNfnf nNfn221)N其中当其中当 或或 时时, 取取 221nnN 2nn 2( )0.f n 显然此时序列显然此时序列 的长度为的长度为 12()( )ffn 121,NN 并且卷积序列并且卷积序列 可由下面可由下面 阶的阶的12()( )ffn 12NN 卷积矩阵卷积矩阵 次对角线方向上的元素之和给出次对角线方向上的元素之和给出, 即即 12121122()()()(),ffnnf nf n 121211221122()(1)()(1)(1)(),ffnnf nf nf nf n 12121122()(2)()(2)ffnnf nf n 11221122(1)(1)(2)(),f nf nf nf n 121122()(2)ffnNnN 111222(1)(1).f nNf nN容易验证容易验证, 序列的卷积同样满足交换律、分配律序列的卷积同样满足交换律、分配律和结合律和结合律. 例例6.2设设 1( )1,2,3,4 (1,0,1,2),f nn 2( )1,0, 1