《材料力学》5弯曲变形

1、mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学第五章第五章 弯曲变形弯曲变形 5-1 梁的位移梁的位移- -挠度及转角挠度及转角5-5 梁的刚度校核、提高梁刚度的措施梁的刚度校核、提高梁刚度的措施5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分5-6 梁内的弯曲变形能梁内的弯曲变形能mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学5-1 梁的位移梁的位移- -挠度及转角挠度及转角一、工程实例一、工程实例

2、qPmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 但在另外一些情况下但在另外一些情况下, ,有时却要求构件具有有时却要求构件具有较大的弹性变形较大的弹性变形, ,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要. . 例如例如,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形要求有足够大的变形,以缓以缓解车辆受到的冲击和振动作用解车辆受到的冲击和振动作用.2FF2Fmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学1.1.挠度挠度二、基本概念二、基本概念w挠度挠度CCAB y xB 横截面形心

3、横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的挠度称为该截面的挠度.用用w表示表示.mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学2.2.转角转角转角转角 ACCyB xw挠度挠度B 横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角称为该截面的转角. 用用 表示表示mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学3.3.挠曲线挠曲线 梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 . 式中式中,x

4、 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度为该点的挠度.挠曲线挠曲线yAB x转角转角 w挠度挠度CCB 挠曲线方程（挠曲线方程（equation of deflection curve）为）为( )wf xmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学4.4.挠度与转角的关系挠度与转角的关系yAB x转角转角 w挠度挠度CCB挠曲线挠曲线tan( )ww x 称为称为mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学5.5.挠度和转角符号的规定挠度

5、和转角符号的规定 挠度向下为正挠度向下为正,向上为负向上为负. 转角转角自自x 转至切线方向转至切线方向,顺时针转为正顺时针转为正,逆时针转为负逆时针转为负. yAB x转角转角 w挠度挠度CCB挠曲线挠曲线mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学5-2 挠曲线的近似微分方程及其积分法挠曲线的近似微分方程及其积分法一、推导公式一、推导公式1.1.纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系1MEI 横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是x的函数的函数.略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影响响, 则则1( )( )M

6、xxEI mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学2.2.由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率3221|( )(1)wxw 322|( )(1)wM xEIwmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 在规定的坐标系中在规定的坐标系中,x 轴水平向右轴水平向右为正为正, w轴竖直向下为正轴竖直向下为正. 曲线下凹上凸时曲线下凹上凸时:OxyxOy00 wM 因此因此,w与与M的正负号相反的正负号相反00 Mw 曲线上凹下凸时曲线上凹下凸时:00 wM00MwMM

7、MMmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 322( )(1)wM xEIw( ) M xwEI 近似原因近似原因 : （1） 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; （2） 略去了略去了 项项;（3）2wtan( )ww x与与 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为故上式可近似为2w mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学二、用积分法求弯曲变形二、用积分法求弯曲变形一、微

8、分方程的积分一、微分方程的积分 若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成 ( )M xwEI ( )EIwM xmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 2. 2.再积分一次再积分一次, ,得挠度方程得挠度方程二、积分常数的确定二、积分常数的确定 1. 1.边界条件边界条件 2.2.连续条件连续条件 1. 1.积分一次得转角方程积分一次得转角方程1( )dEIwM xxC 12( )d dEIwM xx xC xC mechanics of materials 盐城工学院力学课

9、程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学AB 在简支梁中在简支梁中, 左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度Aw和和Bw都等于都等于0. 在悬臂梁中在悬臂梁中,固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角Aw都应等于都应等于0.A 0Aw0Bw0Aw0A ABmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学lABxFy例题例题 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁的悬臂梁, 在自由端受一集中力在自由端受一集中力 F 作作用用.试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 和最大转角和

10、最大转角 maxwmax mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（1） 弯矩方程为弯矩方程为解：解：（2） 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xlyABxF 对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分( )() (1)M xF lx ( ) (2)EIwM xFlFx 21 (3)2FxEIwFlxC 2312(4)26FlxFxEIwxCC mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为

11、21 (3)2FxEIwFlxC2312(4)26FlxFxEIwxCC 边界条件边界条件0,0 0,0 xwxw 将边界条件代入（将边界条件代入（3 3）（）（4 4）两式中）两式中, ,可得可得120 0CC22FxEIwFlx2326FlxFxEIwmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学BwmaxmaxxlyAF（ ）222max|22x lFlFlFlEIEIEI 都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处max maxw和和（ ）3max|3x lFlwwEI mechanics of materials 盐城工学院力学课

12、程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学例题例题 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为q 的的均布荷载作用均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其max maxw和和ABqlmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 解解:由对称性可知由对称性可知,梁的两梁的两个支反力为个支反力为RR2ABqlFFABqlFRAFRBx2( )22qlqM xxx 23146qlqEIwxxC 222qlqEIwxx 34121224qlqEIw

13、xxC xC 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程分别为分别为233( 64)24qlxxlEI 233( 2)24qxwlxxlEI 边界条件边界条件x=0 和和 x=l时时, 0w xABqlFRAFRB A B 在在 x=0 和和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值， 最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为 3max24ABqlEI wmax 在在梁跨中点处

14、梁跨中点处有有最大挠度值最大挠度值4max25384lxqlwwEImechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学例题例题 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在在D点处受一集中力点处受一集中力F的作的作用用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转角角.ABFDablmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学解解: 梁的两个支反力为梁的两个支反力为RAbFFlRBaFFlFRAFRBABFDa

15、bl12xx 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为1R(0)AbMFxFxxal2() ()bMFxF xaaxllmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（）（0 x a） 挠曲线方程挠曲线方程 11bFxEIwMl 转角方程转角方程 2112bxEIwFCl 挠度方程挠度方程 31116b xEIwFC xDlmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学整理课件 挠曲线方程挠曲线方程22()bFxF xaE

16、IwMl 转角方程转角方程 2222()22bF xaxFEIwCl 挠度方程挠度方程 33222()66bF xaxFxEIwCDl （b）（）（ a x l ）mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 D点的连续条件点的连续条件 边界条件边界条件 在在 x = a 处处12ww12ww 在在 x = 0 处处,10w 在在 x = l 处处,20w 代入方程可解得代入方程可解得:120DD2212()6FbCClblABFDabl12FRAFRBmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程

17、组材料力学材料力学22211()36FbwlbxlEI 22216FbxlwbxlEI2222221()()23FblxawxlblEI b 33222() ()6FblxxawxlblEI b （a）（）（0 x a） （b）（）（ a x l ）mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 将将 x = 0 和和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当当 a b 时时, 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大10()|6AxFab lblEI 2()|6Bx

18、 lFab lalEI max()6BFab lalEI mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处0w 先研究第一段梁先研究第一段梁,令令得得10w22211()036FbwlbxlEI 221(2 )33lba abx 当当 a b时时, x1 a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中1222 3max()0 06429 3x xFbPblw|lb.wEIlEImechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 梁中点梁中

19、点 C 处的挠度为处的挠度为 结论结论:在简支梁中在简支梁中, 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度其精确度是能满足工程要求的是能满足工程要求的.222(34)0.062548CFbFblwlbEIEI1222 3max()0 06429 3x xFbFbly|lb.wEIlEImechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 （a）对各段梁）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间都是由坐标原点

20、到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了只增加了(x-a)的项的项. （b）对）对(x-a)的项作积分时的项作积分时,应该将应该将(x-a)项作为积分项作为积分变量变量.从而简化了确定积分常数的工作从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则积分法的原则mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 53 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 梁的梁的变形微小变形微小, 且梁在且梁在线弹性范围线弹性范围内工作时

21、内工作时, 梁在几项荷载梁在几项荷载(可以是集中力可以是集中力, 集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 一、叠加原理一、叠加原理mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 1. 1.荷载叠加荷载叠加 多个荷载同时作用于结构而引起的变形等于多个荷载同时作用于结构而引起的变形等于每个荷载单独作用于结构而引起的变形的代数和每个荷载单独作用于结构而引起的变形的代数和. . 2. 2.结构形式叠加

22、（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法）121122(,)()()()nnnF FFFFF 121122(,)()()()nnnw F FFw Fw FwFmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学按叠加原理求按叠加原理求A点转角和点转角和C点挠度点挠度. .解解: :（a）荷载分解如图荷载分解如图（b）由梁的简单荷载变形表由梁的简单荷载变形表,查简单荷载引起的变形查简单荷载引起的变形. .BqFACaaF=AB+ABq2()4A FFaEI 3()6CFFawEI45()24CqqawEI3()3A qqaEI mechanics

23、of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（c）叠加叠加2()4A FFaEI 3()6CFFawEI3()3A FqaEI 45()24CFqawEI()()AA FA q2(34)12aFqaEI435()246CqaFawEIEIqFF=+AAABBBCaaqmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学例题例题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求试按叠加原理求梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A

24、, B 。ABCqMelmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 解解: :将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两项简单的荷载项简单的荷载, ,如图所示如图所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)Bl)(qA )(qB ()CqwCe()BM e()MA e()CMwCe()(CCqMCwwwe)(AqMAA24e538416M lqlEIEI( )( )3e()243M lqlEIEIe)(BqMBB( ) 3e()246M lqlEIEImechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材

25、料力学材料力学例题例题 试试利用叠加法利用叠加法,求图求图所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为EI的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 wC 和两端和两端截面的转角截面的转角 A , B .ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2 解解:可视为正对称荷载可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠与反对称荷载两种情况的叠加加.mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下ABCq/24415(2)5384768CqlqlwEIEI 3311(2)2448ABqlqlEIEI CABq/2q/2（2）反

26、对称荷载作用下）反对称荷载作用下 在跨中在跨中C截面处截面处,挠度挠度 wC等于零等于零,但但 转角不等于零且该截面的转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零弯矩也等于零 可将可将AC段和段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为l /2 的的简支梁简支梁mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学CABq/2q/2可得到：可得到：Bq/2ACq/2 3322( )( )2224384ABqlqlEIEI20Cw将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, 即得即得4125768CCCqlwwwEI( )33

27、312348384128AAAqlqlqlEIEIEI ( ) 33312748384384BBBqlqlqlEIEIEI( )mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学例题例题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理试按叠加原理并利用附表并利用附表,求截面求截面B的转角的转角 B以及以及A端和端和BC中点中点D的挠度的挠度wA 和和wD .ABCDaa2a2qqmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学解解:将外伸梁沿将外

28、伸梁沿B截面截成两段截面截成两段,将将AB 段看成段看成B端端固定的悬臂固定的悬臂梁梁,BC段看成简支梁段看成简支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2BMqa2qAB2qa2BMqaB截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为：2BMqa2qamechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 简支梁简支梁BC的受力情况与的受力情况与外伸梁外伸梁AC 的的BC段的受力情段的受力情况相同况相同 由简支梁由简支梁BC求得的求得的 B, ,wD就是外伸梁就是外伸梁AC的的 B,wD2qaBCDq2BMqaqBCDBCD2BMqa 简支梁简支梁

29、BC的变形就是的变形就是MB和均布荷载和均布荷载q分别引起变形的分别引起变形的叠加叠加. .mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学由叠加原理得由叠加原理得: :()Dqw()B q DBC 3)()(3BBqBMBqaEI 4()()24BDD qDMqawwwEI2qaBCDq2BMqa()BBM ()BD MwDBC2BMqa（1）求）求 B ,wD33)(243qBqlqaEIEI 32()33BBBMM lqaEIEI 4455()38424D qqlqawEIEI 42()164BBDMMqalwEIEImechanic

30、s of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（2）求求wA 由于简支梁上由于简支梁上B截面的转动截面的转动, ,带动带动AB段一起作刚体运动段一起作刚体运动, ,使使A端产生挠度端产生挠度w1 悬臂梁悬臂梁AB本身的弯曲变形本身的弯曲变形, ,使使A端产生挠度端产生挠度w22wA2qB2qa2BMqaAB1wBC2qaBDq2BMqa 因此因此, ,A端的总挠度应为端的总挠度应为122BAwwwaw 由附录由附录4 4查得查得22(2 )8qawEI44473412AqaqaqawEIEIEImechanics of materials 盐城工学院力学

31、课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学55 刚度条件刚度条件1.1.数学表达式数学表达式2. 2. 刚度条件的应用刚度条件的应用（1）校核刚度校核刚度（2）设计截面尺寸设计截面尺寸（3）求许可载荷求许可载荷maxmax ww是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角. w和和 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学例例 下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆,内外径分别为内外径分别为: :d=40mm,D=80mm,杆的杆的E=210GPa,工程规定工程规定C点的点的w/L,B点的点的 弧度弧度,试试核此杆的刚度核此杆的刚度. .

32、l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABBmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学解解: :（1 1）结构变换结构变换, ,查表求简查表求简单载荷变形单载荷变形. .l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB21116BF lEI 211116CBF l awaEI 20B 3223CF awEI 2333BMllaFEIEI 22333CBF lawaEI +F2BC图图2图图3+F2BCDAM=图

33、图1F1=1kNDCmechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（2）叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形 212163BF lF laEIEI 2321221633CF l aF aF a lwEIEIEI44441284()643.14 (8040 ) 1064 188 10 mIDd F2=2kN=+图图1图图2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图图3F2BDAMACCF2mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（3）校核

34、刚度校核刚度: : 23261225.19 10 m1633CF l aF aF a lwEIEIEI212-40.4400200()163210 1880163 -0.423 10BF lF laEIEI （rad）maxwwll 65max5.19 10 m10 mww 4max0.423 100.001 mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 二、二、提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁

35、的跨度有关还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以所以,要想提高要想提高弯曲刚度弯曲刚度,就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手.一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学（1）增大梁的抗弯刚度）增大梁的抗弯刚度EI 工程中常采用工字形工程中常采用工字形,箱形截面箱形截面 为了减小梁的位移为了减小梁的位移,可采取下列措施可采取下列措施（2）调整跨长和改变结构）调整跨长和改变结构 设法缩短梁的跨长设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角将能显著地减小其挠度和转角.这是提高这是提高梁的刚度的一个很有效的措施梁的刚度的一个很有效的措施.)(xMwEI mechanics of materials 盐城工学院力学课程组盐城工学院力学课程组材料力学材料力学 桥式起重机的钢梁通常采用桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值长而减小梁的最大挠度值.ABql 同时同时,由于梁的外伸部分的自由于梁的外伸部分的自重作用重作用,将使梁的将使梁的AB跨产生向上的跨产生向上的挠度