五年级奥数.计数综合.容斥原理(ABC级).学生版

1、一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B AB =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或” 的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积 包含

2、与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起 ；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C AB =(意思是“排除”了重复计算的元素个数 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数用符号表示为：A B C A B C A B B

3、C A C A B C =+-+图示如下：知识结构容斥原理1先包含A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2再排除A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图 来帮助分析思考【例 1】 实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？例题精讲图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的

4、个数1先包含：A B C +重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次 2再排除：A B C A B B C A C +-重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C +-A B B C A C -计算时都被减掉了3再包含：A B C A B B C A C A B C +-+【例 2】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？【例 3】 对全班

5、同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人两项都会的有10人，两项都不会的有9人这个班一共有多少人？ 【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【例 4】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人问：两门都在95分以上的有多少人？A两门都不在95数学95分以上的95分以上的【巩固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【例 5】 一个班4

6、8人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【巩固】 四年级科技活动组共有63人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【例 6】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人其中手中有红、黄

7、、蓝三种小旗的有6人而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【巩固】 某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【例 7】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数

8、的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人求这个班的学生人数【例 8】 在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土

9、蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？【巩固】 盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要【例 9】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图 ，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴影部分面积之和是多少？【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73求阴影部分的

10、面积【例 10】 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？ CBA10【巩固】 如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3求A 与C 公共部分的面积是多少？ 【例 11】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的

11、个数【例 12】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【巩固】 某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人【随练1】 四(二 班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人问语文数学都写完的有多少人？只写完语文作业的有多少人？【随练2】 光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33

12、人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？【随练3】 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积【作业1】 四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。家庭作业 课堂检测 【作业2】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【作业3】 科技活动小组有55人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人每个同学都至少完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？【作业4】 五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自