哈尔滨工业大学 概率论答案 习 题 三

1、习题三1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01p ,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。解(X k =表示事件:前1k 次出现正面,第k 次出现反面,或前1k 次出现反面,第k 次出现正面,所以11(1(1,2,3,.k k P X k p p p p k =+=2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个数X 的分布列。解从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有kr kb aC C ,所以X 的分布列为(k r kb a ra bC C P X k C +=,max(0,

2、max(0,1,min(,k r a r a b r =+,此乃因为,如果r a 则r 个球中至少有r a 个黑球,此时k 应从r a 开始。3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,31i p i i =+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。解设i A =第i 个零件是合格品1,2,3i =。则1231111(0(23424P X P A A A =,123123123(1(P X P A A A A A A A A A =+123123123(P A A A P A A A P A A A =+111121113623423423

3、424=+=23423423424=+=,1231236(3(23424P X P A A A =.即X 的分布列为X P.4.一汽车沿一街道行驶,需通过三个设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。解(0P X P =(第一个路口即为红灯12=,(1P X P =(第一个路口为绿灯,第二个路口为红灯111224=,依此类推,得X 的分布列为012311112488X P.5.将一枚硬币连掷n 次,以X 表示这n 次中出现正面的次数,求X 的分布列。解X

4、为n 重贝努里试验中成功出现的次数,故1(,2X B n ,X 的分布列为1(2nk n P X k C =0,1,k n=6.一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布,求(1每分钟恰有8次呼叫的概率;(2每分钟的呼叫次数大于10的概率。解设X 为每分钟接到的呼叫次数,则(4X P (184448444(80.29778!k k k k q P X e e e k k =(24114(100.00284.!k k P X e k =7.某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布,问在月初至少库存多少此种商品,才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。解设X 为该商品的

5、销售量,N 为库存量,由题意51150.99977(1(1(1!k K N K N P X N P X N P X K ek =+=+=即5150.00023!K K N e k =+查泊松分布表知115N +=,故月初要库存14件以上,才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。8.已知离散型随机变量X 的分布列为:(10.2,(20.3P X P X =,(30.5P X =,试写出X 的分布函数。解X P 所以X 的分布函数为0,1,0.2,12,(0.5,23,1, 3.x x F x x x =9.设随机变量X 的概率密度为sin ,0,(0,c x x f x =+,001111

6、(sin cos cos ,2222a aP X a xdx x a =可见cos 0a =,2a =。10.设随机变量X 的分布函数为(arctan F x A B x =+,x +,求:(1系数A 与B ;(2(11P X ;(3X 的概率密度。解(1由分布函数的性质0(21(2F A B F A B =+=+于是12A =,1B =,所以X 的分布函数为11(arctan 2F x x =+x +,(211111(11(1(1(24242P X F F =+=;(3X 的概率密度为21(1f x F x x =+,x +.11.已知随机变量X 的概率密度为|1(2x f x e =,x

7、1,0,211,0.2xx e x e x =12.设随机变量X 的概率密度为,01,(2,12,0,x x f x x x =其他.求X 的分布函数.解(f x 的图形为X 的分布函数为(x F x f u du=01010,0,01,(2,12,1,2.xxx udu x xdx u du x x =+220,0,01,221,12,21,2.x x x x x x x =+=若一架收音机上装有三个这种管子,求(1使用的最初150小时内,至少有两个电了管被烧坏的概率;(2在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列;(3Y 的分布函数。解Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数,

8、(3,Y B p ,其中(1503p P X dx x =,(1所求概率为2323121(2(2(3333P Y P Y P Y C =+=+727=;(2Y 的分布列为3312(33k kk P Y k C =,0,1,2,3,k =即Y P.(3Y 的分布函数为012x(1,1f (x 0,0,8,012720(,12,2726,23,271, 3.x x F x x x x =14.设随机变量X 的概率密度为2,01,(0,.x x f x 所以624(20.8615P A P X =.16.设随机变量2,5X U ,现对X 进行3次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.解设Y 为

9、三次观测中,观测值大于3的观测次数,则(3,Y B p ,其中532(3523p P X =,所求概率为232321220(2(2(333327P Y P Y P Y C =+=+=.17.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X (单位:分,服从参数为15的指数分布。若等待时间超过10分钟,则他就离开。设他一个月内要来银行5次,以Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数,求Y 的分布列及(1P Y 。解由题意(5,Y B p ,其中25510101(105x xp P X e dx e e +=,于是Y 的分布为2255(10,1,2,3,4,5,k k kP Y k C e e k =25

10、(11(01(10.5167P Y P Y e =.18.一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数(N t 服从参数为t的泊松分布。(1求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布;(2求在设备已经无故障工作了8小时的情况下,再无故障运行8小时的概率。解(1设T 的分布函数为(T F t ,则(1(T F t P T t P T t =事件(T t 表示两次故障的间隔时间超过t ,也就是说在时间t 内没有发生故障,故(0N t =,于是0(1(1(011,00!tt T t F t P T t P N t e e t =,可见,T 的分布函数为1,0,(0,0.t T e t F t t =

11、即T 服从参数为的指数分布。(2所求概率为168816,8(16(16|8(8(8P T T P T e P T T e P T P e=.19.设随机变量2(108,3X N 。求(33P X =(32(23(32(231=+0.90(3a P X a =21081(,3a =所以2108(0.993a =,查正态分布表知21082.333a =,故57.495a =。20.设随机变量2(2,X N ,且(240.3P X =,求(0P X 。解420.3(24(0P X =,所以2(0.8=,0222(0(1(0.2P X =242412(0.977,2, 1.=所求概率为84726072

12、1212(6084(P X =12=22.假设测量的随机误差2(0,10X N ,试求在100次重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值。解设Y 为误差的绝对值大于19.6的测量次数,则(100,Y B p ,其中所求概率为1001001003(3(0.05(0.95,kk k k P Y C =利用泊松定理1005350.875!k k e k =.(220,25N ,试求:(1该电子元件损坏的概率;(2该电子元件损坏时,电源电压在200240V 的概率。解设A =电子元件损坏,i B =电源电压在第i 档,1,2,3i =,则(1112233(|

13、(|(|P A P B P A B P B P A B P B P A B =+(2000.1(2002400.001(2400.2P X P X P X =+200220240220200220(0.1(0.001252525=+2402201(0.225+20202020(0.1(0.001(1(0.225252525=+0.0641=(2222(|0.005756P B P A B P B A =.24.假设随机变量X 的绝对值不大于1;11(1,(184P X P X =,在事件11X 出现的条件下,X 在(1,1内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求:(1X 的分布函数

14、;(2X 取负值的概率P .解1设X 的分布函数为(F x ,则当1x 时,(0F x =,且1(18F =,当1x 时,(1F x =,115(111848P X =,当11x 时,由题意1|11(1P X x X k x =+,而111|112P X X k =,所以12k =。于是11|11,2x P X x X +=此时(1(1F x P X x F =+11,118P X x X =+111(1|118P X P X x X =+5115782816x x +=+=,故X 的分布函数为0,1,57(,11,161, 1.x x F x x x +=(27(0(0(016P X F P

15、 X =.解2设X 的分布函数为(F x ,则当1x 时,(0F x =且1(18F =当1x 时,(1F x =,当11x ,由题意(|11P x X x x X k x +=,即(,11,(11P x X x x X k x P X +=由此得295( 8P x X x x k x +=,两边同除以 x 得( ( 5,8F x x F x k x +=令 0x 取极限得5( ,8F x k =两边积分得5( 8F x kx C =+,由 1(1 8F =及 103lim ( 4x F x =得15883548k C k C =+=+解之得 71, 162C k =故 5757( 16161

16、6x x F x +=+=, 11x 综上所述, X 的分布函数为0, 1, 57( , 11,161, 1.x x F x x x +=(2 7(0 (0(0 . 16P X F P X =25.已知离散型随机变量 X 的分布列为X P求 2Y X =的分布列 .30解 Y 的分布列为0149Y P. 26.设随机变量 X 的概率密度为, 0,( 0, 0.x X e x f x x =时函数 xy e =单调增, 反函数为 ( ln x h y y =, 于是 XY e=的概率密度为ln 211,1, , 1, ( ( |( |0, 1. 0, 1.y Y X y e y y y f y

17、f h y h y y y =解 2设 Y 的分布函数为 ( Y F y ,则, 1, ( ( ( (ln ,1XY y F y P Y y P e y P X y y =ln 00, 1, , 1, y x y e dx y =ln 00, 1, , 1. yx y e y =ln 0, 1,0, 1,11, 1.1,1. y y y y e y y=21, 1,( ( 0, 1. Y Y y y f y F y y =27.设随机变量 X 的概率密度为21( , (1X f x x x =+求随机变量 1Y =的概率密度 (Y f y 解 1函数 1y =3( (1 x h y y =,则

18、263(1 ( ( |( |,.(1(1 Y X y f y f h y h y y y =+31解 2设 Y 的分布函数为 ( Y F y ,则3( ( (1 1 1(1 Y F y P Y y P y P y P X y =31(1 X F y =,所以23263(1 ( (1 3(1 , (1(1 Y X y f y f y y y y =+。 28.设 (0,1X U ,求(1 X Y e =的概率密度; (2 2ln Y X =的概率 密度。解X 的密度为1, 01,( 0, X x f x =其它.(1 xy e =在 (0,1上单调增,反函数为 ( ln h y y =,所以 Y

19、 的密度为1, 1,( 0, . Y y e yf y =29.设 (0,1X N ,求 |Y X =的概率密度。解 1函数 |y x =在 (,0 上单调减,反函数为 1( h y y =,在 0, +上单调增,反函数为 2( h y y =,所以 Y 的密度为1122( |( |( |( |,0, ( 0,0. X X Y f h y h y f h y h y y f y y += 即 22, 0, ( 0, 0. yY y f y y =30. 设随机变量 X 服从参数为 2的指数分布, 试证 21X Y e =在区间 (0,1上服从均匀分布。证 只须证明 Y 的分布函数为320, 0( , 01,1, 1. Y y F y y y y =220,0( ( 11,01,1, 1Xx Y y F y P Y y P e y P e y y y =0, 0, (2ln(1, 01, 1, 1. y P X y y y =120, 0, (ln(1 . 01, 0,1. y P X y y y =120, 0, (ln(