圆周运动中临界问题2012.03.26

1、圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动o 竖直面内圆周运动的临界问题分析o 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大最大”“最小最小”“刚好刚好”等词语，常分析两种模型轻绳模型轻绳模型和轻杆模型轻杆模型，分析比较如下：2.汽车通过凹形桥面的最低点汽车以速度v通过凹形桥最低点,如下图所示,则汽车在竖直方向受到重力mg和桥的支持力N的作用,此二力的合力提供汽车做圆周运动的向心力2,vNmgmR22,v,().,vNmgmmgRvNNmgmmgR 支持力由牛顿第三定律知 汽车对桥的压力大小为方向竖直向下 且汽车速度 越大 对桥的压力

2、就越大 汽车处于超重状态特别提示特别提示: :比较汽车过拱形桥和过凹形桥的情况比较汽车过拱形桥和过凹形桥的情况, ,你就会明你就会明白为什么桥一般都做成拱形的白为什么桥一般都做成拱形的( (对桥的压力小对桥的压力小).).生活中的圆周运动如图所示，质量为如图所示，质量为m的汽车在圆拱桥上以速度的汽车在圆拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为前进，桥面的圆弧半径为R，为了汽车安全过拱桥顶时的最，为了汽车安全过拱桥顶时的最大速度不得大于多少？如果桥能够承受的最大压力为车重大速度不得大于多少？如果桥能够承受的最大压力为车重的的 ，求汽车安全过桥时，在桥的最高点时的速度范围，求汽车安全过桥时，在桥的最高

3、点时的速度范围解析：选汽车为研究对象，汽车受到重力和桥对车的支持力，如右图所示两个力的合力提供向心力、且向心力方向竖直向下，由牛顿第二定律可得由此式可知：车的速度越大，汽车对桥的压力越由此式可知：车的速度越大，汽车对桥的压力越小当速度增大到一定值小当速度增大到一定值v临时，汽车对桥面的压力临时，汽车对桥面的压力N减小减小为零，汽车会脱离地面飞出桥面，做平抛运动为零，汽车会脱离地面飞出桥面，做平抛运动 令N0可得汽车桥顶时的最大速度不得超过思维总结：本题关键是弄清楚汽车在最高点时重力和支持力的合力提供向心力，并且合力即向心力必须竖直向下mg轻绳模型轻绳模型轻杆模型轻杆模型常见常见类型类型特点特点

4、一、竖直平面内的圆周运动在最高点时，没有物体支撑，只能产生拉力轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题1.1.竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动 轻绳轻绳模型模型 ：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：RgvmmgR临界2小球在最高点时绳子的拉力刚好小球在最高点时绳子的拉力刚好等于等于0 0，小球的重力充当圆周运，小球的重力充当圆周运动所需的向心力。动所需的向心力。1、轻绳模型（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用：（2）小球能过最高点条件：（3）不能过最高点条件：（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）RgvmmgR

5、临界2rgv rgv rgv （当 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压） 轻杆轻杆模型模型 ：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：0临界v1.1.竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题1、轻杆模型rgvrgv 杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点能过最高点v v临界临界0 0，此时支持力，此时支持力N Nmgmg；rgv0当当 时，时，N N为支持力，有为支持力，有0 0N Nmgmg，且，且N N随随v v的增大而减小的增大而减小；当 时，N0；当当 ，N N为拉力，有为拉力，有N N0 0，

6、N N随随v v的增大而的增大而增大增大结论：o 物体在没有支撑物时:在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是：物体的重力提供向心力即临界速度是：在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F供=F需。o 物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的v临界=0rvmmg20grv 0例1（99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）A、a处为拉力，b处为拉力B、a处为拉力，b处为推力C、a处为推力，b处为拉力D、a处为推力，b处为推力abA、B例例2 2 长度为长度为L L

7、0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有一质端有一质量为量为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球以所示，小球以O O点为圆点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是速率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，则此时细杆，则此时细杆OAOA受到受到（）（）A A、6.0N的拉力的拉力B B、6.0N的压力的压力C C、24N的拉力的拉力D D、24N的压力的压力B例例3 3：长长L L0.5m0.5m，质量可以忽略的的杆，其下，质量可以忽略的的杆，其下端固定于端固定于O

8、O点，上端连接着一个质量点，上端连接着一个质量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A绕绕O O点做圆周运动（同图点做圆周运动（同图5 5），在），在A A通过最高点，试通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：讨论在下列两种情况下杆的受力：当当A A的速率的速率v v1 11m1ms s时时: :当当A A的速率的速率v v2 24m4ms s时时: :如图如图6-11-96-11-9所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCDABCD，其，其A A点与圆心等高，点与圆心等高，D D点为轨道最高点，点为轨道最高点，DBDB为竖直线，为竖直线，AC

9、AC为水平线，为水平线，AEAE为水平面，今使小球自为水平面，今使小球自A A点正上方某处由点正上方某处由静止释放，且从静止释放，且从A A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D D，则小球在，则小球在通过通过D D点后（点后（ ）A A会落到水平面会落到水平面AEAE上上 B B一定会再次落到圆轨道上一定会再次落到圆轨道上C C可能会落到水平面可能会落到水平面AEAE上上 D D可能会再次落到圆轨道上可能会再次落到圆轨道上A A二、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物

10、体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。例例如图如图6 6所示，两绳系一质量为所示，两绳系一质量为m m0.1kg0.1kg的小球，上面绳长的小球，上面绳长L L2m2m，两端都拉直时与轴，两端都拉直时与轴的夹角分别为的夹角分别为3030与与4545，问球的角速度在，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 3 radrads s时，上、下两绳拉力分别为多大？时，上、下两绳拉力分别为多大？题型二：圆周运动与其他运动的结合 例题与变式例题与变式 例例2(12年广东模拟)如图所示，在光滑水平