中值定理的证明题

1、-CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR理明题2第五讲中值定理的证明技巧一、一、考试要求考试要求1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值 定理），并会应用这些性质。2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理（泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。3、 了解定积分中值定理。二、二、 内容提要内容提要1介值定理（根的存在性定理）（1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.（2）零点定理设设f（x）在在a、b连续，且连续，且f（

2、a）f（b）0,则至少存在一点则至少存在一点,CW（Q、b）,使得使得f（c）二02、 罗尔定理若函数/（X）满足：（1）/在如上连续（2）/（切在上）内可导（3）/（）= /（“）则_定存在歹丘上）使得/）=o3、 拉格朗日中值定理若函数丿（*）满足：（1）/（X）在“上连续（2）/（X）在（“上）内可导则一定存在疳e（恥）,使得/（）一J3=广（）9-。）4、 柯西中值定理若函数/d），g（x）满足：（1）在“】上连续（2）在（#）内可导（3）g3H0则至少有一点纟已（，）使得g（b） - g（a） g（?） 5、泰勒公式3如果函数/（X）在含有心的某个开区间（）内具有直到n + 1阶导数

3、，则当X在 （%）内时，/（X）可以表示为九的一个次多项式与一个余项尺（兀）之和，即 /（劝=/（勺）+广（无）（欠-无）+异如（尤-勺）2 +寺严（托）（兀-无）+KQ）其中（+1）!&介于与X之间）一在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点:1 -展开的基点；2.展开的阶数；3.余项的形式其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公 式，在证明不等式时用的是带拉格朗曰余项的泰勒公式-而基点和阶数，要根据具体的问题来确定.6、积分中值定理若若f（x）在在a、b上连续，则至少存在一点上连续，则至少存在一点cGasb,使得使得 f（x）dx=f（c）（b-a） jd三、典型题型与例题三

4、、典型题型与例题题型一、与连续函数相关的问题（证明存在彳使题型一、与连续函数相关的问题（证明存在彳使 2 2 = =0或方程或方程f（x）=O有有 根）根）方法：大多用介值定理f （x）满足：在a, b上连续；f（a）f（b）0.思路：1）直接法2）间接法或辅助函数法例1、设/(x)在a,b上连续，axx2 - xn 0(/= 1,2,证明C J ) + C2/(“2 ) + + * J(心)C|+C2+q例2、设ba0,f（x）在eb上连续、单调递增，且/（%）0,证明存在 使得a2f（b）+ bf（a）= 2/f（g）存在ea9b,使得f()=4例3、设/(x)在a,b上连续且/(A) 0

5、,证明存在e(a,Z?)使得 f(x)dx =jhf(x)dx =土f(x)dx o例4、设y(x),g(x)在a,b上连续,证明存在处(恥)使得g() fMdx =f()jhg(x)dx例5、设f(x)在0,1上连续，且f(x)0,利用闭区间上连续函数的性质， 证 明存在一点ea,b使得 fMg(x)dx= /(机gMdx题型二题型二. .验证满足某中值定理验证满足某中值定理3-疋例8、验证函数/(A) = 2求满x 5足定理的题型三、证明存在使广题型三、证明存在使广(旬旬= =0(曰，曰，2,)方法：思路：例9、设/(X)在a,b上可导且/；()/_&)0,证明至少存在一个口恥)使得八)

6、=0例10、设畑在0,3上连续,在(0,3)内可导 且/(0) + /(!) + /(2) = 3,/(3) = 1,证明存在一个 1证明:在1)内至少存在一点使厂=(1-刖)/($)例14、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)0,f(a)J(耳) 3c, F(c) = 0.于是 话已(0,c),2 e(c,l),使F) = F(歹2)=0,即 /) = /(歹2)=0.设(p(x) =-exf(x)t则0)= 0(歹2)= 0=书 w,爲)u(0,l),使得X0(g) = 0,即 厂() =(1+刖)/().2)常微分方程法：常微分方程法：适用：步骤：例16、设/

7、(X)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b) = A,证明存在 24 使得/W + /() = A例17、设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0, f(l)=l,证明：对任意实数入必存在gw(0, 1),使得厂()-2/(0- = 1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设/(x)在a,b上连续，在(,”)内可导，求证存在*(),使得,芈)-心)=广(射+/b_a例19、设/(X)在“0上连续,在上)内可导,求证存在壮(。上),使得8例20、设于(x)在“上上连续,在(，)内可导(Ov“v)，求证存在 代(“劝，使得=

8、a例21、设/(x)在a9b_连续,在(“，”)内可导(Ov“Vb),求证存在 冃讪，使得牛仪“+ +心伊h-a3犷题型五题型五X含有含有厂( (或更高阶导数或更高阶导数) )的介值问题的介值问题 方法：方法：例22、设f(x)在0,1上二阶可导 且f(0)=f(l)=0.试证至少存在一个e(04),使/气筋=芈孚例23、(012, 8分)设/(x)在-心0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。 证明在-,。上至少存在一个使得a3fn(7j) = 3jf(x)dx例24、设f(x)在-1, 1具有三阶连续导数,且f(-l)=O,f(l)=l,f(

9、O)=O,证明: 在(1,1)内存在一点使得厂 =3.1 bnb_u f(a) f(b)=严($) +旷(訓,心9例25、设f(x)在-a, a上具有三阶连续导数，且满足=f(0)=0,证明:在卜a, a内存在一点使得/厂=12|/(切|厶.证由广(x) = x力=十+J：(x=2+ 4； fu)du - ufu)du 知 广(0) = 0,厂(x) = 2x + /(/MJ”(0) = 0.根据泰勒公式，有/(A) = /(0) + f0)x +1 /70)x2+1 r(rj)x3= i r(7j)x32!3!o其中介于0与x之间，xe-14J.于是尊工如I心寫厂哪I尬尊, 其中M. m为|

10、厂(x)|(由题设可推知|厂(力|在卜a,a上连续)在卜a, a上的最大 值、最小值进一步有m-f(X)dxM故存在壮-心,使得 厂)= 轧/(兀松,即a4r)= 12m杯.题型六、双介值问题题型六、双介值问题FG,)=0方法：方法：例26、设/(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,0ao2例29、试证明若/(x)在a,b上存在二阶导数,且r()=/W =0.则存在 处上)使得|例30、设xavb,求证：在(a、b)内存在唯一的点乙使得nanb为证唯一性，再证F(x)0令/W = n广 e)= f(a) f(b)xg(x) = xex= g(x) O= g(b) g(a)Ff,(x) O,

11、=F(X)Tn 唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题1)反证法反证法例30、设俭)在卜2,2上连续，在(-2,2)内二阶连续可导且|/()|1求 证存在代(-2,2)，使厂) =0证反证若对Vx w(-2,2),/(劝不变号1)广)0, f(2)=f(0)+厂(0) 2+*厂(缶)22, e(0,2)=土(/(2)-/()=广()+厂&)1，与左端小于等于1矛盾1 ,2)厂(QvO,f(-2)=f(0)-/0) 2+ -/) 2-G(-2,0)-|/(-2)一/(0)=广(0) - f2),同理矛盾 变号从而结论成立.2)隐含问题隐含问题例31、(2000年)设f(x)在0,1上连续，(/(X)心=0,g(x)在0,1上有连续的 导数且在(0,1)内g3H0,并且1/(x)(x)t/x = 0.证明：至少存在两个不同的 点&島e(0,1)，使 /) = /(%)=0.证F(