第一章_集合与函数概念__复习讲义

1、1第一章 集合与函数概念一、集合的基本概念与运算(一)元素与集合1. 集合的定义一般地， 我们把研究对象统称为元素。 把一些元素组成的总体叫 做集合 (简称为集 )。通常用大写字母 A ，B， C，D，, 表示集合，用 小写拉丁字母 a，b，c，, 表示元素。2. 集合中元素的特征(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说， 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 例如， “中国的直辖市”构成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集 合中，杭州、南京、广州 , 不在这个集合中。 “身材较高的人”不 能构成集合；因为组成它的元素是不确定的。(2) 互异性：一个给定

2、集合中的元素是互不相同的(或说是互异的)，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。相同元素、重复元 素，不论多少，只能算作该集合的一个元素。(3)无序性：在一个集合中，不考虑元素之间的顺序只要元素完 全相同，就认为是同一个集合。3、集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的， 我们就称这两个集合是相等 的。4、元素与集合的关系2如果 a 是集合 A 的元素，就是说 a 属于集合 A，记作 aA ;如 果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作a A。5、常见的数集及记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；所有正整数组成的集合称为正整数集（在自然数集中排

3、除 0 的集 合），记作 N*或 N+；全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。拓展与提示：（1 1）无序性常常作为计算时验证的重要依据。（2 2）注意 N N 与 N N*的区别。N N*为正整数集，而 N N 为非负整数集，即 0 0 N N 但 0 0 老 N N*。（3 3） 集合的分类+、一 +人疮 有限集：含有有限个元 素的集合叫做有限集按兀素个数丿无限集：含有无限个元 素的集合叫做无限集按元素的特征可分为：数集，点集，形集等等。特别地，至少有一个元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集 （

4、）,只含有一个元素的集合叫做单元素集。例 已知P Px,y,1x,y,1；Q Q = = xx2,xy,X*,xy,X*且 P P = =Q,Q,求 x,yx,y 的值2f _解析由y或y；xy,xy=1,lxlx =1,=1,解得 x=y=1 这与集合中元素的互异性相矛盾。3解得 x= -1 或 1（舍去）这时 y=0/. x= -1 , y=06、集合的表示方法(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 括起来表示集合的方法叫做列举法。适用条件：有限集或有规律的无限集形式：a, a3,，an /描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描 述法，具体方法是：在花括号内

5、先写上表示这个集合元素的一般符号 及取值(或变化)范围；再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素 所具有的共同特征。适用条件：一般适合于无限集，有时也可以是有限集。形式：；eDp(x)，其中 x 为元素，p(x)表示特征。拓展与提示：如果集合中的元素的范围已经很明确，那么 x x D D 可以省略，只写其元素 x x,如xWRxvIO!可以表示为xxvIOL韦恩图法：把集合中的元素写在一条封闭曲线(圆、椭圆、矩 形等)内。例 用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集：(1)(1)由所有非负奇数组成的集合；(2)(2)由所有小于 10 既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)(3)

6、平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合； 方程 x2+x+1=0 的4实数根组成的集合。解析（1）由所有非负奇数组成的集合可表示为：A=&x=2n+1,nN, A 是无限集。满足条件的数有 3, 5, 7,所以所求集合为：B3,5/，集合 B 是有限集。（3）所求集合可表示为：C 二认y）x：0 且 y：01，集合 C 是无限集。因为方程 x2+x+1=0 的判别式的 0， 故无实数， 所以方程 x2+x+1=0的实根组成的集合是空集o（二）集合的基本关系1、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一 个无素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称

7、集合 A 为集合B 的子集，记作A B（或 B=A），读作“A 含于 B ” （或“ B 包含 A”）。数学表述法可简述为：若x.x. A=A= x.x. B B，则集合 A A 是集合 B B 的子集。（如图）2 2、集合相等：如果集合 A A 是集合 B B 的子集（A B），且集合 B B 是集合 A A 的 子集（B5A），此时，集合 A A 与集合 B B 中的元素是一样的，因此，集合 A A 与集合 B B 相等，记作 A=BA=B。数学表述法可描述为：对于集合 A A、B B，若A A5 5B B，且B A，贝 U 集合 A A、B B 相等。3 3、真子集：如果集合A A B

8、B，但存在元素x x B B，且X” A，我们称集合 A A 是集合 B B 的真子集，记作AB B P P u u A A）或说：若集合A A B B，且 A A 工 B B，则集合 A A 是集合 B B 的真子集。54 4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为厶并规定：空集是任何集6合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展与提示:(1)(1)【.MA,A-A。(2)-?B(其中 B 为非空集合)(3) 对于集合 A , B , C,若 A B, B C,则 A C。(4) 对于集合 A , B, C,若A豣三，三?C C 则A豣C C(5) 对于集合 A , B,若 A B 且 B A,

9、则 A = B。含 n 元素的集合的全部子集个数为2n个，真子集有 2n-1 个，非空子集有 2n-1个，非空真子集有 2n-2 个。(三)集合间的基本运算1、并集一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为 集合 A与 B 的并集，记作A B(读作“A 并 B”)，即A_B，xx A, 或 x B/拓展与提示：对于任意集合A A、B B,有(1)(1)A一A=A,A=：，=A;(2)(2)A一B = B_A；A _ (A B), B(A B);(4);(4) A A B B = = A A：= = A A 二 B B。2、交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元

10、素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作B(读作“ A 交 B ”)，即ABxx A,且 x Bl拓展与提示：对于任意集合A、B,有Ac A = A,AC = 0；(2)ACB = BCA；(3)(3)(ACB)g A,(ACB)B；(4)A，CB=A=B B ； (5)(5)(A B) (Au B)。可用 Venn 图表示为73、全集与补集(1) 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。(2) 补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元 素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U的补集， 简称为集合 A 的

11、补 集， 记作euA=(xx壬U,且x更A。用 Venn 图表示为拓展与提示：(1)A(1)A n(euA)(euA)= =, A U(euA)(euA) , , =U； (2)应应( (uA)uA)=A , euU=,eueu =U； eu(Aeu(A B)B)= =( (痧 uA)uA) ( ( uB)uB),eu(Aeu(A B)B)= =( (痧 uA)uA) ( ( uB)uB)。(4)(4)下图中的 分别表示为An(euB)(euB),(euA)(euA)nB,AnB,( (痧 A)(uB)A)(uB)例 设集合A=2,2X-1,-4 沁，x-5,1 - x,，若 A AnB=B=

12、求 A AUB B。解析由 AnB=9得，9 A。 x2=9 或 2x-1=9由 x2=9 得，x= 士 3。当 x=3 时，A = g,5,B亠2,-2,9?，与元素的互异性矛盾。可用 Venn 图表示为8当 X=-3 时，A9,_7,川B亠8,4,9：，此时,A一B-一8,7,4,4,9.2由 2x-1=9 得 x=5.当 x=5 时，A25,9,_4B一0,一4,9,此时，A一B= 4,9：，与题设矛 盾。综上所述，A B=一8,一7,一4,4,94、集合中元素的个数：在研究集合时，经常遇到有关集合元素的个数问题， 我们把含有 限个元素的集合 A 叫做有限集， 用 card 来表示有限集

13、合 A 中元素的 个数。 例如：Aa,b,c则 card(A)=3.一般地，对任意两个有限集 A , B ,有 card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB).当时仅当 AAB= 时，card(AUB)=card(A)+card(B).解与集合中元素个数有关的问题时，常用venn 图。例 学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 8 名同学参赛，又举 办了一次球类运动会，这个班有 1212 名同学参赛，两次运动会都参赛 的有 3 3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解析 设A =田径运动会参赛的学生 1, B = 球类运动会参赛的学生，那么A A B B =:

14、两次运动会都参赛学生,A A B B =所有参赛的学生 1,Card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB)=8+12-3=17答：两次运动会中，这个班共有17 名同学参赛二、函数及其表示9(一)函数的概念1 定义一般地，我们说：设 A , B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f,使对 于集合A 中的任意一个数 X，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它 对应，那么就称 f : A - B 为集合 A 至惊合 B 的一个函数，记作y = f (x), x三A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫函数的定义域；与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值，

15、函数值的集合f(x)xAI叫做函数的值 域，显然，值域是集合 B 的子集。2、函数的三要素(1) 函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。(2) 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函 数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。拓展与提示：(1)(1)函数符号 y=f(x)y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在1818 世纪引入的。注意区别 f(a)f(a)和 f(x)f(x) , f(x)f(x)是指函数解析式，f(a)f(a)是指自变量为 a a 时的函数值。3、区间设 a, b 是两个实数，而且 ab,我们规定：(1)满足不等式 ax b 的实数 x 的集

16、合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式 avxvb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a,b)；满足不等式 axb 或 axa(a, )L-x|x 兰 b(7)1_ i_.x|x (-00，b)-A拓展与提示：(1)(1)在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表 示不包括在区间内的端点。求函数定义域，主要通过下列途径实现。1若 f(x)f(x)是整式，则定义域为 R R;2若 f(x)f(x)为分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；3若 f(x)f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方数为非负数的全体实数；4若 f(x)f(x)的定义域为a,ba,b，则 f f g(x)g(x

17、)的定义域是 a a g(x)g(x) b b 的解集；5若 f f g(x)g(x)的定义域为a a，b b，则 f(x)f(x)的定义域是 g(x)g(x)在 x !a,b】下的值域。定义：x | a乞x名称符号闭区间a,a, b bx|acxcb开区间 (a(a, b)b)a,b 111例 1 1 求下列函数的定义域y _ . x 12 x解析 要使y=Wx1有意义，则必须2 x故所求函数的定义域为X|x _ 1 且 x = 2 /例 2 2已知函数 f(x)f(x)的定义域是-1-1, 3 3,求 f(x+1)f(x+1)和 f(xf(x2 2) )的定义域(2)(2)已知函数 f(2

18、x+3)f(2x+3)的定义域为-1,21，求 f(x-1)f(x-1)的定义域解析(1)Vf(x)的定义域为-1, 3, f(x+1)的定义域由-1 x+1 3 确定，即-2x 2,二 f(x+1)的定义域为-2, 2.f(x2)的定义域由-1x23 确定，即-.3_X_ .3二 f(x2)的定义域为3,. 3V函数 f(2x+3)的定义域为(-1,2】,二 2x+3 中的 x 满足-1x2,/. 12x+3 7.令 t=2x+3，则 f(t)的定义域为1,71又 1x-1 7,二 2x-1 且XM2,12式子 y=f(x)表示 y 是自变量 x 的函数，设它的定义域为 A，值域 为 C,我

19、们从式子 y=f(x)中解出 x 得到 x=g(y)，如果对于 y 在 C 中的 任何一个值通过式子 x=g(y),x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子 x=g(y)表示 y 是自变量 x 的函数，这样的函数 x=g(y)叫做 y=f(x)的反函数，记作X = f(y)，一般写成y = f -1(x).拓展与提示：(1)(1)函数 y=f(x)y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域；函数 y=f(x)y=f(x)的图象和它的反函数 y = f (X)的图象关于直线 y=xy=x 对称。(二)函数的表示法1、函数的三种表示法解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间

20、的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。拓展与提示：(1)(1)函数用列表法表示时，其定义域是表中自变量所取值的全体， 其值域是表中对应函数值的全体。(2)(2)函数用图象法表示时，其定义域是图象投射到 x x 轴上的区域范围，其值域是 图象投射到y y 轴上的区域范围。2、分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同， 可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要函数，形式是:分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段 处匕(x)f2(X)fn(x)x D1x D2 B BX Dn13理，其

21、定义域为 D1UD2U,UDn.14拓展与提示：分段函数中，分段函数的定义域的交集为空集例 中国移动通信已于 2006 年 3 月 21 日开始在所属 18 个省、 市移动公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下:方案代基本月租免费时间(分超过免费时间话费(元/号(元)钟)分钟)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40请问：“套餐”中第 3 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t(月通话量是指一个月内每次通话用时之和)的函数关系式。解析“套餐”中第 3 种收费

22、函数为168,0330,168 0.5(t-330),t 330.3、复合函数若y是u的函数， u又是x的函数， 即y=f(u),u=g(x),x (a,b),u (m,n)，那么 y 关于 x 的函数 y=f g(x) ，x (a,b)叫做 f 和 g 的复合 函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是 g(x)的值域。4、映射设 A，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任何一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之yi=15对应，那么就称对应 f: A fB为从集合 A 到集合 B 的一个映 射。拓展与提示：(1)(1)映射包括集合 A A、

23、B B 以及从 A A 到 B B 的对应法则 f f,三者缺 一不可，且 A A、B B必须非空。A A 中的元素在 B B 中都能找到唯一的元素和它对应，而 B B 中的元素却不 一定在 A A 中找到对应元素，即使有，也不一定只有一个。5、函数解析式的求法1待定系数法。若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然 后利用已知条件列方程或方程组，再求系数。2换元法。若已知函数y二f：“x)的解析式，可令t = x)，并由此 求出x=g(t)，然后代入解析式求得 y=f(t)的解析式，要注意 t 的取值范 围为所求函数的定义域。3赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。4列方程(组)法

24、求解。若所给式子中含有 f(x)，f -或 f(x),f(-x)lx丿等形式，可考虑构造另一个方程，通过解方程组获解。5. 配凑法例解答下列各题：(1) 已知 f(x)=x2-4x+3，求 f(x+1);(2) 已知 f(x+1)=x2-2x，求 f(x);(3) 已知二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求 g(x)。解析(1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x(2)方法一：(配凑法)f(x+1)=(x+1)2-2X-1-2X=(X+1)2-4X- 1=(X+1)2-4(X+1)+3, f(x)=x2-4X+3方法二：(换元法)令 x+1=t

25、，则 x=t-1 ,f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,f(x)=x2-4X+3.(2)由题意设 g(x)=ax2+bx+c,0.Tg(i)=i,g(-i)=4,且图象过原点,I a b c =1,Ja =3,ab+c=5,解得b=2,c =0.c = 0. g(x)=3x2-2x.三、函数的基本性质(一)函数的单调性1、单调性一般地，设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值XI,X2, 当XIX2时，都有 f(Xi)vf(X2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数， 如下图(1)所示。如果对于定义域 I 内某个区间

26、 D 上的任意两个自变量的值XI,X2, 当XIf(X2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数， 如下图(2)所示。(1)18如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调 区间。拓展与提示：(1)(1)定义中的 X X!,X,X2具有任意性，不能用特殊值代替。若 f(x)f(x)在区间 D1D1 , D2D2 上都是增( (减) )函数，但 f(x)f(x)在 D1D1 U D2D2 上不一定是增( (减) )函数。由于定义域都是充要性命题，因此由 f(x)f(x)是增( (减)

27、)函数，且f(为)：:：f(X2)：=X!：X2(X!.X2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。2、函数单调性的判断方法(1)定义法。用定义法判断函数单调性的步骤为第一步：取值。设 x1 x2是该区间内的任意两个值，且 x10,则 f(x)在(a,b)上递增；若当 x (a,b)时, f (x)0= f (x)在a,b 上是增函数，f (xj -f (x2)v0= f (x)在ia,bXrx2Xrx2上是减函数；2(xi X2)f (xi) - f(X2)】0二f (x)在 a,ba,b : 上是增 函数，(xr-x2) f (xj - f (x2)】

28、0二f(x)上是减函数。例 讨论函数f(x)=2(a)在(-2 , +乂)上的单调性。x +22解析设-2x1x2，则ax+2a+12a丄1 2af (x)a.x+2x+2二f(X2)-f(X1)又-2X1X2,120,即a时，上式 0,即 f(X2)f(xd;2=(a1 -2ax22)-(a1 -2a)x 2)=(1 -2a)(1x221x12).=(1 _2a) *Xrx2(X22)(X12)20当 1-2a0,即 f(X2)f(xJ 二当a时，f(x)二兀1在(-2 , + )上为减函数当a1时，仙严丁在(-2, +x)上为增函数3、复合函数的单调性对于复合函数 y=f g(x),若 t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，则 y=f(t)在区间(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是单调函数；若 t=g(x)与 y=f(t) 单调性相同(同时为增或减)，则 y=fg(x)为增函数，若 t=g(x)与 g=f(x) 单调性相反，则 y=ffg(x)为减函数，简单地说成“同增异减”。y=f(t)增减增减t=g(x)增减减增Y=f