二阶微分方程

1、WOR格式专业资料整理二阶微分方程1可降阶的二阶微分方 程一、形如y= f(x)(6.7 )可以通过方程两边两次积分求解。型的微分方程形如(6.7 )式的微分方程是最简单的二阶微分方程，【例题11求微分方程y解对所给方程接连积分二次e2xsinx2得的通解+ cosxC十8 e sinx 2 GxC2这就是方程的通解【例题21 质量为m的质点受力_F的作用沿Ox轴作直线运动设力F仅是时间t函数FF(t)二在开始时刻t0 时F(0) F0随着时间t的增大此力F均匀地减小直到tT '如果开始时质点位于原时 F(T)O且初速度为零求这质点的运动规律解设xx(t)表示在时刻t时质点的位根据牛顿

2、第二定律fl质点运动的微分方程为由题设力从()Q 而FTF(t)随t增大而均匀地减小初2xF(t)dt2二 =二且t Q时F(Q) FQ所以F(t)FQkt 又当tT时F(t) F(1 t)Q于是质点运动的微分方程又写为dt2T)其初始条件为x| t Qqdxi dtt(1一半把微分方程两边积 分dxFQt -ixt2 )Cdt m2T再积分一次得xF0(1t2t3)CtC6Tdx由初始条件x|Odtto|toOCiC20于是所求质点的运动规律为xF0(1t2_ m2t 3)0tT6T、形如yf(xy)(6.8 )型的微分方程。形如（6.8 ）式的微分方程特点是右端不含有y。若设则方程化为f(

3、x,p)这是自变量为x、未知函数为P = p（x）的一阶微分方程。因此可用上一节的方法求解。而后通过积分求出y的表达式。【例题3】求微分方程满足初始条件yjo 二=1，yxo '解所给方程是（6.8 ）型的"设y = P代入方程并分离变量后两边积分，得21叩 ln(1 x ) c由条件=dp =2x dxp1x22P = y * =c(1 +x )Ci；其中cCi = + e所以x2)两边再积分得3x C2又由条件C2 1于是所求的特解为3x 1、形如yf(y(6.9 )的微分方程形如(6.9 )式的微分方程的特点是等式右边没有自变量则有y dpdpdypdp dxdydxd

4、y方程(6.9 )化为i-d这是一个关于自变量 为y，未知函 数则可以利用分离变量法，求 出【例题】求微分方程解设p，则代入方程p f(y, P) dyP p(y)的一阶微分方程。若得到 P p(y)的表达式，y(x)的表达式。yy y2 0的通解pdpdydp2yp在 y =0，P =0时约去P并分离变量dp dy两边积分得1叩 Iny Inc整理得P cycy分离变量后两边积分便得原方程的通解为Iny cx Inc 1CX ce 2其中C，C2为任意实数§ 6.3.2二阶常系数齐次线性微分方 程形如y jP(x)y q(x)yf(x)+ 二(6.10)的二阶微分方程，称为二阶线性

5、微分方程，其中 P(x),q(x),f(x)都是x的已知函数.(1)当 f(x)0时,方程q(x)y0(6.11)称为二阶线性齐次微分方程,关于其它形式的二阶方程，由(2)当f(x) 0时，方程(6.10 )称为二阶线性非齐次微分方程本节我们主要介绍二阶常系数线性齐次方程的通解形 式于求解较为繁难,我们在此不涉及.、二阶线性齐次微分方程解的结构二阶线性齐次微分方程解的结构有如下定理6.1若y1(x)与y2(x)是二阶线性齐次微分方(6.11)的两个 ,c1,c2是任意常 解+c1y1(x) c y2(x)也是方 程(6.1 的解.1)2证明 根据定理，假设有y1+ p(x)y 1 + q(x)

6、yy2 y p(x)y2 r(x)y0.” + P(x)y 2 ' + q(x)y 20 =“ + q(x)c iyi 半 C2y2= 0分别用G,C2乘上面两式并相加，得C1y 1+ p (x)y 1* + q(x)y 1c 2y 2c 1y1 十 C2y2柑 + p(x)c y 卡 C2y2这就是说，yc叩(X)*C2y2(x)是方程yJ p(x)y+q(x)yO 啲解.从形式上看,yc 1戶(X)+C2y2(x)中包含两个任意常数， 而方程y " + P(x)y '+q(x)y二0又是二阶的，那么，它是否就是该方程的通解呢?我们的回答是不一定.这还要看这两个任意

7、常数能否合并成一个任意常数.3x是某个齐次微分方程的两个 例如，假设y1X,产2=解钞応2/2=ctx3c2xcx,它就不能构成通解了 .,但是由于两个常数合并成了一个任意常 也是齐次方程的一个解数般地，设yi,y 2是两个函数，若=k，( k为非零常数)，则称yi与y2是线性相关的；y2若y1k则称y1与y2是线性无关的.因此我们有如下定理.y26.定理的两个线性无关的特解，则2 如果y1(x)与y(x)是二阶线性齐次微分方程(6.11)2yCiyi(x)+C2y2(x)就是所求方程(6.11)的通解.例如,可以验证y1与y2xeX都是二阶线性齐次微分方程y2yy解,且y1X不为常数，即yy

8、2+ XIXe 与 y2xeyGeXC2xex就是方程y2y y 0的通解.线性无关,所以yi与y2的线性组合阶常系数线性齐次微分方程的通解表示由定理6.2可知，求方程(6.10)通解的关键在于找出它的两个线性无关的解*II而方程(6.11)可以看出,y,y,y必须是同类型的函数才可能使等式右端等于零,又指数函3r(r2)(r数 y erx(r为常数）的各阶导数正好具有这种特性erx,y rerx,yI= IIr2erx代入微分方=程erx(r2而erxHo,因此有由此可见,只要r是代数方 程(6.12)求微分方程的解就转化为求代数方程 的解特征方程的两个根叫做 特征根.求解特征方程会出现三种

9、情况”(1)p2p2P2_4q 二04q 0根据特征根的三种不同情况二1) 12因为yir1xe ,y 21)【例题5】pr的一个根,因此,它有可能是微分方程的 解(6.11 得),+ q) =0,erx(6.12)就是微分方（6.1的一个程1）解,从而.代数方 程(6.12)称为微分方 程(6.11)的特征方 程时，r =r2,1 根是不相等的两个实时,厂2,是相等的两个实1 根时,r a bi,r2 a bi,是一对共轭复根1,我们讨论常系数齐次微分方 程(6.1 的通解.0)r2x e是方程的两个特解 三且线性无关，所以微分方程的通解是y Ger1xGer2x.求微分方程y 3y2y十0

10、 的通解.解特征方程为特征根为微分方程对应的两个解为r12,r 21,2xyi e ,y2ex且yi与y线性无关,(r 12因此 所求微分方程的通解为Ge2x C2ex.pr 1pr 1(C12)r 1r_2因为二2,常系数齐次微分方程只有一个特1三解个与y1线性无关的特解y2 ,为此我们设求导后代入微分方程(6.11),整理得+q)u(x)e r1x (2r 1 p)u(x)e r1x因为ri是特征方程的重根q 0,2r 1 p 0,于是上式可化成满足上式的函数有很多此时得到另一个与y1通解为【例题61yirx1eu(x)e r1x,所以0.u (x),我们只需要取最简单的一个u(x)er1

11、x线性无关的特解y2= 卡y (C 1C2X)e rxy1e衆，因此要求出通解就需要寻找u(x) (u(x)不是常数)，即 y2u(x)e 10.x,rxxer2x.为方便，设r 1 r 2r,则方程(6.11)求微分方程为y 6y 9y 0满足初始条件解特征方程为解得特征根为所以微分方程的通解为C2x)e 3x.代入初始条件yxo1,y x00的特解.r2 6r 90r1 r 2 3,7x01,y x0C = 1,C 2 = 3,所以所求微分方程的特解为y 二(13x)e 3x.3)r iabi,= 2a +bi是一对共轭复根当微分方程的特征方程无实数根时，必定有两个不等的复数根。设 r 1

12、a&i 与 r2abi是一对共轭复根,则y二e(ab$x ,y 二e(abi)-是常系数微分方程的两个线性无关的特解1 2+ + _yC1(abi)xC2e(abi)x是微分方程的通解.这里我们得到的是微分方程的复数形式解,不便于应用，为了得到实数形式的通解，利用欧拉公式eabieaX cosbxisinbx, 可得出:I ax -ax It1 e cosbx,t 2 e sinbx是微分方程的两个实数形式的解,因此微分方程的通解为eax(c icosbxC2sinbx).【例题7】求微分方程y " + 2y '+5y =0 的通解.解特征方程为2r 50,有共轭复根1,212i.所以方程通解为xe (C1cos2xC2sin2x).【例题8】求微分方程4y "亠 y = 0 满足 yxo _ = 1,y x0' _ = 1 的特解.解微分方程的特征方程为4r2 弓=0特征根为r1,2 =±t2所以 微分方程的通解为y = Ge