无穷级数知识点

1、1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即:SnlimnUk存在，称级数收敛k 12若任意项级数 Un收敛,n 1Un发散，则称 Un条件收敛,n 1n 1若|Un收敛, n 1则称级数Unn 1绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。2.任何级数收敛的必要条件是lim Un 0 n3若有两个级数 Un和Vn，UnS,V.n 1n 1n 1n 1则 (Un Vn ) Sn 1UnVnS 。n 1n 1 Un收敛,n 1Vn发散，贝U(Un Vn)发散。n 1n 1若二者都发散，则(Un Vn)不确定，如 1,n 1k 1 k 11发散，而 1 1k 10收敛4三个必须记住的常用于比较判敛的参

2、考级数:a)等比级数:narn 0齐收敛,ld 1发散，rb)P级数:1 收敛，p 1n 1 np 发散，p 1c)对数级数:1收敛，p 1n 2 nlnp n发散，p 15.三个重要结论(an an 1)收敛liman存在正项(不变号)级数n 1nan收a；收,反之不成立，a；和 b：都收敛an bn 收,6常用收敛快慢7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法.Un 1 Iim - n Un1收1,发（实际上导致了 Iim n 0）n1,单独讨论（当n为连乘时）2.柯西根值法Iim u7 I1收1,发（当n为某n次方时）1,单独讨论3.比阶法代数式UnVnvn收敛n 1

3、Un收敛，Un发散n 1n 1vn发散n 1极限式limnUnVnA，其中:Un和 Vn都是正项级数。n 11n1Inn 2 . nn1Unn 1 Inn 11nInUn=dx0 1 X1，也可选用基准级数n21冷就可知原级n 1n28任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 Iim Un 0 UnUn 1n莱布尼茨判交错级数I （任意项级数的特例）这是一个必要条件，如果不满足，则（1）nUnn 0是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。（1）nUn 收敛。 n 0 必发散，若只有不满足，则不一定收敛还任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散任意项级数判敛的两个重要技巧:

4、a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。b k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法,9.幕级数an(x X0)n1阿贝尔（Abel）定理如果级数anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛 点收敛，则级数在圆n 0n 1域x x°|内绝对收敛；如果级数anxn当x X1点发散，贝U级数在圆域x 凶外发散。由阿n 0贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x x0 x0 0夕卜，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝

5、尔定理是学好幕级数的关键。如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确n 010幕级数收敛半径、定的正数R存在，使得：收敛半径R :全平面收敛，只有一个收敛点=00,收敛区间x0R,:级数在x x0x0R, x0 R收敛;幕级数的收敛区间是非空点集，对nan（x X0）n至少在x X0处收敛,anXn至少在x 0处收敛。由阿贝尔an(xXo)n，若lim或lim 伍；则根据比值判敛法有n 0n| annlim Fn 1xXoxXo1收敛xXoR= lim-a 收敛。n石nan+1收敛区间和收敛区域已知10limnanan 1定理可以推出：幕级数的条件收敛

6、点只能位于收敛区间端点。收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R上）收敛性待定，故收敛域是x°R,x°R、x0R,xdR、x0R,x0R 或x0R,x0R 四种情况之一。3.在收敛区域内的性质（1）anXn的和函数f x连续并有任意阶导数;n 0X(2)可逐项微分n 0f '(x) (anXn)nanXn 1n 0n 1(3)可逐项积分n 0xx n0 f(x)dx (oanXdx)n 0an n 1x n 0 n 1(4) a“xn绝对收敛n 011利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数-泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项(包括拉氏余项，佩亚若余项)为

7、零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论 丄un u ( 1,1)1 u n 01 一(1)nunu ( 1,1)1 u n 0n eu- u (,)n 0 n!2n 1 sin u(1)nuu (,)n0(2n 1)!2n 1 cosu(1)nuu (,)n0(2n)!ln(1 u)(n1厂匕(1)n1ln2u ( 1,1n 1nn 1n(1 u)(1)(n 1) ncnuCn uu ( 1,1)n 0n!n 02n 1 tanu u - u3 n 0 2n 13 arcta nu(1)nu2n 12n 1u 1,1nnxn 1ln(1 x)17n!1 1 enon! n 1 n 15.幕级数求

8、和方法 函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法构造辅助幕级数法。付立叶级数1 周期函数展开成付里叶级数? f(x)为在l, l上周期为21的周期函数，贝U?特别地，当l时?当f (x)是偶函数?当f (x)是奇函数2非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0, l或 0,，两种区间可以令t -x相互转换,l为了利用付里叶级数展开，必须将f x拓展，其方式有两种，即：f(x)0 x l(1) 偶拓展 令F(x)，使F(x)成为l, l上的周期偶函数，展开后取f ( x)l x 00 x l上的函数值即为f x的付里叶展开。(2) 奇拓展 令F(x) f (x)0 x I，