数列递推公式的九种方法

1、求递推数列的通项公式的九种方法.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值 高中数学联赛的热点之一 一、作差求和法例1在数列 an中，a 3, an d = an，求通项公式an.n(n +1)1 11111解：原递推式可化为：an “ = an则a2 = a1,a3 = a2nn+112231 1 1 1 1 1a4 = a3, , an = an逐项相加得：a a1 1.故 an = 434n 1 nnn二、作商求和法2 2例2设数列 an是首项为1的正项数列，且(n 1)an, - nanan ,a 0 (n=1,2,3)，则它的通

2、项公式是 an =( 2000年高考15题)解：原递推式可化为：(n "n 1 - nan(an 1an)=oan 1 an >0,an 1 nan n 1a21 a32 a43a*n 1an11则Jj二)? 逐项相乘得：即a* =a12 a23 a34andna1nn三、换元法4131例3已知数列 an，其中a1,a2，且当n>3时，an -a*(a*-an<)，求通项公式an ( 1986年393高考文科第八题改编).解：设bn二anan，原递推式可化为：1134111111bn4bn2,bn是一个等比数列，b= a-a1，公比为一.故 bnJ= b1( )()

3、"'=( )"3939339 333故a -an4 = ( )n.由逐差法可得：an( )n.322 3a. -2anj an 1，求通项公式an例4已知数列 an，其中a 1 = 1 ,a2 = 2，且当n > 3时，an -2an： an1 得：(an -an4)(and -an J =1，令 bn =an -an则上式为 bn4 -bn1，因此bn是一个等差数列，b1二a2 - a1 = 1，公差为1.故bn二n .。由于 b1 b2bn 4 二 a? - a1 *3 - a?a* - a* 4 二 a* -1又 b1b2bn4二9 所以 a*1=1 n

4、(n-1)，即an=丄(n2n 2)2 2 2四、积差相消法解 将递推式两边同除以 ，anan/整理得:an-2an J=1an Jan 2设bn= an ，则bian 1a=1， bn - 2bn J . ao二1，故有2bi = 1 b3 '2b2 = 1bn - 2bn 1 - 1n -1)由 2n'+ 2nJ3 + +(n 1) 20得bn=1 2 22 ：；- ：；2n= 2n -1，即2n -1.逐项相乘得：an = (2 -1)2 (22 -1)' (2n21），考虑到a。= 1 ,、(2-1)2(22 -1)2，(2n -1)2(n -0)(n -1)五

5、、取倒数法6已知数列 an中，其中a1 = 1,且当n2时，anan2an1，求通项公式an。将anan 12an41两边取倒数得:2，anan 41 1这说明是一个等差数列，首项是1，公差为2，所ana1丄=1an(n -1)2=2n -1，即an六、取对数法例7若数列 an中，a1=3且an 1 = an2 （n是正整数），则它的通项公式是an（2002年上海高考题）解 由题意知an>0，将anq =an2两边取对数得lg an彳=2lg an，即lg an 1二2，所以数列lg an是以Ig a1=lg3lg an为首项，公比为2的等比数列，lgan = lg a1 2nJ = l

6、g32，即an =32心.七、平方（开方）法例8若数列 an中，a1=2且an3，a寫（n 一 2），求它的通项公式是an.解 将a - 3 ' an 4两边平方整理得 an - an 4 = 3。数列 an是以a1 =4为首项，3为公差的等差数列。a；二皆'（n T） 3 =3n 1。因为 an >0,所以 an- 1。八、待定系数法.其变换的基本形式如下:待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路1、an= Aan- B（A、B为常数）型，可化为and =A（ an）的形式.例9若数列 an中，a1=1，Sn是数列an的前n项之和，

7、且Sn 1鱼一3+4Sn（n _ 1 ），求数列 an的通项公式是解递推式Sn 1色可变形为3 4Sn1Sn 1=3丄4Sn(1)设（1 ）式可化为丄一 3(丄Sn 1Sn比较（1）式与（2）式的系数可得，=2，则有-2 = 3（丄-2）。故数列Sn 2是以2=3为首项，3SnS1为公比的等比数列。 2=3 3n= =3n。 Sn所以Sn1n3 -1当 n 一2，a* =Sn - Sn-2 -3n_ 1_1_ 3n _2 3nJ1 _2 _ 32n _8 3n 12。数列 an的通项公式是 an-2-3n32n -8 3n 12(n =1)(n -2) °2、an 1 二 Aan B

8、 Cn（A、B、C为常数，下同）型，可化为an* +扎Cn* = A（an +扎Cn）的形式.例 10 在数列 an中，a -1, an 彳=2an 43n_1,求通项公式an。解：原递推式可化为:am 3n =23心)比较系数得 =-4，式即是：an q - 4 3n=2& -4 3n').则数列an -4 -3n4是一个等比数列，其首项14a1 - 4 3- 5，公比是 2.n 4n 4 an4 35 2n-4n-1即 an =43-5 23、an- Aan1 Ban 型，可化为 an.2''an1= (A，)(an1，an)的形式。例 11 在数列 an中

9、，a1 - -1,a2 = 2，当 n N， an .2 二 5an6an 求通项公式 an.解：式可化为：比较系数得 =-3或 =-2，不妨取 =-2.式可化为： a. i -2an =4 -3n-.利用上题结果有: an =4 -3nl -5 2n丄4、an1 =Aan Bn C 型，可化为 an 打討n ：二2 = Aan 耐（n- 1）：二2的形式3例12在数列 an中，a1，2an -an=6 n-3 求通项公式an.2解式可化为：2（an亠“n亠；.2） = an亠“（n -1）亠；.2比较系数可得:'1 =-6，2 =9，式为 2bn = bn an，最后用数学归纳法证明

10、猜想是正确的。bn 是一个等比数列，首项1即 an -6n 9=9 （）n2九、猜想法91b| = a 6n 9 ，公比为221故 an = 9 ()n 6n - 9.2 bn9 1=2(2)运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求岀a1,a2,a3,，然后猜想岀满足递推式的一个通项公式11例13在各项均为正数的数列an中，Sn为数列an的前n项和，Sn= （an+），求其通项公式。2an求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如an 2二panqan（p,q是常数）的数列形如a1二m）1,a2 =m）2,an 2二pa. 1 qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通

11、项a“，其特征方程为x2二px q若有二异根 ，则可令ac：-n ' c/：n（C1,C2是待定常数）若有二重根二，则可令a（C1 n。2）：（5 02是待定常数）再利用a1二口侶?二m?,可求得eg，进而求得a“ .例1 已知数列an满足印=2,a22 =3an 1 -2an（ n，N*），求数列an的通项an .解：其特征方程为x2 =3x-2，解得x1,x2，令a.1n * C2 2n，由 a, h J® =2，得C1 二11,C22 2解：其特征方程为4 x21=4x -1，解得 = X2 ：令 an =(C1 + nc2)E1a (c1 C2)1由211 a2 =(

12、G 2q)2i4，得 G-4，C2 =63n -22*a?二 C 4c2 二 3 例 2.已知数列a.满足 ai =1,a2 =2,4an .2 =4an 1 -an(n N )，求数列a.的通项 a“ .、形如氛=詰的数列 对于数列 an 2 二 Aan B，q =m, n N*（代 B,C,D 是常数且 C=O,AD-BC = O ）Can +D其特征方程为x二AX B，变形为Cx2 （D - A）x - B =0Cx +D若有二异根，则可令 无二 =c 吐二（其中C是待定常数），代入a1,a2的值可求得C值. an 卅一pan P这样数列是首项为，公比为C的等比数列，于是这样可求得an.gn-0Ja1-B若有二重根:=，则可令1 c （其中C是待定常数），代入a1,a2的值可求得c值.an十一僅 an af1这样数列是首项为，公差为C的等差数列，于是这样可求得an .lan -口 jan a此方法又称不动点法.例3.已知数列an满足a2,an 工（n 一 2），求数列务的通项务.2az+1解：其特征方程为x =x 22x 1，化简得2x2-2=0，解得 X1=1,X21，令时一1an1由得比普，可得1，儿数列需刁i是以話石为首项，以4为公