数列知识点梳理

1、数列知识点梳理一、数列的相关概念（一）数列的概念1.数列是按一定顺序排列的一列数，记作a2, a3an,，简记an /.2数列 也 渝第n项an与项数n的关系若用一个公式 a. = f（n）给出，则这个公式叫做这 个数列的通项公式。3. 数列可以看做定义域为 N”（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。（二）数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）（三）数列的分类1. 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数 3. 从函数角度考虑分：递

2、增数列、递减数列、常数列、摆动数 递增数列的判断：比较 f（n +1）与f（n）的大小（作差或作商）（四）数列通项an与前n项和Sn的关系nan 一 Sn1. S = ai a2 a a* = ' ai 2i叫、等差数列的相关知识点1 .定义:an 1 - an - d (常数)(n N *)或an-an=d(常数)(n N 且n _ 2)。当d>0时，递增数列,d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。2. 通项公式：an =4 (n - 1)d = am (n - m)d 二 dn (aj - d) = pn qd =旦2 , c=an am是点列（n, an）所在直线的

3、斜率n 1n -m3.前n项的和：Sn“1 ndn2 (a1-d)n=An2 Bn2 2 2 2S 空是等差数列。n4. 等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2 b=a+c5、等差数列的判定方法（n N*） （1）定义法：a n+1-an=d是常数（2）等差中项法：2an an ' an 2通项法：an = pn q 前n项和法：Sn = An2 - Bn6. 性质：设an是等差数列，公差为 d,则（1） m+n=p+q则 am+an=ap+aq 特别地，当 m n = 2p 时，则有 am an =2ap an, an+m an+2m组成公差为 md的等差数列.S

4、 n, S 2n-Sn, S 3n-S2n组成公差为 fd的等差数列. 若an、bn是等差数列，则kan、kan pbn （ k、 p是非零常数）、ap nq（ p,qN*）均是等差数列，公差分别为：A若等差数列an、 bn的前n和分别为An、 Bn，且f（n），则Bn咅=（严-号二f（2 n-1）.如设 an与bn是两个等差数列，它们的前n项和bn（2n -1）bnB2m分别为Sn和Tn，若巫=如匕，那么空=，色=Tn 4 n-3bnb7（6）Sn的最值：法1、可求二次函数 Sn =an2 bn的最值；法2、求出CaJ中的正、负分 a ±0界项，即：当a1 0，d <0，解不

5、等式组可得Sn达到最大值时的n值.当13卅兰0an 兰 0a1 ：0, d0,由可得Sn达到最小值时的 n值.例：若务是等差数列，首项卅兰0a1 -0, a2003 - a2004 - 0，a2°°3曰20。4 ：0，则使前n项和Sn 0成立的最大正整数 n是（答：4006）7、 a1,d,n,an,Sn知三求二,可考虑统一转化为两个基本量a1,d ;或利用数列性质,8、巧设元：三数：a - d, a, a d , 四数：a-3d,a-d,a，d,a-3d9、 项数为偶数2n的等差数列an有S偶5奇=nd , 鱼=旦 ,，S禺an十S2n =门 *2.）= n（a2 az&

6、quot;二 n（a.，a.计）, a. 1 为中间两项）项数为奇数2n -1的等差数列有S22 =（2n - 1）an（an为中间项），5奇nS奇-S偶=an,奇.例、项数为奇数的等差数列 an中，奇数项和为80 ,偶S偶n T10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项， 其项数不一定相同，即研究 an =bm.三、等比数列的相关知识点(类比等差数列)1、定义：an L -q ( q 为常数，q=0,an=0, n N .)或an当 a,- 0且q 1;a-i：0且0 ： q ：1

7、时，递增数列当 a,- 0且0 : q : 1;a,: 0且q .1 时，递减数列当q cO时,当q =1时，摆动数列常数数列2、通项公式：n /n_man = a1q = ( a1，q 严° ) an = amq ='g (q = 1)3、前n项和：Sn=<a1(1_q )(要注意 q 的讨论)=Aq - A (q1)(ql4、等比中项：x、G、y成等比数列二G =xy，或G=±JXy只有冋号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数a,b(a = b)的等差中项为 A,等比中项为B,则A与B的大小关系为5、等比数列的判定方法(n N*)(1)定义法：a

8、n+1/a n=q是常数(2) 等比中项法：an = an «an .2(3)通项法：an二cqn( c, q为非零常数).(4) 前n项和法：Sn = Aq n - A6、性质：an 是等比数列2(1)若 m，n =p，则 am，a.乞卩 3q特别地，当 m n = 2p 时，则有 am.an 二 ap例：在等比数列an中，a3+a8 =124, a4a7 = 512，公比q是整数，则ag=(答： 512);各项均为正数的等比数列an中，若a5 a6 =9 ,则I ogat I oga 2屮loga 10= (答：10)。(2 ) an, an+m an+2m组成公比为的等比数列.

9、(3) Sn, S2n -Sn, Ssn -翁(& =0)仍为等比数列，公比为ql例、在等比数列an中，Sn为其前n项和，若S30=13S10,S10S30=140 ,贝US?。的值为 (答：40)(4)若an是等比数列，则|an|、kan成等比数列；若务、5成等比数列，则anbn、讣成等比数列；公比分别为：7、 a1,d,n,an,Sn知三求二，可考虑统一转化为两个基本量a1,d ；或利用数列性质，8、巧设元：三数：a/d,a,a d , 四数：a/3d,a/d,a. d,a 3d9、 .非零常数列既是等比数列，又是等差数列故常数数列an是此数列既成等差数列又成等比数列的 条件例、设

10、数列an的前n项和为Sn ( n N ),关于数列an有下列三个命题：若an =an1 (nN)，则既是等差数列又是等比数列；若Sn二an例：已知a = 1,an，求an (答: 3an 斗+1 bn a、bR ，则 唁,是等差数列；若 Sn =1：i.1 n，则?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 10、正数列 an成等比，则数列log aan( a 1)成等差数列；若数列 an成等差，则数列aan成等比数列；例、已知 a 0且a=1，设数列Xn满足loga Xn 1 logaXn (nN*),且儿 X2 III 儿00 =100，则 X101 - X102 TH X200 =.(答：1

11、00a100)11、 在等比数 列an中，当项 数为偶数2n时，S偶二qS?；项数为 奇数2n -1时，S奇 - a1 qS偶.12. 会从函数角度理解和处理数列问题四、求通项1、等差、等比数列公式法；2 、形如a n+1-a n=f(n)形式，求法：累加法；3、形如an+1=an f(n),求法：累乘法；4、形如an+1=Aan+B (AB丰0),求法：构造法 例、已知 a1 =1,a3an 2，求 ；已知 a1,a2an ' 2n 求5、形如牛二恥(k -0)形式，求法:m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法1an-)；已知数列满足3n 2a1=1 ,.anr - ；和=.；恳0

12、書，求 an （答:Si ,5=。6、已知Sn,求an,求法：阶差法. 即利用公式 a =注意n§nSn_1，（n 餐）定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当 n _2的关系式，从而决定能否将其合并。例、已知an的前n项和满足log2（Sn 1 n1,求 （答：二寺“；）；111数列a*满足一a12 a2n an = 2n 5 ,2222n求an (答: an弓叩n1丿2, n r 27、已知aj_a2n）求an，用作商法an二2）.例、数列an中, f，（ n2）a1 =1,对所有的n_2都有a1a2a32厂ran= n，贝V a3a5 =(61)16五、

13、数列求和的常用方法:1、公式法：（等差、等比数列直接用公式）常用公式：1+2+3+n = Mn*1）2 12 22 32 n2 = nn 1 2n 13333nfn+1 13 23 3 -n3二2-例、等比数列an的前n项和 Sn = 2"1,则 a；2丄 2丄“丄 2 a2 a3an（答: 1）；32、等差数列的绝对值的和（已知等差数列前 n项和为Sn） 当 a1>0,d<0 时，右 ak0,a k+1 <0,则:S=|a 1 |+|a 2|+|a k|+|a k+1|+ |a n|= 当 a1<0,d>0 时，若 akW 0,a k+1>0,则

14、：S=|a 1|+|a 2|+ |a k|+|a k+1 |+ |a n|=3、分组求和法：1111例、求数列 3 ,5-,7,9，的前n项和4816324、并项求和法例、Sn =1 3-5 7-|( (-1)n(2n-1) (答: (-1)n n )5、倒序相加法：已知2x f(x)二厂21十X例、求证：C：3cn 5C： .(2n - 1)C； =(n - 1)Jn1 1 1，则 f(1)+f(2)+f+ f + £)+ £)+£(；)=6、裂项相消求和，常见类型n(n 1)n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2) n k . n1 1例、

15、求和：(3n _2)x(3n+1)144 73n 1在数列an中，an =,且Sn=9，则(答:99)0的等比数列。7、错位相减法：适用于gnbn其中 an是等差数列，'bn 是各项不为例、an为等比数列,Tn =n(n -1)a| 2anJ - an，已知 T1 ,an的首项和公比；求数列Tn的通项公式(答：印=1 , q = 2 ；= 2n 1 - n - 2)；8、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。1 112n例、求和：1-(答：)1+2 1+2+31+2+3 + 山+ nn+1六、等比数列的前 n项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题例如，第一年产量为 a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1亠.其中第n年产量为a(1 r)n J，且过n年后总产量为：2 na a (1 r)a a(1 r) a(1 r) . a(1 -