最熟悉的路和最近的路

1、最熟悉的路和最近的路    1 生活场景倘若你要到某地去,是走“最熟悉的路”还是走“最近的路”？这真的是一个问题,因为我们常常面临的情形是：走“最熟悉的路”,就有可能走些弯路,费时费力,成本消耗大,不合算；走“最近的路”,有可能是一条你不熟悉的路,你得先探寻这条“最近的路”在哪里. 虽然“最近”,是捷径,但打探需要一个过程,而且极有可能是一个很漫长的过程,这就导致走“最近的路”却不一定是最快.我在这里赘述的这个生活场景和我们的数学教学有什么关联呢？还是让我们先来反观一下我们的教学写照吧!2 教学写照2.1 解题过程中,学生习惯于走“最熟悉的路”案例：在解

2、答题目“已知m2-6m-4=0,n2-6n-4=0,且mn,则m+n= ”时,据笔者观察,在我们的教学过程,学生们常常会出现下面三种解法：方法1：求根公式法用求根公式分别解得m=3±13,n=3±13. 因为mn,所以当m=3+13时,n=3-13；当m=3-13时,n=3+13. 可见不管怎样,m+n的值都是3+13+3-13=6.方法2：因式分解法由m2-6m=4,n2-6n=4两式相减得m2-6m-(n2-6n)=0,即m2-n2-(6m-6n)=0,变形得(m+n)(m-n)-6(m-n)=0,m2-6m-4=0,n2-6n-4=0,且mn,(m-n)(m+n-6)

3、=0,又mn,所以m+n-6=0,即m+n=6.方法3：韦达定理法由于m2-6m-4=0,n2-6n-4=0,且mn,不难联想到m、n是一元二次方程x2-6x-4=0的两个不同的根,因此,根据一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)可知,m+n=6.上述三种解法中,方法2需要一定技巧,方法3层次略高,但省时省力,符合命题者考查意图,很多教辅书上给出的答案也是如此.但是,笔者在教学过程中发现,面对此题,绝大数学生都会采用方法1,很少采用方法2和方法3. 下面是针对此题的解答方法对初三下期(学生已全面学习了初中数学知识)处于复习阶段的班级(50人)进行调查后的一个统计表：甚至我还发现,就算遇到：“3

4、m2-2m-5=0,5n2-2n-3=0,其中m、n为实数,则m-1n=( )”之类的题目,学生也爱选择方法1,先分别用求根公式求出m、n,只不过常常会因要分类讨论,而且计算十分复杂,最后无功而返.为什么会出现这么多人都去追随“方法1”这种情形？想来想去,其实,学生完全是在选择了一条自己“最熟悉的路”. 我们从成人的角度想想,在一元二次方程的学习过程中,有什么比“解一元二次方程”更根深蒂固的呢？我们花了大部分时间在学习一元二次方程的解法啊. 所以看到m2-6m-4=0和3m2-2m-5=0不由分地就想到用求根公式去求方程的解这完全是情理之中的事了.2.2 解题教学时,教师总希望学生走“最近的路

5、”像方法3这样巧妙的方法,学生为什么会想不到呢？就算老师讲过几遍很多学生遇到相同问题时仍然想不到. 这是一个让很多老师不容易想通的问题,并且这样的情形常常伴随着我们的教学,比如：进入初中,学习了一元一次方程后,面对一些用方程解决起来比较容易的应用题,一些学生爱去列较为复杂的算式. 问其原因：小学时他就是这样做的,列算式解应题的很多招式已在他的头脑里扎了根了!学习二元一次方程组时很多学生“偏爱”一元一次方程!遇到垂直平分线、角平线时不直接用垂直平分线、角平线分线的性质,说明角等、边等时总要选择证明三角形全等!“面积法”可以巧妙地解决很多几何问题,但我们的学生一般都不会走上这条“路”这里面的原因究

6、竟是什么呢？其实说起来也比较简单. 这也如我在文前提到的生活场景所描述的一样：学生在解决问题时,也爱走“熟悉的路”,思维有定势,他们总是从自己的知识起点、认知起点、生活经验出发认识和解决问题,是学生元认知能力的的表征,这符合“最近发展区”理论,属于学习心理学上的问题. 在有“最熟悉的路”走的情况下,很多人懒于对“最近的路”进得寻找和探究,甚至主动放弃走“最近的路”.但是,在教学过程中,一些教师又常常希望学生能走“最近的路”. 传统的解题观把数学问题的解决定位于求出问题的答案. 随着思想观念的不断更新,人们对数学解题的内涵逐渐获得更为清晰的理解,特别是新课程理念的广泛接受,创造性人才的培养要求,

7、使人们认识到数学解题不仅仅是结论的获得,更为重要的是在结论获得的基础上的进一步思考和探索. 也就是说,作为学习任务的数学解题存在不同的层次的水平,比如方法1、方法2、方法3显然就体现了这一点.教师希望学生能走“最近的路”显然不只是图其“近”,图其方便省时省事,把学生从“最熟悉的路”拉到“最近的路”是引导学生从高层次思维水平上去解决问题,这是教师关注学生解题的过程、策略以及思维方法的具体表现,这是数学解题教学的较高境界.3 教学碎思3.1 要关注学生是怎样“抓住老鼠”的,要引导学生多方向多角度思考和探究解决问题的方法,学会识别和鉴赏“最近的路”“红猫黑猫,只要抓住老鼠就是好猫”,这是一句有中国特

8、色的名言,但在解题教学过程中,它还是一句经得起检验的“名言”吗？非也!G.波利亚在怎样解题中给出了一个宏观的解题程序,分成四步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾. 这一程序影响了和影响着一代一代的数学学习者,是数学教育研究者广泛认同的观点. 事实上,如果我们只图“抓住老鼠”,实际上只实现了波利亚关注的前三步,而淡化甚至摒弃了波利亚高度关注的第四步. 波利亚重视解题后的思考,把其作为数学解题的一个重要步骤. 他认为一个问题解决后,解题者应该考虑有没有其他的解题方案,有没有更一般的或特殊的结论.为什么要高度关注“第四步”？放到今天的教育背景下,从创造性人才的培养角度来看,其积极意义不言而喻. 人

9、们用最熟悉的方法解决问题,而不是用最优解法,这是人的潜意识决定的. 那些思维品质优秀对数学问题有强烈的探究欲望的人,在用最熟悉的方法解决之后,还会精益求精,寻求最优解. 如果只关注解题的前三步,必然会让很多人的思维长期处于低层次的训练之中.以方法1、方法2、方法3为例,用方法1的确能求出一元二次方程的根,如果不怕麻烦,也能解决很多问题,但这样的思维只停留在识记和简单应用水平上,而方法3却高屋建翎地看到了其中的根与系数之间的关系,联想到“m、n是一元二次方程x2-6x-4=0的两个不同的根”,这就是创造性思维的体现了. 从这里我们也可以看出,作为一名教师我们不应该只关注学生是否“抓住了老鼠”解决

10、了问题,更应该关注学生是怎样“抓住老鼠”怎样解决问题的. 同时,解决问题的办法不只有一种,教师要引导学生多方向多角度思考和探究问题,一题多解,一题多练,以批判的眼光有鉴赏地寻找最优化的办法,从而走上“最近的路”. 我们可以想象,一个数学学习者是不难在方法1、方法2、方法3之间作出自己的选择的. 同样,如果教师多让学生体会方程解决问题的优越性,学生也会很快接受一元一次方程而不会总是停留在列算式解应用题的水平上.3.2 教师要当好“引路人”,对“最近的路”不能简单告诉,要暴露每一条路的发现过程,也不能“为技巧而技巧”人们都说,教师是学生学习的引路人. “引路人”该如何引路？“简单告诉”是日常生活中

11、“指路人”的做法,而作为教师却不能“简单告诉”,要注意暴露每一条路的发现过程,应该引导学生自己去发现“路”在哪里,“路”该如何去走.一些教师讲解题目时,很少讲解解法的发现过程,学生只知其然,不知其所以然,解题时只能机械地模仿. 数学教育的理论和实践也都证明：在解题教学中,把解题思路的探索过程,包括成功的思路和失败的尝试都展示、暴露给学生,对帮助学生学会解题、提高思维能力有着十分积极的作用. 教学时,要让学生清楚解法是如何想到的？思路是怎样打通的？重新审视条件和结论,该引发怎样的新思考？教师还要“稚化”自己的思维,站在学生的角度,有意识地退回到与学生思维相仿的思维去思考问题.“最近的路”也可以是

12、“最熟悉的路”,“最近的路”不等同于“技巧”. “最近的路”应是从学生实际情况出发,从众多解法中分析、归纳、提炼出来的通法,它应具有普遍性. 数学解题过程中有些技巧的使用范围较小,它是通法的发展,通法的变式. 我们不能把“技巧”当作“最近的路”指给学生,不能“为了技巧而技巧”,要重视通法,当然,也不能忽视技巧. 比如解法2,用的是因式分解法,它就有一定的技巧性,但它的适用范围狭窄,把它用到“3m2-2m-5=0,5n2-2n-3=0,其中m、n为实数,则m-1n=( )”这题目中去,就困难了!3.3 每一条通向终点的“路”都有其存在的合理性,“最近的路”是永恒的数学解题价值取向每一条通向终点的

13、路都有其存在的合理性. 由于解题思维的复杂性和个人解题经历的多样性,所以,数学解题中的每一条路也都有其存在原合理性.低层次的解题能够促进学习者完善认知结构的构建,高层次的解题能培养学习者的创新思维,各得其所. 在教学过程中,教师不能因学生走的低层次的“路”而横加指责,学生也不能因没能走“最近的路”而自惭形秽. 在思考和探索的过程中,低层次的“路”和高层次的“路”都很重要,它反映人的思维能力发展的由易到难、由简单到复杂、由低级到高级的循序渐进的过程.数学解题的目标应使得学习者获得对数学本质规律更为真实的理解,并在数学领域获得可持续的发展,发展不仅包括知识建构的不断完善,而且包括思想策略的顺利迁移

14、,乃至学习创造潜能的开发. 正是基于这个目标,当学生行走在不同的“路”上,我们应有对“最熟悉的路”和“最近的路”的关注,要引导学生在新的起点上进行对其数学发展更有价值、更为有益的活动,从效益、效率、效果的角度上思考,找到“最近的路”,走向“最近的路”应是永恒的数学解题价值取向.参考文献1于国海.优化与生成数学解题的价值取向J.数学通报,2011,22罗增儒著.数学解题学引论M.西安：陕西师范大学出版社,20083朱华伟,钱展望著.数学解题策略M.北京：科学出版社,2009作者简介：廖帝学，男，1973年生，四川广安邻水人，主要从事初中数学教育及初中数学教师专业成长研究，发表各类文章上千余篇.  &