电阻电路的一般分析

1、电阻电路的一般分析第第3 3章章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析l重点重点 熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法： 1 1 支路电流法支路电流法 2 2 回路电流法回路电流法3 3 节点电压法节点电压法电阻电路的一般分析l 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法 (1) 普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。 复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。不同

2、可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。（2）元件的电压、电流约束特性。元件的电压、电流约束特性。（1）电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律。定律。l 方法的基础方法的基础(2) 系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。电阻电路的一般分析l 网络图论网络图论BDACDCBA当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示:每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。任何节点不含有偶数条数电阻电路的一般分析3.1

3、 电路的图电路的图1. 1. 电路的图电路的图R4R1R3R2R5uS+_i抛开元抛开元件性质件性质一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路85 bn 元件的串联及并联元件的串联及并联组合作为一条支路组合作为一条支路64 bn 65432178543216有向图有向图电阻电路的一般分析(1) (1) 图图( (Graph)G=支路，节点支路，节点从图从图G G的一个节点出发沿着一些支路连续的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路移动到达另一节点所经过的支路构成路经。经。(2) (2) 路径路径 （3 3）连通图）连通图图图G G的任意两节点间至少有一条路经的任意两节点间

4、至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。个分离部分。电阻电路的一般分析(3) (3) 子图子图 若图若图G1中所有支路和结点都是图中所有支路和结点都是图G中中的支路和结点，则称的支路和结点，则称G1是是G的子图。的子图。l 树树 (Tree)T T是连通图的一个子图满足下列条件：是连通图的一个子图满足下列条件：(1)(1)连通连通 (2)(2)包含所有节点包含所有节点 (3)(3)不含闭合路径不含闭合路径电阻电路的一般分析树支：构成树的支路树支：构成树的支路连支：属于连支：属于G而不属于而不属于T的支路的支路2 2）树支的数目是一定的：）树支的

5、数目是一定的：连支数：连支数：不不是是树树1 nbt )( 1 nbbbbtl树树特点特点1）对应一个图有很多的树）对应一个图有很多的树电阻电路的一般分析l 回路回路 (Loop)L L是连通图的一个子图，构成一条闭合是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：路径，并满足：(1)(1)连通连通(2)(2)每个节点关每个节点关联联2 2条支路条支路12345678253124578不是不是回路回路回路回路2 2）基本回路的数目是一定的，为连支数）基本回路的数目是一定的，为连支数)( 1 nbbll特点特点1）对应一个图有很多的回路）对应一个图有很多的回路3 3）对于平面电路，网孔数为基本回路

6、数）对于平面电路，网孔数为基本回路数电阻电路的一般分析基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)12345651231236支路数树枝数连支数支路数树枝数连支数 结点数结点数1基本回路数基本回路数结论结论1 lnb结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝基本回路具有独占的一条连枝电阻电路的一般分析例例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。本回路。876586438243电阻电路的一般分析l 割集割集Q ( (Cut set ) )Q是连通图是连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合

7、，具有下述性质： (1)(1)把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)(2)任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219876543219割集：（割集：（1 9 6）（）（2 8 9）（）（3 6 8）（）（4 6 7）（）（5 7 8）（3 6 5 8 7）（）（3 6 2 8）是割集吗？）是割集吗？基本割集基本割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1连支集合不能构成割集连支集合不能构成割集电阻电路的一般分析3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数1.1.KCL的独立

8、方程数的独立方程数0641 iii654321432114320543 iii0652 iii0321 iii4123 0 结论结论n个结点的电路个结点的电路, 独立的独立的KCL方程为方程为n-1个。个。电阻电路的一般分析2.2.KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数的独立方程数=基本回路数基本回路数=b(n1) =b - n + 1结结论论n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路, 独立的独立的KCL和和KVL方程数为：方程数为：bnbn )()(11电阻电路的一般分析 3.3 3.3 支路电流法支路电流法 (branch current method )(branch cu

9、rrent method )对于有对于有n n个节点、个节点、b b条支路的电路，要求解支路电条支路的电路，要求解支路电流流, ,未知量共有未知量共有b b个。只要列出个。只要列出b b个独立的电路方程，便个独立的电路方程，便可以求解这可以求解这b b个变量。个变量。以各支路电流为未知量列写电路方以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。程分析电路的方法。1 1. 支路电流法支路电流法2 2. 独立方程的列写独立方程的列写（1）从电路的）从电路的n个结点中任意选择个结点中任意选择n-1个结点列写个结点列写KCL方程方程（2）选择基本回路列写）选择基本回路列写b-(n-1)个个KVL方程

10、方程电阻电路的一般分析R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234例例0621 iii1320654 iii0432 iii有有6个支路电流，需列写个支路电流，需列写6个方程。个方程。KCL方程方程:取网孔为基本回路，沿顺时取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列针方向绕行列KVL写方程写方程:0132 uuu0354 uuuSuuuu 651结合元件特性消去支路电压得：结合元件特性消去支路电压得：0113322 iRiRiR0335544 iRiRiRSuiRiRiR 665511回路回路1回路回路2回路回路3123电阻电路的一般分析支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：

11、(1) (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2) (2) 选定选定( (n - n - 1)1)个节点，列写其个节点，列写其KCL方程；方程；(3) (3) 选定选定b - n + b - n + 1 1个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程； ( (元件特性代入元件特性代入) )(4) (4) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到b b个支路电流；个支路电流；(5) (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路电流法的特点：支路法列写的是支路法列写的是 KCL和和KVL方程，方程，

12、所以方程列所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。情况下使用。电阻电路的一般分析例例1.n1=1个个KCL方程：方程： 节点节点a: -I1 -I2 +I3 =0求各支路电流及电压源各自发出的功率。求各支路电流及电压源各自发出的功率。解解(2) b( n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= 6 U= US7I111I2=70-6=641270V6V7 ba+I1I3I27 11 20371100117111 12187116011641101 40676006471012 AI620312181 AI2203

13、4062 AIII426213 WP42070670 WP12626 电阻电路的一般分析例例2.n1=1个个KCL方程：方程： 节点节点a：I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）电路中含有理想电流源）解解1.(2) b( n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3= U7I111I2=70-Ua1270V6A7 b+I1I3I27 11 增补方程：增补方程：I2=6A+ + U _ _1解解2.70V6A7 b+I1I3I27 11 a由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程 节点节点a：I1+I3=6避开电流源支路取回路：避开电流源

14、支路取回路：7I17I3=70电阻电路的一般分析例例3.I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解11I2+7I3= 5U7I111I2=70-5U增补方程：增补方程：U=7I3a1270V7 b+I1I3I27 11 + + 5U _ _+U_有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1) (1) 先将受控源看作独立源列方程；先将受控源看作独立源列方程； (2) (2) 将控制量用未知量表示，并代入将控制量用未知量表示，并代入(1)(1)中所列的中所列的 方程，消去中间变量。方程，消去中间变量。电阻电路的一般分析ab

15、例例求求: Rab解解1连接等电位点连接等电位点对称线对称线ab23 RRab 解解2断开中点。断开中点。解解3确定电流分布。确定电流分布。ii/2i1i24/21iii RiiiiRUab23)2422( 电阻电路的一般分析3.4 3.4 回路电流法回路电流法 (loop current method)(loop current method)l基本思想基本思想为减少未知量为减少未知量( (方程方程) )的个数，假想每个回路中的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。线性组合表示。来求得电路的解。1.1

16、.回路电流法回路电流法以基本回路中的回路电流为未知量以基本回路中的回路电流为未知量 列写电路方程分析电路的方法。当列写电路方程分析电路的方法。当 取网孔电流为未知量时，称网孔法取网孔电流为未知量时，称网孔法i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2独立回路为独立回路为2 2。选图示的两个独立。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：回路，支路电流可表示为：1222311lllliiiiiii 电阻电路的一般分析回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对

17、独立回自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写路列写KVL方程，方程数为：方程，方程数为：l列写的方程列写的方程与支路电流法相比，与支路电流法相比，方程数减少方程数减少n- -1个。个。回路回路1：R1 il1+ +R2(il1- - il2)- -uS1+uS2=0回路回路2：R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0整理得：整理得：(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2)(1 nbi1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il22 2. 方程的列写方程的列写电阻电路的一般分析R11=R1

18、+R2 回路回路1 1的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律：R22=R2+R3 回路回路2的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。 自电阻总为正自电阻总为正。R12= R21= R2 回路回路1 1、回路、回路2 2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。取正号；否则为负号。ul1= uS1-uS2 回路回路1 1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2= uS2 回路回路

19、2 2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。反之取正号。电阻电路的一般分析R11il1+ +R12il2=uSl1R12il1+ +R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：对于具有对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有个回路的电路，有: :其中其中:Rjk:互电阻互电阻+ : 流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同- - : 流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0 : 无关无关R11il1+R12il1+ +R

20、1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+ +Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正)电阻电路的一般分析例例1.用回路电流法求解电流用回路电流法求解电流 i.解解1独立回路有三个，选网孔为独立回路：独立回路有三个，选网孔为独立回路：i1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(035252111 iRiRRRiR)(035432514 iRRRiRiR)(（1 1）不含受控源的线性网络）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。 （2 2）当网孔电流均取顺（或逆时）

21、当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，针方向时，Rjk均为负。均为负。表明表明32iii RSR5R4R3R1R2US+_i电阻电路的一般分析RSR5R4R3R1R2US+_i解解2只让一个回路电流经过只让一个回路电流经过R5支路支路SSUiRRiRiRRR 34121141)()(0321252111 iRRiRRRiR)()(034321221141 iRRRRiRRiRR)()()(i1i3i22ii 特点特点（1）减少计算量）减少计算量 （2）互有电阻的识别难度加）互有电阻的识别难度加 大，易遗漏互有电阻大，易遗漏互有电阻电阻电路的一般分析回路法的一般步骤：回路法的一般步骤： (1) (

22、1)选定选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2)(2)对对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；方程； (3) (3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l 个回路电流；个回路电流；(5)(5)其它分析。其它分析。(4)(4)求各支路电流求各支路电流( (用回路电流表示用回路电流表示) )；电阻电路的一般分析3.3.理想电流源支路的处理理想电流源支路的处理l 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。例例RSR4R3R1R2US+_

23、iSU_+i1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(UiRRiR 22111)(UiRRiR 34314)(32iiiS 电流源看作电电流源看作电压源列方程压源列方程增补方程：增补方程：电阻电路的一般分析l 选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, , 该回路电流即该回路电流即 I IS S 。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2SSUiRRiRiRRR 34121141)()(例例034321221141 iRRRRiRRiRR)()()(Sii 2为已知电流，实际减少了一方程为已知电流，实际减少了一方程电阻电路的一般

24、分析l 与电阻并联的电流源，可做电源等效变换与电阻并联的电流源，可做电源等效变换IRIS转换转换+_RISIR4.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。路电流表示。电阻电路的一般分析例例RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2SSUiRiRiRRR 3421141)(UiRRiR522111 )(UiRRiR534314 )(受控电压源看受控电压源看作独立电压源作独立电压源列方程列方程33iRU 增补方

25、程：增补方程：电阻电路的一般分析例例列回路电流方程列回路电流方程解解1选网孔为独立回路选网孔为独立回路1432_+_+U2U3233131UiRiRR )(3222UUiR 035354313 iRiRRRiR )(134535UUiRiR 111iRU 增补方程：增补方程：Siii 21124gUii R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iS电阻电路的一般分析解解2回路回路2 2选大回路选大回路Sii 114gUi 134242111U iRi )RRR(iR0iRi )RRR(iRiR4535432413)(2111iiRU 增补方程：增补方程：R1R4R5gU1R3R2 U1_+_

26、U1iS1432电阻电路的一般分析例例求电路中电压求电路中电压U，电流，电流I和电压源产生的功率。和电压源产生的功率。4V3A2 +IU3 1 2A2Ai1i4i2i3Ai21 Ai33 Ai22 44363214 iiii解解Ai26/)41226(4 AI1232 ViU8424 吸吸收收）(844WiP 电阻电路的一般分析3.5 3.5 节点电压法节点电压法 (node voltage method)(node voltage method)选节点电压为未知量，则选节点电压为未知量，则KVLKVL自动满足，自动满足，就无需列写就无需列写KVL 方程。各支路电流、电压可方程。各支路电流、电

27、压可视为结点电压的线性组合，求出节点电压后，视为结点电压的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。便可方便地得到各支路电压、电流。l基本思想：基本思想：以节点电压为未知量列写电路方程分析以节点电压为未知量列写电路方程分析 电路的方法。适用于结点较少的电路。电路的方法。适用于结点较少的电路。1.1.结点电压法结点电压法l列写的方程列写的方程节点电压法列写的是结点上的节点电压法列写的是结点上的KCL方方程，独立方程数为：程，独立方程数为：与支路电流法相比，与支路电流法相比，方程数减少方程数减少b-(n- -1)个。个。)(1 n电阻电路的一般分析任意选择参考点：其它节点与参考点的

28、电压差即任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压是节点电压( (位位) )，方向为从独立节点指向参考节点。，方向为从独立节点指向参考节点。(uA- -uB)+uB- -uA=0KVL自动满足自动满足说明说明uA- -uBuAuB2 2. 方程的列写方程的列写iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_(1)(1) 选定参考节点，选定参考节点，标明其余标明其余n-1个独个独立节点的电压立节点的电压132电阻电路的一般分析iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132 (2) (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+i2=iS1+i

29、S2- -i2+ +i4+i3=0把支路电流用结点电压表示：把支路电流用结点电压表示：S2S1n2n1n1iiRuuRu 210432 RuRuuRuun2n3n2n2n1-i3+i5=-iS2253SSiRuuRuu n3n3n2电阻电路的一般分析整理，得：整理，得：S2S1n2n1)( )(iiuRuRR 2211110111113324322 nuRuRRRuRnn1 )(令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3 = iSn15533111RuiuRRuRS S2n3n2 )()(G21un1+G22un2 G2

30、3un3 = iSn2G31un1+G32un2 G33un3 = iSn3标准形式的结点标准形式的结点电压方程电压方程等效电等效电流源流源电阻电路的一般分析其其中中G11=G1+G2 节点节点1 1的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点1 1上所有上所有 支路的电导之和。支路的电导之和。 G22=G2+G3+G4 节点节点2 2的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点2 2上所有上所有支路的电导之和。支路的电导之和。 G12= G21 =-G2 节点节点1 1与节点与节点2 2之间的互电导，等于接在之间的互电导，等于接在 节点节点1 1与节点与节点2 2之间的所有支路的电导之之间的

31、所有支路的电导之 和，为负值。和，为负值。自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。 G33=G3+G5 节点节点3 3的自电导，等于接在节点的自电导，等于接在节点3 3上所有上所有支路的电导之和。支路的电导之和。 G23= G32 =-G3 节点节点2 2与节点与节点3 3之间的互电导，等于接在之间的互电导，等于接在 节点节点1 1与节点与节点2 2之间的所有支路的电导之之间的所有支路的电导之 和为负值。和为负值。电阻电路的一般分析isn2=-is2us/R5 流入节点流入节点2 2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。isn1=is1+is2 流入节点流入节点1 1的电

32、流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。1n11Rui 流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。4n2Rui 43n3n2Ruui 32n2n1Ruui 25SRuuin 35由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：路电压，各支路电流可用节点电压表示：电阻电路的一般分析一一般般情情况况G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+Gn-1,nun,n- -1=iSn

33、,n- -1其中其中Gii 自电导，等于接在节点自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和上所有支路的电导之和( (包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路) )。总为正。总为正。 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSni 流入节点流入节点i i的所有电流源电流的代数和的所有电流源电流的代数和( (包括包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源由电压源与电阻串联支路等效的电流源) )。Gij = Gji互电导，等于接在节点互电导，等于接在节点i与节点与节点j之间的所之间的所支路的电导之和，总为负。支路的电导之和，总为负。电阻电路的一般分析节点法的一般步骤：节点法的一般步骤：(1) (1) 选定参考节点，标定选定参考节点，标定n-1 1个独立节点；个独立节点； (2) (2) 对对n-1-1个独立节点，以节点电压为未知量，个独立节点，以节点电压为未知量， 列写其列写其KCL方程；方程；(3) (3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1-1个节点电压；个节点电压；(5) (5) 其它分析。其它分析。(4) (4) 求各支路电流求各支路电流( (用节点电压表示用节点电压表示) )；电阻电路的一般分析试列写电路的节点电压方程。试列写电路的节点电压方程。(G1+G2+GS)U1- -G1U2GsU3=USGS- -G