高中数学_立体几何中的向量方法—空间角的计算教学设计学情分析教材分析课后反思

1、课题：3.2.3立体几何中的向量方法空间角的问题课型：新授课教学目标1.知识与技能掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活 中实际问题。教学重 点掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题教学难 点掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题教学方 法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.教学过程：批注活动一：创设W景、引入课题（5分钟）问题1:在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？问题2:空间中的距离后多少种？用空间向量如何解决？今天

2、我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些角度的应用.点题：今天我们学习“用空间向量方法求角度问题”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题3:回忆立体几何中后那些空间角？求空间角有那些步骤？1 异向直线所成的角范围 o° < e <90°方法；平移法；补形法，2 直线与平面所成的角范围 0° < e <900方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法4、空间角的计算步骤一作、二证、三算问题 4：设 aai, a2, a3 , b b）,b2 ,b3则（1） a?b c,a ?b

3、（2） cos a, b=aib新课：三种空间角的向量法计算公式：4 °r T线线角：异面直线 a,b所成的角 ：cos cos a,b ； .，一 r r r线面角：直线a与平面 （法向重n）所成的角：sin cos a,n ；二面角：锐二面角：cos cos mm, n ,其中m,n为两个面的法向量。活动三：合作学习、探究新知（18分钟） 利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。一、异面线所成角：例1、如图所示的正方体中，已知尸与£±为四等分点，求异面直线DF与 的夹角的余弦值？方法小结：1、异面直线a、b.所成的角：在空间中任取一点 O,过点O分别引a/

4、 a , b/ / b ,则a/, b/所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两 条异面直线所成角的范围：（0,。22、求法：传统法：把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与 这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成 的角为两条异面直线所成的角。然.后解三角形得到。向量法：在直线 a上取两点A、B,在直线b上取两点C、D,若直线a uuur uuin与b的夹角为 ，则cos | cos AB, CD |。3、利用向量求异面直线所成的角的步骤为：(1)(2)(3)练习:确定空间两条直线的方向向量；求两个向量夹角的余弦值；确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹

5、角为锐角时，即为两直线的 夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角。RtZkABC中，ZACE = 90 现将沿着平面的法向 量平移到HF1G的位置，已知BC=CA=Cg,取月iCi的中点。1、F，求BD与A"所成的角的余弦值。二、直线与平面所成的角:例2：如图，在正方体 ABCDYn比J为中，求乂 1B与平面月工国CD所成的角。方法小结：1、直线a与平面 所成角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：0,。22、求法：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即 确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面

6、垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑.用三棱锥体积等量来求出斜线上一点 到平面的距离。r运用向量：设n是平面 的法向量，A、B是直线m上的点，如果直线uuu r m与平面 所成的角为，则sin |cos AB, n |。3、利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1) 确定直线的方向向量和平面的法向量；(2) 求两个向量夹角的余弦值；(3) 确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90 o练习：在长方体ABCD-Wl31G%中，AB = &AD = 8四j = 6'M为SjG上的一点，且用1M =

7、 2,点N在线段上，41川=5，求通)与平面ANM所成的角的正 弦值。三、二面角：例3、已知正方体 ABCD-4l%Q%的边长为2,。为AC和BD的交点，M为中点。1）求证：直线用 9_L NHC;2）求二面角比一AM-C的余弦值。%方法小结:1、传统方法：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二面角的平面角必须满足：1)角的顶点在棱上；2)角的两边分别在两个面内；3)角的边都要垂直于二面角的棱。范围:2、向量法： 设向量 ,明为二面角两个面的法向量，则有cosS co5.一)cos 6uos(1,一*)丁物All Tig结论：

8、coscos： n1, n2 关键：观察二面角的范围3、利用法向量求二面角的步骤(1)确定两个平面的法向量(2)求两个法向量夹角的余弦值(3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察，法向量一般不能体现。练习：如图，已知：直角梯形OABC中，OA/BC, U06 =面,且OS=OC = BC=1,OA=2.求：(1)OS与面SAB所成角的余弦值；(2)二面角B-AS-O的余弦值。活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1 .异面直线所成角：85日 KoSqWz# |2 .直线与平面所成的角：防口。_3 . 二面角： QJ50 二匚口COS = -COS11aL 曰Mi n2活动五：作业布置、提

9、高巩固1 .书面作业：P111 A 组：1、5、6、7板书设计：用向量方法研究立体几何一角度1、空间中角度种典例1：例2:2、用向量方法解决空间角度的步骤？教学后记：立体几何中的向量方法-空间角的计算-学情分析1、知识能力方面：通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问 题。通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空 间想像思维解决生活中实际问题。2、思维发展方面:学生抽象逻辑思维还不成熟，在从实例深入到理论的过程中，需要老 师的引导和帮助。他们基本上可以掌握辩证思维（一般到特殊的演绎过程、 特殊到一般的归纳过程）。3、情感发展方面：独立性自主性是学生情感发展的主要

10、特征。学生的意志行为越来越多， 他们追求真理正义善良和美好的东西。高层自我调控在行为控制中占主导 地位，一切外控因素只有内化为自我控制时才能发挥其作用。立体几何中的向量方法-空间角的计算效果分析课堂教学效果较好，各种教学手段的运用和教学方法的选择使课堂教学效果达到预期的计划。学生通过本节课的学习， 掌握了运用向量方法解决立体几何中的角的计算问题。而且有助于学生观察分析能力与计算能力的培养， 有助于学生运算技能的训练和提高， 对学生进 一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用， 也进一步巩固了立体几何的学习与研究方法。从学生回答问题、练习等可看出新知识掌握的比较不错。教学任务照顾到少数尖子学生，

11、也保障了大多数中下学生的学习效果。立体几何中的向量方法-空间角的计算 教材分析立体几何中的向量方法被安排在新课标 数学选修2 - 1的第在此之前三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题 安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生 学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容 的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何 问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了 一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提 高学生的数学思维能力”的课程基本理念。立体几何中的向量方法-空间角的计算 测评练习1.判断下列

12、命题对错(在括号内打或“X”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.() 兀.一 (4)两异面直线夹角的范围是0,5，直线与平面所成角的范围是一 兀 一0,二面角的范围是0，兀.()解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角； (2)直线的方向向量a,平面的法向量n,直线与平面所成的角为。， 则 sin 6 = |cos a, n| ;(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案 (1) x (2) 乂 (3) 乂 (

13、4) V2.（选修21P104练习2改编）已知两平面的法向量分别为m （0 ,1,0） , n=（0, 1, 1）,则两平面所成的二面角为（）A.45B.135C.45 或 135D.90m- n 1：'2解析 cos <m, n> =-=即m n=45 .I mi n| 1 - V22两平面所成二面角为45或180° -45 = 135 .答案 C3.已知向量m n分别是直线l和平面a的方向向量和法向量，若cos1 ,m, n> =-2,则l与a所成的角为.1一 一解析 设 l 与 a 所成角为。: cos ni n> = 2， sin 。= I,1

14、一八一八 一cos <m, n> I =2,0 < e <90 ,8 =30 .答案 304 .已知正方体ABCDABGD如图所示，则直线BD和,： 上 CD所成的角为.解析以A为原点，曲曲AA分别为x, y, z轴的“'正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1,则CD= （ 1, 0,1), Bb= ( 1, 1, 1), cos* BD =1!%3=0.所以两直线所成的角为90 答案 905 . （2018 郑州预测）过正方形ABCD）顶点A作线段PZ平面ABCD若AB= PA则平面ABPW平面CDpf成的二面角为 .解析 如图，建立空间直角坐标系，设

15、AB= PA= 1,则 A(0, 0, 0),以0, 1, 0), R0, 0, 1),由题意，ACL平面PAB设E为PD勺中点，连接AE,则AHPD又CDL平面PAD1 1CDLAE 从而 AE1平面 PCD所以AD” (0 , 1, 0), AE= 0,1万分别是平面PAB平面PCD勺法向量，且AD AE> =45° .故平面PABW平面PCDJf成的二面角为45 .答案 45立体几何中的向量方法-空间角的计算课后反思立体几何中的向量方法被安排在新课标数学选修21的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。 在此之前 安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓

16、展为三维，为学生 学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容 的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何 问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了 一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的 “注重提 高学生的数学思维能力”的课程基本理念 。学生是教学的主体，本节课能给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学，教学中我引导学生从实例出发，从中认识向量运算解决几何中运算问题的必要性。在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维, 通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解，很

17、好地突破难 点和提高教学效。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑， 掌握学习的主动权。在本节课中也有很多不足和需要改进的地方，教学设计应更严密、 更科学。尤其要预留出学生讨论探究的时间。 要继续提高自己的教学 素养，提高自己教学语言表达能力，多听、多学、多练。 在课堂结构 上，也要再多下功夫，研究学生的学情，调动学生的课堂参与度。总的来说，本节课条理清晰，举例恰当，分析到位，从学生的课 堂反应和练习效果来看，整体掌握情况较好，为下一课时的学习打下 了很好的基础。立体几何中的向量方法-空间角的计算-课标分析教材分析：立体几何中的向量方法被安排在新课标数学选修21的第三章第二节，主要讨论的

18、是用空间向量处理立体几何问题。 在此之前 安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生 学习本节知识作了必要的铺垫。立体几何中的向量方法既是前面内容 的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何 问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了 一个十分有效的工具。同时它也体现了新课程标准中提出的 “注重提 高学生的数学思维能力”的课程基本理念。教学目标：(1)知识与技能：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。(2)过程与方法：通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向 量方法求角度问题。(3)情感态度价值观：通过学生对问题的探究 思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中 实际问题。重难点：重点：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。