直线的交点坐标与距离公式学案1必修2

1、研卷知古今；藏书教子孙。“点到直线的距离”“点到直线的距离”这一节课，常规教案中教师直接提出问题 “已知一点坐 标，一直线方程，怎样求该点到直线的距离？”并且分析了思路，随后推出点到 直线的距离公式以及两平行线间的距离公式，要求学生记忆并应用。这样的设计 是以一个教师的角度出发，把自己认为比较顺的一个变化过程呈现给了学生，教师一讲到底，既没有师生间的呼应，也没有学生自己动手、动脑的探究，教室成 为了老师表演的舞台。针对这些情况，复习引入时，我们可以有意识地涉及两直线的交点及直线问 的关系，让学生在复习过程中自己发现尚未解决的问题，应用变式使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然的引出新问题。首

2、先，我们来回顾一下上节课所学“交点”的内容。练习：求经过原点且经过下面直线的交点的直线方程 ：li：x -2y 2 =0;l2: 2x -y -2 =0.的 x-2y 2=0 x=2解：-2x-y-2 =0 y=2所以，li与I2的交点为(2, 2)。故所求直线为y=x。变式1求经过直线li , I2交点且与直线3x + y-1 = 0平行的直线l的方程。解：直线l与直线3x + y -1 =0平行，故直线l的斜率k = -3 ,由点斜式知直线l的方程为3x + y-8 = 0。变式2 已知：点P (-1, 2),直线 l : 2x+y10=0求：点P到直线l的距离图2-1变式2图像解：过点P

3、作直线PQ_L l于点Q,则|PQ即为点P到直线l的距离。因为PQ_L l ,所以直线l，1的斜率kPQ = -,2由点斜式得直线PQ的1方程 Ipq : y-2=- (x + 1),2y - x - 5 =0 x - 3联乂两式-2x y- 1 0 0 y 4得点Q坐标为(3, 4)。由两点间距离公式得d = PQ = J(3+1)2 +(4-2)2 =屈=2底师：还有其他方法吗？(师：提示：解决几何问题时，我们常常通过作辅助线来帮助我们解决不能直接 解决的问题。)(学生积极思考，在草稿上画图，尝试作辅助线，努力寻求新的方法)生：作辅助线：过点P作直线PQ垂直直线l于点Q,过点P作直线y=2

4、交直线l于点R ( x1，2),作直线x = 1交直线l于点S ( -1 , 丫2),构成直角三角形RPS。R、S分别为直线l与两条辅助线的交点，可求出 R、S的坐标为R (4,12), S (-1, 12) o把PS看作底边，此时其面积表小为 S =- |PR - PS ;把RS 1PR PS = PQ - RS ,故 d= PQ =PR |-PSRS5 10看作底边，此时其面积表小为S2 = PQ - RS o同一二角形面积相等，有师：我们来看下面的问题。例 1.已知：一点 P （ x0, y0）,直线 l: Ax + By +C = 0。图2-3例1图（2）求：点P到直线l的距离图2-2

5、例1图（1）（留时间让学生思考，演算） 师：有同学有思路吗？生：这一题实际上就是将上一题中的数字变成了字母，我们可以过点P做PQ! l于点Q,则d = PQ ,即为所求。由PQ_L l ,可知直线PQ的斜率为-（A¥0）。A根据点斜式可写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此 根据两点间距离公式求出 PQ ,得到点P到直线l的距离d师：很好，这位同学找出了解决这个问题的一种方法， 请同学们按这种方法演算一下。（几分钟后，仍然没有学生的出最后结果，有学生停止运算，重新思考，部分学 生发出疑问）生：这种题用数字来算容易得出结果，但如果换成字母就非常复杂，有没有别的 方法

6、呢？师：这种方法是一种基本方法希望大家掌握， 这种方法思路自然，但对于字母运 算较为复杂，现在我们就一起来探讨其他的方法，有没有同学有思路？生：过点P作x轴的平行线，交l于点R （My。）；作y轴的平行线，交l于点S（xo,y2）。构成三角形 PRS,用等面积法有|PR - |RS = PQ | PS ,又 d=PQ=里譬 只要用点P的坐标表示出|PR、|PS、|RS就可以得出PQRS了。师：非常好，我们一起按这种思路来试一下，大家注意这里他作的图中的直线l是 与x轴，y轴都有交点的，也就是说隐藏了一个条件，直线方程中A#0, B#0。解：A#0, B#0,这时l与x轴、y轴者B相交。过P作x

7、轴的平行线，交l于点R ( % , y0 );作y轴的平行线，交l于点S (。，y2 )。由A x1+B y0 +C=0,A x0+B y2 +C=0 得所以，PR = x。-x1 =-By。- Cxi =;，AAx。 By0 C-Ax。-C心二-。DCAx°+Byo+CPS= V。f =Ax。By。C从三角形面积公式可知d PS=PR P S所以Axo+By。+C,A2 B2师：这里我们讨论的是 A#。，B#。的情况，那么当直线方程中 A=0或B=。时 我们还能这样算吗？生：能。师：为什么？生：画图知，当A=。时，直线l与x轴平行，则点P到直线l的距离为By。 C-B2当B=0时，直线l与y轴平行，则点P到直线l的距离为z/ C. c |a%+c-口厂年-，它们都满足上面的式子师：它满足所有的情况，所以今后我们只要遇到同类的问题都可以这样来算，也可以直接用上面的式子来算，我们把这个式子成为点到直线的距离公式A