数列培优练习

1、数列提高练习1.已知数列an的各项均为正数,n ()A. 119B. 121ai4,1、2 , an 1an ,若数列的前n项和为5,则an 1anan 1anC. 120D. 1222.设数列 an 满足 a1 2, a2 6 ,且 an+2 2an 1+an2 .若x表示不超过x的最大整数，则2018 20182018(A. 2015a?a2018B. 2016C. 2017D. 20183.已知数列an前n项和为Sn, a12 , a。a。13n，则 &14.设Sn为数列an的前n项和，Sn ( 1)a ,n 2nN ,则 S1S2S3S1005.已知正项数列an ,满足an 1

2、 ann*2 n N ，且 a1a2a31010a20203 2 1010 1，则首项 a1的25取值范围是an 96.已知数列an满足a11, an 1,则anan 5，27.在数列an中，已知a11 , n anSn2n an 1 Sn 1 n 2,n Nan2，nTn为数列bn的前n项和，则T2021 28.已知正项数列an满足2 n 1 an2an2小网10, a14，则数列W前n项和为一 ,2*. 一 一 ,9.数列an满足ai 1, an an 1 n （n N且n 2 ）.若数列a2n 1（ n 1）为递增数列，数列a2n 为递减数列，且 阚 a2，则 a99 .10.设数列an

3、的前n项和为Sn,已知a2 2, an 2n 1(1)an1,则 S40 11.已知数列an的前n项和为Sn, a1的最小值为.15,且满足 乌工 -n 1,若n,m N*,n2n 3 2n 5m ,则 SnSm12,设 a11,an 1板24 2 b n N* .若b 1,求数列小的通项公式;13.已知数列 an满足a1 1, a22 ,且 an 1 2an 3an 1 n 2,n一.*一N .求数列an的通项公式;14.已知数列an的前n项和为Sn, a11,且满足an 1S2Sn10 .求数列 an的通项公式;15.已知数列an满足条件 a1= 1, a2=3,且 an+2= (- 1)

4、 n (an-1) +2an+1, nCN*.求数列an的通项公式；16.已知数列 an满足al213,aTan 1T(n求数列an的通项公式；17.数列 an 满足 ai 1,a2 2,an 2一 2 n 、, 2 n(1 cos )an sin ,n221,2,3,肝(1 )求%a,并求数列 an的通项公式;(2 )设 bn 也Sn b1 b2 I" bn.,求 Sna2n118 .已知数列 an中，a12, an 1an2an 3求数列an的通项公式;19 .已知数列 an满足a1 2 , A 1 an 1* 、r、.、_. . .一一n 2 an 2 ( n N ) .求an

5、的通项公式;20、已知an为等差数列，其公差为一 2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和。(1)求数列 an的通项公式以及前 n项和Sn；(2)求数列 an的前n项和Tn.21、已知数列 an 及 fn x ax a2x2 HI anxn ,且 fn( 1) ( 1)n n, n 1,2,3,".(1)求 a1, a2, a3 的值；(2)求数列an的通项公式；11(3)求证：1fn 11.3n 322 .已知等差数列an的公差为2 ,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列。(I)求数列an的通项公式；4n(n)令bn=( 1)n 1，求数列bn的前n项和Tn。

6、a nan 123 .已知等比数列?的各项均为正数，若9?是2?与？的等差中项，且？= ?2 + 3?今(1)求数列?)的通项公式；，一、,一V?.(2)设？?= 2?.3/前，求数列?)的前？项和？外24 、已知等差数列%中，前町项和为冬,且满足电=6,<0求数列9a的通项公式；(2， wN*.求数列h的前制项和为小2anr 打= 2A 1, neN t25 、(本小龈荷分1纷)各项为正教的数列bj的前频和为工,且满足；424C ) 求明;小网为优数门I)设图数/5)=/四为偶唾q = 2T4)1求麴列G的前打项和26、已知数列的前漳则啖M SEN,),且满足%+4=北+1(i)求证：

7、数列/-2是等比数列.并求数列/的通项公式:求证,诉;十二71.已知数列an的各项均为正数,A.()119B. 121【解析】依题意有21an4,即数列an 1an2 n 1. n数列提高练习2,2anan 1anan 1C. 120an是以4首项，公差为III2.设数列 an满足a12,a2,且 an+22an 1 +an2018 20182018a1a2a2018A. 2015【答案】CB. 2016C. 2017,1、,若数列的前n项和为5,则an 1 anD. 1224的等差数列，故a2 4n,an2、n .-/11 1 ,所以一Jn 1 125,n 120.2.若x表示不超过x的最大

8、整数，则D. 2018【解析】构造 bn=an+1 - an,贝U b二a2a1二4, 由题意可得(an+2-an+1)- (an+1 an) =bn+1 故数列bn是4为首项2为公差的等差数列， 故 bn=an+1 - an=4+2 (n - 1) =2n+2 ,故 a2a1=4, a3a2=6, a4a3=8,an - an1=2n ,以上n1个式子相力口可得 ana=4+6+2n=(n-1(42解得 an=n (n+1),anaia2lifer (1an1) (1 1)22 3T)1 n 120172017aia2lit2017 -201/- 2017a20172018皿 2017则a1

9、2017a2III2017=2016a201712018=2016.故答案为B.3.已知数列【详解】an前n项和为Sn, a12nan an 13则Sn由题意，数列an满足an an 13n ,则当n 2时，可得n 1an 1 an35an an i an i所以an i anan i3nn i 3,(n2)3又由ai2 ,可得现a23 ,所以a?所以数列an奇数项构成首项为公比为3的等比数列，偶数项构成首项为3-,公比为3的等比数歹U,当n为奇数时,则Snaia2a3III an(a1a3| an)a42IIIan i )2 (i 3 2 ) 2 (i 3 2 )n5 3一i 3当n为偶数时

10、,i Snaia2a34III an(aia3| an i)a4IIIan)n2 (i 32)(1n32)综上可得，Sni 3n i5 34n7 324n3247 ,n7,n2k1,k2k,k4.设Sn为数列an的前n项和，Snni) anN ,则 SiS2S3.Si00 i i【答案】“声i）3 2【详解】当ni 时，aiai因为所以SnSn为偶数,为奇数,aini) ani2i2nai2时,anananaii)ni2n2ana2i12i22'2)aia2i22同理可得a3a4a5a6i an ian (i)nan(i)nai（n为奇数）；i(2n i)ani , ，一IT （n是偶

11、数）.2na99ai00i2i00 ,所以§S2_1S1002(41162100)(121002_1)50)41411J121001 -21),1).5.已知正项数列满足an 1an2n且 aia?a31010a20203 2a1的取值范围是_【答案】（1,2）【详解】因为an 1 an2n,所以an2 So2n 1所以an 2an所以为 ©3且5,|成等比数列，公比为 a2,a4,a6/|成等比数列,公比为 2所以aia3a5HIa201921010a2a,IIIa2a20201 2121010a121010所以a1a2a3a2020所以a1a2a a2a22101021

12、010210101由an 1an2 得 a1 a22 ,所以a2a1所以a1a13,所以a1 3a1 2a1故答案为：（1,2）6.已知数列an满足a11anan 9an 5an【详解】由所以数列an1an 3anan9一得5an 1an5an 1an0,an 1an32 an 32 an 30,1a131一为首项，以2(n 1)1一为公差的等差数列，2，anc23一,所以4n故答案为:7.在数列an中，已知ai2n an1Sn 1 n2,n NanTn为数列bn贝 U T202120211011由 n2an Sn2n anSn 1 n2,n得 n2anSnSn 12n an1 an2n an

13、an 1n 1 nT2021包则cn n2(18.已知正项数列前n项和为cnanan3 III满足22【详解】由已知得n(2an an所以(anan 1)(2nan nan 1一 an120212n所以2nannan 1 2an 0.所以an 1an所以a12n 1 anan 12an)120222 an由累乘法得.bn2(1anc112022an an 11 ) 2an(an an0,又因为an 0a2a1a3a2a4a34-； 3anan 1n1;累乘得an2n1n.n(n 1) 202110111)0,4,则数列an n 1所以an2n 1 n2n 1所以所以n 1 n 2 n 1 n

14、2ann 1 n 22n 22n 1a11 11a22 12 2244a33 13 2ann 1 n 22n2n 12n 2累加求和得-一n 22n 2故答案为± 2；n 2'2；9.数列an满足aianan且n 2).若数列a2n 1 ( n1）为递增数列,数列a2n为递减数列，且aia2 ，a99a2a1故a999929924950由于数列22,a3a999821 99a9897210.设数列 an【答案】240【解析】由an 2的偶数项构成以S。a1a3a2n 1为递增数列,o2a2 3 ,a4 a3a98 a979621MIII2254数列42a6324950.的前n

15、项和为n 11 an2为首项，以a5a7Sn，已知a2a2n为递减数列，可求得a5a45 ,a6a56 |, a98a97298092a9899a522a5a41 99 982 , an 2(1)n 197 96a3IIIa21 ,则 S40a2a1a11,当n为奇数时，有an 21为公差的等差数列，则a39a2a4a4011.已知数列an的前n项和为Sn, a115,且满足an的最小值为an102n 3当n为偶数时，an20an2n 5an1,数列an20 1922240故答案为240.Sm【答案】-14详解：由由 刍/二2_1,即 &L-2_1,且5.2n 32n 5 2n 32n

16、 52 5a a_数列为等差数列，首项为-5,公差为1.5 n 1,2n 52n 5可得：an (2n 5) ( n 6),当且仅当3 n 5时，an< 0 .已知 n, m N, n>m ,则Sn Sm最小彳t为a3 a4 a53 6 514.即答案为-14.12.设a1 1,an1 Ja； 2an 2 b n N* .若b 1,求数列 小 的通项公式；(2)右b 1,问：是否存在头数 c使得a2nca2n 1对所有nN成立？证明你的结论.【详解】(1)当 b 1 时，彳 1 履 2an 21J an 1 211 2, 41 1 J an12 1 ,一 .一、一22两边平万得：a

17、n1 1an 11.一一，22从而 an 1 是首项为a1 10,公差为1的等差数列，故 an 1 2 n 1 ,由于 an 1 2,a1 1 ,即 an 1a 1 0,所以 an . n 1 1 n N*13.已知数列an满足a11,a22 an 3an 12,nN .求数列an的通项公式;【详解】(I)由已知得an 1an3anan 1 n 2,n，则 bn 13bn,又1bl3,则bn是以3为首项,3为公比的等比数列(II)由an1 an3n得an 13n设Cnan3n1 cn3，可得Cn 11 cn 4又C113'cn112an14.已知数列an的前n项和为Sna11,【详解】

18、(1)因为an3n且满足an 1S2Sn1.求数列 an的通项公式;即 Sn 1SnSnS2SnSn1Sn0,0,所以Sn1 SnS2 Sn一 0, 1化简、整理得Sn 1SnSn 1&.11c 11.等式两边同除以&15,得1 0,即丁 1 .Sn Sn 1Sn 1 Sn11 d因为a11,所以 1,Si a1“一1口，,所以数列一是首项为1,公差为1的等差数列，Sn1,1所以一 1 n 1 n ,所以SnSnn n-111所以当n 2时，an Sn Sn 1 ，n n 1 n(n 1)1,n 1所以数列 an的通项公式为an1c.,n 2n(n 1)15.已知数列an满足条

19、件 a1= 1, a2=3 ,且 an+2= ( - 1) n (an-1) +2an+1, nCN*.求数列an的通项公式；n,【详解】(I ) , an 2= ( -1)n(an D 2an 1, n N* ,当n为奇数时，an 2= an 2,又由a1=1,得an n ,n当n为偶数时，an 2= 3an ,又由a?= 3,得an 32,n是奇数an n32 n是偶数16.已知数列 an满足a1212 am,(n3 an 1an 1 12).求数列 an的通项公式12 an 1【详解】(1) 1 n-L,(n 2),an 1an 1 111 an 1 111an 1an 1 1an 1

20、11是首项为1an 13,公差为1的等差数列.1an 1(n 1)an17.数列an满足ai1包 2,an 2(1 cos2 n)an sin21,2,3,|.（i）求比,a,并求数列an的通项公式;(2 )设 bna2n 1 Q ,Sna2nb1 b2 "I bn求 Sn解:(1)因为 a11,a22,所以a3(1cos2 )a122sin 一2ai 1 2,a412cosa22sin2a2 4般地,2k1(k N)时，a2k 11 cos2 (2k 1)2-a2k 1,2 2k 1 sin 2=a2k 11,a2k1a2k 11.所以数列a2k是首项为1、公差为1的等差数列,因此

21、ak 1k.当 n 2k(k*.)时，a2k 2(12 2k 、cos )a2k2.2 2k sin 一22 a2k.所以数列a2k是首项为2、公比为2的等比数歹U,因此a2k 2k.故数列an的通项公式为nan n21,n 2k 1(k(2)由(1)知,bna2n 1a2nn2n,Sn2 2 -2 ,n2k(k N1 Sn222212y3232III一得,221 S23212HIn*12HIn2n 1 .21 (2)n1 12n2n12nn2n 1 .所以Sn 212n 1n2n22n18.已知数列an中，a1an2an 3求数列an的通项公式;【详解】2，anan1 2an 3'a

22、nan 1an3,是以3为首项,3公比的等比数列,an3 3n 13n.an13n 119.已知数列 an【详解】 (n+1)满足a12,n 1 an 12 an 2).求an的通项公式;an+1 ( n+2)an=2 ,an 1，当n号时,1=1+2 (一22n=,n 1ann 11a1=一 +21 .+4.+a2一31曳)+2)n 1(a3 -迄)+ + 43(_a_ n 1p a1 d又 一=12满足上式,ann 12n数列an是首项、公差均为2的等差数列;an1a1 d=1, 220、已知an为等差数列，其公差为一 2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和。(1)求数列

23、an的通项公式以及前 n项和Sn；(2)求数列 an的前n项和Tn.解：(1)an= 2n+22; Sn= n2+21n。(2)令 an=2n+22 0 得，n 11,当 n 11 时，Tn=a1+a2+ an=Sn= n2+21n;当 n 12 时，Tn=ai+a2+- + aii ai2 ai3一an=$ + 2Sii=n221n+220;二一 ai a2-an+2 (ai + a2+ aii)2nTn2n2in,(n ii)2in 220, (n i2)#i.解：(I) d 2,GSi,S2,S4成等比ai , S2S22aiSS4d,S4 4ai 6d,解得 aii, an2n i2i

24、、已知数列 an 及 fn x ax a2X2 m anXn ,且 fn( i) ( Dn n, n i,2,3, ".求a1，a2, a3的值；(2)求数列an的通项公式；- ii(3)求证：fn - i. 33【答案】(i)aii,a23,a35； (2)an2n i；(3)证明见解析.仁即=2r ：由已知所，斯以为-1 .f： I -1 = -s； + a； =2 外一二 0二=WX i -11 -dt -a -3 .而以电-5 .2 令¥=-1 ,114(一1)=吗(-1)+/112十日1；(1)”(-1)=o. -i +0. -i)- -ih'+jj -1

25、V +: t广两艮0. I-i=九 frj广，片+1卜(-由场以&_i =B-1)十时.上/t-五+：.“啊=1 ":百十,ffinw列公式为k=3“-1(收=114M).22,已知等差数列an的公差为2 ,前n项和为Sn,且Si , S2, S4成等比数列。(I)求数列an的通项公式；i 4n(n)令bn =( i),求数列bn的前n项和Tn。anan i(n) bn (上(i)ni(-1- -1-) anan i2n i 2n i当n为偶数时，Tn (i 3 (11)(工33 55i ii i()()2n 3 2n i 2n i 2n i7) mmTn2n2n i2n i

26、当n为奇数时，Tn (1111-)(-33 511 ,)(5 7)mm2n 1 2n 1Tn 1 2n 12n 22n 1Tn2n2n 12n 22n 1,n为偶数,n为奇数23 .已知等比数列?的各项均为正数，若9?是2?与？的等差中项，且？= ?2 + 3?(1)求数列?的通项公式；V?(2)设？?=E1,求数列?*的前？项和？私2? ?-3 V? ?+1【解析】(1)设等比数列?的公比为?测？?= ? ?-1.由题意彳导2 X：? = 2? + ?，且？ > 0,化简得2?吊-9?+ 4 = 0,解得？?= 4或；.1,所以？?= 4,又因为?= ?2+ 3?,即？?2(?0 1)

27、 = 3? > 0,所以？?> 所以 3?2= 12?,所以？= 4(?= 0舍去)，故数列?3?的通项公式为？?= 4?(2)由(1)知？?二2?2?23?+1于是有?= ?+ ?+ ?所以?= 1 -+ ?=(?+1-2_2?=(2?1)(2 ?+1-1)21-122-1 )(12?112 2-1 - 23-1/+*(?6?)，11)+ ?+ (2?1 - 2 ?+11),2?+1-1 = 2?+1-1 .24 、已知等差数列4中，前肛项和为与,且满足<0求数列%的通项公式；(24 n 71 hfN.,求数列%的前输项和为加2an, n-2k t weN t解：(2)设数列为公差为乩3x2由题世得$=3助十 =6，解列% 三叼-h W = 4(二班列(6)的通项公式为1乐工打S F代号r*5分23 人N”,2订.日=2# L k eN，当小偶数,即底N.时.奇数顼和偶数项叼项