1.2傅立叶级数ppt课件

1、第六节第六节傅里叶级数傅里叶级数 第十一章第十一章 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性1. 三角级数三角级数)sincos(210 xnbxnaannn则, )(0 nnxu), 2, 1, 0(sincos)( nxnBxnAxunnn其其中中,200aA 令令), 2 , 1(, nbBaAnnnn 三角级数三角级数2. 研究意义研究意义( A: 振幅振幅, 复杂周期运动复杂周期运动 :)sin(10nnntnAAy )sincoscossin(10tnAtnAAnnnnn :角频率角频率, : 初

2、相初相 )(谐波迭加谐波迭加)sin(tAy 简单周期运动简单周期运动 :(1) 物理背景物理背景(2) 回忆回忆)1 . 6(),(,)(0RRxxaxfnnn 优点：优点：),(,)()(101RRxxaxaaxSxfnnn 缺点：缺点：的的要要求求过过高高对对)(1xf成成立立，若若)1 . 6(.),()(内内有有任任意意阶阶导导数数在在则则RRxf 非非周周期期函函数数)(21xSn 为为周周期期函函数数，若若)(xf)()(1xfxSn 则则用用.)(的周期特性的周期特性将失去将失去xf易于计算易于计算)1(展展开开成成三三角角级级数数，即即将将)(xf)2 . 6()sincos

3、(2)(10 xnbxnaaxfnnn Ix 3. 函数展开成三角级数的基本问题函数展开成三角级数的基本问题成成立立，若若)2 . 6(an = ?, bn = ?.则则可可克克服服上上述述两两个个缺缺点点展开式是否唯一展开式是否唯一?(2) 在什么条件下才能展开成三角级数在什么条件下才能展开成三角级数?(3) 三角级数的收敛域三角级数的收敛域? 展开式成立的范围？展开式成立的范围？4. 三角函数系的正交性三角函数系的正交性定义定义 (正交函数系正交函数系),2, 1,()( nbaxxn 设设有有函函数数系系：0d)()( bamnxxx 若若), 2 , 1,(nmnm 且且上上的的为为则

4、则称称,), 2 , 1()(banxn 正交函数系正交函数系.定理定理1 1,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx, 0sindcos1 nnxxnx, 0dsin1 xnx三角函数系三角函数系.上上正正交交，在在区区间间 证证0, 0, mnNmn. 0dcossin xnxmx), 2 , 1,( nm其中其中 0dcoscos2dcoscosxnxmxxnxmx 0d)cos()cos(xxmnxmn nmxnnxnmmnxmnmnxmn,)22sin(,)sin()sin(000 nmnm, 0 , 0sinsin nmnmnxdxmx类似地，得类

5、似地，得上的积分不等于上的积分不等于 0 ., 三角函数系中任两相同函数的乘积在三角函数系中任两相同函数的乘积在 注注 12 正交性正交性:)1(向量正交向量正交:)2(函数正交函数正交);(0 内积为零内积为零 ba).(0d)()(乘积积分为零乘积积分为零 baxxgxf二、以二、以2 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数1. 函数展开成三角级数的形式函数展开成三角级数的形式定理定理2 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 假假设设 )3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf式式可可逐逐项项积积分分，则则且且)3 . 6( )

6、,2, 1(dsin)(1 nxnxxfbn), 1,0(dcos)(1 nxnxxfan展开式是展开式是唯一的唯一的, , 且且 傅里叶系数傅里叶系数)3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf由由假假设设：证证 对对(6.3)逐项积分逐项积分, 得得:)1(0a求求xkxbkxadxaxxfkkkd )sincos(2d)(10 ,220 a 0d)(1xxfa)dsindcos(d210 xkxbxkxaxakkk 由正交性由正交性, 值为零值为零:)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakk

7、k)3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf(6.3) cosnx, 再积分再积分由正交性由正交性, xxnandcos2 , na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n:)3(nb求求 xnxaxnxxfdsin2dsin)(0dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk, nb(6.3) sinnx, 再积分再积分)3 . 6()sincos(2)(10 kkkkxbkxaaxf xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n2. 傅里叶系数傅里叶系数 nnxnxxfa), 1,0(dcos)(1 nnxnxxfb

8、),2, 1(dsin)(1或或 20), 1, 0(dcos)(1nxnxxfan 20), 2, 1(dsin)(1nxnxxfbn(6.4)定义定义 ( (傅里叶级数傅里叶级数) )：上上可可积积分分，若若三三角角级级数数在在设设,)( xf 10)sincos(2nnnnxbnxaa则则称称此此是是傅傅里里叶叶系系数数中中的的系系数数),4 . 6(,nnba3. 傅里叶级数傅里叶级数记记作作的的傅傅里里叶叶级级数数的的周周期期为为三三角角级级数数是是,2)( xf)(xf 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf问题问题: : 1

9、0)sincos(2nnnnxbnxaa)(xf条件？条件？ ), 1, 0(dcos)(1nxnxxfan ), 2, 1(dsin)(1nxnxxfbn其中其中定理定理11.15 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设以设以2为周期的函数为周期的函数 f (x)满足狄利克雷条件满足狄利克雷条件:1) 连续，或最多只有有限个第一类间断点连续，或最多只有有限个第一类间断点;2) 最多只有有限个极值点最多只有有限个极值点, 那么那么 f (x) 的傅里叶级数在的傅里叶级数在(-,+ )处处收敛处处收敛 , 且且在一个周期内在一个周期内4. 函数展开成傅里叶级数的充分条件函数展开成傅里叶级数的

10、充分条件其其和和函函数数 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxS有有如如下下关关系系：与与)(xf注注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多. .)( x, )(xf,2)()( xfxf x 为为f (x)的间断点的间断点 x 为为f (x)的连续点的连续点 )(xS例例1 ,0,2;0,0;0, 1)(2)( xxxxxfxf为为周周期期的的周周期期函函数数，且且是是以以设设).25()4(),()()( SSSxfxS及及，求求的的傅傅里里叶叶级级数数的的和和函函数数为为设设解解)(xfy xyO-1-12-

11、-2-3 2), 2, 1, 0()( kkxxfk 的的间间断断点点：)(xfy xyO-1-12- -2-3 2 )( S2)()( ff2)1(2 21 处处，在在端端点点 x)2)( f2)()( ff处，处，在间断点在间断点 4 x2)0()0( ff )4( S周期的周期函数周期的周期函数为为是以是以 2)(xS )0(S22)1( 21 处，处，在连续点在连续点25 x )25( S)2( f )2( S)(xfy xyO-1-12- -2-3 22 -3)(xSy xyO-1-12- -2 25. 展开步骤展开步骤成成立立的的范范围围；式式在在间间断断点点处处的的值值及及展展开

12、开的的和和函函数数的的傅傅里里叶叶级级数数的的间间断断点点，写写出出且且找找出出检检验验收收敛敛定定理理的的条条件件，对对于于)()()()(1xSxfxfxf;,2nnba确确定定傅傅里里叶叶系系数数).(3包包括括展展开开式式成成立立的的范范围围写写出出展展开开式式xoy例例2 上的表达式为上的表达式为,( xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅里叶级数展成傅里叶级数. 解解 2332设设 f (x) 以以 2 为周期为周期 , 满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件)(1xf), 2, 1, 0(,)12( kkxk 间间断断点点：2)()()( kkkxfxfxS22)(0 )

13、, 2, 1, 0( k连连续续时时，当当)(xfxxk 10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf), 2, 1, 0,)12( kkx nnba ,2 确定傅里叶系数：确定傅里叶系数： xxfad)(10 0d1xxx 02212 xxxxf0,00,)( 0dcos1xxnx nxnxxfadcos)(1nnxnnxx 02cossin1nn2cos1 nn2)1(1 xxxxf0,00,)( xnxxfbndsin)(1 0dsin1xnxx), 2, 1( nnn 1)1( ), 2, 1( n,( x,)12( kx),2,1,0 k3 所求函数的傅里叶展开式为：所

14、求函数的傅里叶展开式为： 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfnbnn1)1( ， 2)1(1nann ,20a 4 sin)1(cos)1(1121nxnnxnnnn ,( x,)12( kx),2,1,0 k例例3 设设 f (x) 以以 2 为周为周期期 , 上的表达式为上的表达式为,( )0(0,0,00,)( ExExxExf常数常数 解解 将将 f (x) 展成傅里叶级数展成傅里叶级数. 满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件)(1xfOyx), 2, 1, 0(, mmxm 间间断断点点：2)()()( mmmxfxfxS02 EEEE 3 2 3 2 连连续续时时，

15、当当)(xfxxm 10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf), 2, 1, 0,)12( kkx ), 2, 1, 1(12,)(2),(0)( kkmExfkmxfxSmmmOyxEE 3 2 3 2 )(xfy nxnxxfadcos)(1),2,1,0(0 nnnba ,2 确确定定傅傅里里叶叶系系数数：奇函数奇函数 xExxExf0,0, 00,)( nxnxxfbdsin)(1 0dsin2xnxE 0cos2 nnxE nnEcos12 0dsin)(2xnxxf偶函数偶函数nb 0cos2 nnxE nnEcos12 nnE) 1(12 ,4 nE,0,5,3

16、,1 n当当,6,4,2 n当当an=0Exf4)( 故故xnnn)12sin(1211 ),3,( xx 33sinsin4)(xxxf ),3,( xx正弦波的叠加傅氏级正弦波的叠加傅氏级数的部分和逼近数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图.注注77sin x 99sin x55sin x 矩形波是无穷多矩形波是无穷多三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数2. 奇、偶函数奇、偶函数(周期周期:2 )的傅里叶级数的傅里叶级数定理定理3 周期为周期为 2 的奇的奇(偶偶)函数函数f (x), ),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan),3,2,1( 0 nbn)

17、,2,1,0( 0 nan nnxnxxfb0),3,2,1(dsin)(2为正为正(余余)弦级数弦级数, 傅里叶系数为傅里叶系数为(1. 定义定义 正正(余余)弦级数弦级数: 1sinnnnxb 10)cos2(nnnxaa其傅里叶级数其傅里叶级数)例例4 xxxxxf0, 0,)(oyx xxfa00d)(2 xx0d2 nxnxxfa0dcos)(2 xnxx0dcos2nnxnnxx02cossin2 解解 将将f(x)展成傅里叶级数展成傅里叶级数 .设设 f (x) 以以 2 为周为周期期 , 上的表达式为上的表达式为,( f(x)为偶函数为偶函数(如图如图), 可展成余弦级数. 0

18、 nb1)1( 22 nn x3cos312na, 6 , 4 , 2,0 nnxaaxfnncos2)(10 故故2 4 xcos xnnx)12cos()12(15cos5122)( x1) 1( 22 nn,42n , 5 , 3 , 1 na 00 nb例例5 当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得求数项级数的和求数项级数的和.函数展开成傅里叶级数的应用：函数展开成傅里叶级数的应用： xnnx)12cos()12(15cos5122 x3cos3122)( xf 4 xcos注注.)12(112的和的和求求 nn解解 xxxxxf0, 0,)()( x)12(131142022 n 2222)12(1513118n42 因因,421 312 故故.242 设设,4131211222 22217151311,6141212222 知知821 2223413121124 213 ,62 .12248222 内容小结内容小结1. 函数函数(周期周期: 2)的傅里叶展开的傅里叶展开: )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn ):(连续点连续点x其中其中 nxxnxf